2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點難點精講精析 3.2解三角形

2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點難點精講精析：3.2解三角形 一、正弦定理和余弦定理 （一）正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 1、已知兩邊和一邊的對角解三角形時，可有兩解、一解、無解三種情況，應(yīng)根據(jù)已知條件判斷解的情況，主要是根據(jù)圖形或由“大邊對大角”作出判斷； 2、應(yīng)熟練掌握余弦定理及其推論。解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷； 3、三角形中常見的結(jié)論 （1）A+B+C=π； （2）在三角形中大邊對大角，反之亦然； （3）任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊； （4）三角形內(nèi)的誘導(dǎo)公式 （5）在ΔABC中，tanA+tanB+tanC= tanA·tanB·tanC. ※例題解析※ 〖例1〗在ΔABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC 解答：由已知得a>c>b,∴A為最大角。由余弦定理得：。又∵。 方法一：由正弦定理得，∴，因此最大角A為，。 方法二：?！逤為三角形的內(nèi)角，∴C為銳角。sinC=,所以最大角為，sinC=。 〖例2〗在ΔABC中，（1）若b=,c=1,B=450o,求a及C的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求邊C。 思路解析：（1）可直接使用正弦定理求解，注意解的個數(shù)的判斷，也可利用余弦定理求解；（2）題目條件是已知兩邊及一邊的對角，這種情況一般用正弦定理理解，但本題不求B，并且求出sinB后發(fā)現(xiàn)B非特殊角，故用正弦定理不是最佳選擇，而應(yīng)直接用余弦定理列出關(guān)于c的方程求解。 2 / 14 解答：（1）方法一：由由正弦定理得，所以sinC=.因為c<b,所以C<B,故C一定是銳角，所以C=，所以A=，所以，所以 方法二：根據(jù)得，解得。解角C方法同上。 （2）因為，所以，解得c=8. （二）三角形形狀的判定 ※相關(guān)鏈接※ 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法： （1）利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀； （2）利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用A+B+C=π這個結(jié)論。 注：在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解。 ※例題解析※ 〖例〗在△ABC中，若試判斷△ABC的形狀 思路解析：三角形形狀的判斷方法是首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷 解答：方法一：由得， [ 2A=2B或2A+2B=π,即A=B或 ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形 方法二：由已知得，即 ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), ∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)， ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0， ∴a=b或a2+b2=c2, ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形 （三）正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用 （1）首先根據(jù)已知量和未知量確定未知量所在的三角形； （2）其次確定與未知量相關(guān)聯(lián)的量； （3）最后把要求解的問題轉(zhuǎn)化到由已知條件可直接求解的量上來。 ※例題解析※ 〖例1〗如圖，，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=600，∠BCD=1350，求BD及BC的長。 解答：在ΔBAD中，由余弦定理，得， ] 〖例2〗如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=300，∠ADB=450，求BD的長。 思路解析：由于AB=5，，∠ADB=450，因此要求BD，可在ΔABD中，由正弦定理求解，關(guān)鍵是確定∠BAD的正弦值。在ΔABC中，AB=5，AC=9，∠ACB=300，因此可用正弦定理求出sin∠ABC,再依據(jù)∠ABC與∠BAD互補確定sin∠BAD即可。 解答：在ΔABC中，AB=5，AC=9，∠BCA=300，由正弦定理，得 注：（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題時要根據(jù)具體題目合理運用，有時還需要交替使用； （2）條件中如果出現(xiàn)平方關(guān)系多考慮余弦定理，出現(xiàn)一次式，一般要考慮正弦定理； （3）在三角形中求角，往往選擇先求該角的余弦值，然后利用余弦函數(shù)在（0，π）上的單調(diào)性求角； （4）正、余弦定理能實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，在解題時一定要重視。 二、應(yīng)用舉例 （一）與距離有關(guān)的問題 ※相關(guān)鏈接※ 1、一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖； （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解； （4）檢驗：檢驗上述所求的解是否具有實際意義，從而得出實際問題的解。 