2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點難點精講精析 11.3隨機變量及其分布

2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點難點精講精析： 11.3隨機變量及其分布 一、離散型隨機變量及其分布列 （一）隨機變量的概念 ※相關(guān)鏈接※ 1．所謂隨機變量，就是試驗結(jié)果和實數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系。這與函數(shù)概念在本質(zhì)上是相同的，不同的是函數(shù)的自變量是實數(shù)，而隨機變量的自變量是試驗結(jié)果。 2．如果隨機變量可能取的值為有限個，則我們能夠把其結(jié)果一一列舉出來。 3．隨機變量是隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)隨機試驗的某一個隨機事件，在學(xué)習(xí)中，要注意隨機變量與以前所學(xué)的變量的區(qū)別與聯(lián)系。 ※例題解析※ 〖例〗寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果。 （1）一個口袋中裝有2個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)為。 （2）投擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和為X，所得點數(shù)的最大值為Y。 思路解析：（1）3個球中，可能有1個白球，也可能有兩個，還可能沒有。（2）投擲結(jié)果為，其中且。利用投擲結(jié)果確定X，Y。 解答：（1）可取0，1，2。 =0表示所取3個球中沒有白球； =1表示所取3個球中有一個白球，2個黑球； =2表示所取3個球鞋中有2個白球，1個黑球。 （1）X的可能取值2，3，4，5，……，12。Y的可能取值為1，2，3，……，6。若以表示先后投擲的兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)。則X=2表示（1，1），X=3表示（1，2），（2，1），X=4表示（1，3），（2，2），（3，1），……，X=12表示（6，6）； Y=1表示（1，1），Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2），Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），……，Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），……，（6，6），（6，5），……，（6，1）。 （二）離散型隨機變量的分布列 2 / 27 ※相關(guān)鏈接※ 1．分布列可由三種形式，即表格、等式和圖象表示。在分布列的表格表示中，結(jié)構(gòu)為2行n+1列，第1行表示隨機變量的取植，第2行是對應(yīng)的變量的概率。 2．求分布列分為以下幾步：（1）明確隨機變量的取值范圍；（2）求出每一個隨機變量取值的概率；（3）列成表格。 注：分布的求解應(yīng)注意以下幾點：（1）搞清隨機變量每個取值對應(yīng)的隨機事件；（2）計算必須準(zhǔn)確無誤；（3）注意運用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求的分布列是否正確。 ※ 例題解析※ ※ 〖例〗一袋裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機取出3球鞋，以X表示取出球的最大號碼，求X的分布列。 思路解析：確定X的所有取值求出隨機變量X對應(yīng)的概率寫出隨機變量X的分布列。 解答：隨機變量X的取值為3，4，5，6，從袋中隨機地取3個球，包含的基本事件總數(shù)為，事件“X=3”包含的基本事件總數(shù)為，事件“X=4”包含的基本事件總數(shù)為；事件“X=5”包含的基本事件總數(shù)為；事件“X=6”包含的基本事件總數(shù)為；從而有 ∴隨機變量X的分布列為： X 3 4 5 6 P （三）離散型隨機變量分布列的性質(zhì) 〖例〗設(shè)離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0．2 0．1 0．1 0．3 m 求：（1）2X+1的分布列； （2）|X-1|的分布列。 思路解析：先由分布列的性質(zhì)，求出m，由函數(shù)對應(yīng)關(guān)系求出2X+1和|X-1|的值及概率。 解答：由分布列的性質(zhì)知： 0．2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 首先列表為: X 0 1 2 3 4 2X+1 1 3 5 7 9 |X-1| 1 0 1 2 3 從而由上表得兩個分布列為: （1）2X+1的分布列： （2）|X-1|的分布列： 注：利用分布列的性質(zhì)，可以求分布列中的參數(shù)值。對于隨機變量的函數(shù)（仍是隨機變量）的分布列，可以按分布的定義來求。 （四）利用隨機變量分布解決概率分布問題 〖例〗某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核 （1）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)； （I2）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （3）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。 解析：（1）這一問較簡單，關(guān)鍵是把握題意，理解分層抽樣的原理即可。另外要注意 此分層抽樣與性別無關(guān)。 （2）在第一問的基礎(chǔ)上，這一問處理起來也并不困難。 從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率 （3）的可能取值為0，1，2，3 ，， ， 分布列及期望略. 二、二項分布及其應(yīng)用 （一）條件概率 ※相關(guān)鏈接※ 條件概率的求法 （1）利用定義，分別求P（A）和P（AB），得P（B|A）=P（AB）/P（A）。 （2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)= n(AB)/ n(A). ※例題解析※ 〖例〗1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱隨機取出一球,問從2號箱取出紅球的概率是多少? 思路解析:本題可分為兩種互斥的情況:一是從1號箱取出紅球;二是1號箱取出白球.然后利用條件概率知識來解決. 解答:記事件A:最后從2號箱中取出的是紅球;事件B:從1號箱中取出的是紅球. 則P(B)=4/(2+4)=2/3,.P(A|B)=(3+1)/(8+1)=4/9.P(A|)=3/(8+1)=1/3.從而P(A)=P(AB)+P(A)= P(A|B) P(B)+ P(A|)P()=4/9×2/3+×=. (二)事件的相互獨立性 ※相關(guān)鏈接※ 1.判斷事件是否相互獨立的方法 (1)利用定義: 事件A、B相互獨立P(AB)=P(A)·P(B). (2)利用性質(zhì):A與B相互獨立,則A與,與B, 與也都相互獨立. (3)具體背景下: ①有放回地摸球,每次摸球結(jié)果是相互獨立的. ②當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時,不放回抽樣也可近似看作獨立重復(fù)試驗. 2.在解題過程中,要明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.已知兩個事件A、B，它們的概率分別為P（A）、P（B），則 A、B中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B； A、B都發(fā)生的事件為AB； A、B都不發(fā)生的事件為； A、B恰有一個發(fā)生的事件為A∪B； A、B中至多有一個發(fā)生的事件為A∪B∪。 注:兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生;兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響.學(xué)習(xí)中要注意兩者的區(qū)別,以免出現(xiàn)計算錯誤. ※例題解析※ 〖例〗甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨立.求： （Ⅰ） 打滿3局比賽還未停止的概率； （Ⅱ）比賽停止時已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望E. 解析：令分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝. 　　　?。á瘢┯瑟毩⑹录瑫r發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿3局比 賽還未停止的概率為 　　　　　　　 　　　　（Ⅱ）的所有可能值為2，3，4，5，6，且 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　故有分布列 2 3 4 5 6 P 　　　　　　　 從而（局）. (三)二項分布 ※相關(guān)鏈接※ 1.二項分布滿足條件 (1)每次試驗中,事件發(fā)生的概率是相同的. (2)各次試驗中的事件是相互獨立的. (3)每次試驗只有兩種結(jié)果:事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生. (4)隨機變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù). 2.解決概率問題的步驟 (1)記“事件”或設(shè)“事件”. (2)確定事件的性質(zhì).古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復(fù)試驗.把所給問題歸結(jié)為四類事件中的某一種. (3)判斷事件的運算是和事件還是積事件,即事件是至少有一個發(fā)生,還是同時發(fā)生,然后分別運用相加或相乘公式. (4)運用公式進(jìn)行計算. (5)簡明寫出答案. ※例題解析※ 〖例〗某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn).已知參加過財會培訓(xùn)的有60%,參加過計算機培訓(xùn)的有75%,假設(shè)每個人對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的,且各人的選擇相互之間沒有影響. (1)任選1名下崗人員,求該人參加過培訓(xùn)的概率; (2)任選3名下崗人員,記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù),求的分布列. 思路解析:(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式;(2)應(yīng)用二項分布求解. 解答:(1)任選1名下崗人員,記“該人參加過財會培訓(xùn)”為事件A，“該人參加計算機培訓(xùn)”為事件B，由題意知，A與B相互獨立，且P（A）=0.6,P(B)=0.75.所以,該下崗人員沒有參加過培訓(xùn)的概率為 P()=P()·P()=(1-0.6)(1.0.75)=0.1 ∴該人參加過培訓(xùn)的概率為1-0.1=0.9. (2)因為每個人的選擇是相互獨立的,所以3保參加過培訓(xùn)的人數(shù)服從二項分布,即～B(3,0.9),P(=k)=∴的分布列為 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 (四)獨立重復(fù)試驗 〖例〗甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分布是和。假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響。 (1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率; (2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率; (3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則中止其射擊. 問:乙恰好射擊5次后,補中止射擊的概率是多少? 