2、解斜三角形應(yīng)用題常有以下幾種情形： （1）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之； （2）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角形或多個三角形，這時需按順序逐步在幾個三角形中求出問題的解； （3）實際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理。 ※例題解析※ 〖例1〗如圖所示，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC=0.1 km. （1）求證：AB=BD. （2）求BD.[ 思路解析：（1）由已知角度不難求得∠BCD，且易得AC，DC關(guān)系，利用三角形全等可得AB=BD. （2）求BD只需將其轉(zhuǎn)化在某一三角形中利用已知條件即可求. 解答：（1）在△ACD中，∠DAC=30°， ∠ADC=60°-∠DAC=30°， 所以CD=AC=0.1 km. 又∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴△ACB≌△DCB 所以BD=BA. （2）在△ABC中， 即 〖例2〗如圖，公路MN和PQ在P處交匯，且∠QPN=300，在A處有一所中學(xué)，AP=160米，假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受影響？請說明理由。如果受影響，已知拖拉機的速度為18千米/小時，那么學(xué)校受影響的時間為多少？ 解答：作AB⊥MN，B為垂足，在RtΔABP中，∵∠ABP=900，∠APB=300，AP=160，∴AB=。∵點A到直線MN的距離小于100米，所以這所中學(xué)會受到噪聲的影響。 如圖所示，若以A為圓心，100米為半徑畫圓，那么圓A和直線MN有兩個交點，設(shè)交點分別為C、D，連接AC和AD，則AC=AD=100米，根據(jù)勾股定理和垂徑定理得：CB=DB=米，∴CD=120米，學(xué)校受噪聲影響的時間為t=×3600=24秒 （二）與高度有關(guān)的問題 ※相關(guān)鏈接※ 1、在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角； 2、準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，畫出示意圖； 3、運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用。 ※例題解析※ 〖例1〗測量河對岸的塔高AB時，可選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=s，并在點C處測得塔頂A的仰角為30°，求塔高AB. 思路解析：在△BCD中求得CB，在△ACB中，求出AB. 解答：在△BCD中，∠CBD=180°-75°-60°=45°， 由正弦定理得 [ 在Rt△ABC中， AB=BC·tan∠ACB= 〖例2〗某人在山頂觀察地面上相距2500m的A、B兩個目標(biāo)，測得A在南偏本570，俯角為300，同時測得B在南偏東780，俯角是450，求山高（設(shè)A、B與山底在同一平面上，計算結(jié)果精確到0.1m）. 解答:畫出示意圖(如圖所示): 設(shè)山高PQ=h,則ΔAPQ、ΔBPQ均為直角三角形，在圖（1）中，∠PAQ=300，∠PBQ=450?！郃Q=PQ=h。在圖（2）中，∠AQB=570+780=1350，AB=2500m，所以由余弦定理得：即 ∴ 所以山高約984.4m. （三）與角度有關(guān)的問題 ※相關(guān)鏈接※ 1、測量角度，首先應(yīng)明確方位角、方向角的含義； 2、在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點。 ※例題解析※ 〖例〗在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東450方向，距A處n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏本750的方向，距離A處2n mile的C處的緝私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船。此時，走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東300方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？ 思路解析：本例考查正弦、余弦定理的建模應(yīng)用。如圖所示： 注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等，若在D處相遇，則可先在ΔABC中求出BC，再在ΔBCD中求∠BCD。 解答：設(shè)緝私船用 h在D處追上走私船，則有CD=10，BD=10，在ΔABC中，∵AB=，AC=2，∠BAC=1200，∴由余弦定理，得 ，∴BC=，且sin∠ABC=∴∠ABC=450,∴BC與正北方向垂直。∵∠CBD=900+300=1200，在ΔBCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=300。 即緝私船沿東偏北300方向最快追上走私船。 （四）與三角形面積有關(guān)的問題 〖例〗在ΔABC中，內(nèi)角A、B、C對邊的邊長分別是a,b,c,已知c=2,C=。 （1）若ΔABC的面積等于，求a,b; (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ΔABC的面積。 思路解析：（1）利用余弦定理與已知條件確定a,b的一個關(guān)系式利用三角形的面積確定a,b的另一個關(guān)系式聯(lián)立方程組求a,b； （2）化簡已知條件求a,b求 解答：（1）由余弦定理及已知條件得 聯(lián)立方程組得： （2） 注：（1）對于面積公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式； （2）與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，實施邊角轉(zhuǎn)化； （3）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題時要根據(jù)具體題目合理選用，有時還需要交替使用。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！