思路解析:(1)至少一次未擊中,包含情況多,可求其對立事件的概率; (2)甲恰好擊中目標(biāo)2次與乙恰好擊中目標(biāo)3次相互獨立; (3)乙恰好射擊5次被中止,相當(dāng)于前2次射擊至少有一次擊中,第3次擊中,第4次、第5次未擊中. 解答:(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件.由題意,射擊4次相當(dāng)于作4次獨立重復(fù)試驗.故P()=1-P()=1-()4=, 所以甲連續(xù)射擊4次至少有一次未擊中目標(biāo)的概率為 (2)記“甲射擊4次，恰有2次擊目標(biāo)”為事件， “乙射擊4次，恰有3次擊中目標(biāo)”為事件， 則 由于甲、乙射擊相互獨立， 故。 所以兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為。 （3）記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件，“乙第次射擊未擊中”為事件則由于各事件相互獨立，故 所以乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為。 注：（1）獨立重復(fù)試驗，是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨立地進(jìn)行的一種試驗。在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的。（2）在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=在利用該公式時一定要審清公式中的n,k各是多少。 三、離散型隨機變量的均值與方差的計算 （一）離散型隨機變量均值與方差的計算 ※相關(guān)鏈接※ 求離散型隨機變量均值與方差的方法： （1）理解的意義，寫出可能取的全部值； （2）求取每個值的概率； （3）寫出的分布列； （4）由均值的定義求E； （5）由方差的定義求D。 注：（1）隨機變量的均值等于該隨機變量的每一個取值與取該值時對應(yīng)的概率乘積的和。 （2）均值（數(shù)學(xué)期望）是隨機變量的一個重復(fù)特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機變量值的平均水平，均值（數(shù)學(xué)期望）是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均。 （3）EX是一個實數(shù)，即X作為隨機變量是可變的，而EX是不變的。 ※例題解析※ 〖例〗甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分， 答錯得零分。假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用ε表示甲隊的總得分. （Ⅰ）求隨機變量ε分布列和數(shù)學(xué)期望； (Ⅱ)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB). 解答：(Ⅰ)解法一：由題意知，ε的可能取值為0，1，2，3,且 所以ε的分布列為 ε 0 1 2 3 P ε的數(shù)學(xué)期望為 　　　　　Eε= 解法二：根據(jù)題設(shè)可知 因此ε的分布列為 （Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 解法二：用Ak表示“甲隊得k分”這一事件，用Bk表示“已隊得k分”這一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1為互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). = 注：求離散型隨機變量分布列時要注意兩個問題：一是求出隨機變量所有可能的值；二是求出取每一個值時的概率。求隨機變量的分布列，關(guān)鍵是概率類型的確定與轉(zhuǎn)化，如古典概率、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率等。 （二）均值與方差的實際應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 1．DX表示隨機變量X對EX的平均偏離程度，DX越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近，統(tǒng)計中常用來描述X的分散程度。 2．隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定。 ※例題解析※ 〖例〗現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(0<p<1)，設(shè)乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨立的調(diào)整。記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X，對乙項目每投資十萬元，X取0、1、2時。隨機變量，分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤。 （1）求，的概率分布列和均值，； （2）當(dāng)＜時，求p的取值范圍。 思路解析：（1）求分布列，應(yīng)先確定的取值，再求的取值對應(yīng)的概率； （2）由＜，找出關(guān)于p的不等式，即可求出p的范圍。 解答：（1）方法一：的概率分布列為 1．2 1．18 1．17 P =1．2×+1．18×+1．17×=1．18。 由題設(shè)得X～B（2，p），即X的概率分布列為 X 0 1 2 p (1-p)2 2p(1-p) P2 故的概率分布列為 1．3 1．25 0．2 P (1-p)2 2p(1-p) P2 所以的均值列為 =1．3×(1-p)2+1．25×2p(1-p)+ 0．2×P2=- P2-0.1p+1.3 方法二: 的概率分布列為 1．2 1．18 1．17 P =1．2×+1．18×+1．17×=1．18。 設(shè)表示事件“第次調(diào)整，價格下降”（=1，2），則P(X=0)=P()P()=(1-p)2, P(X=1)=P()P()+P()P()=2p(1-p), P(X=2)=P()P()=P2. 故的概率分布列為 1．3 1．25 0．2 P (1-p)2 2p(1-p) P2 所以的均值列為 =1．3×(1-p)2+1．25×2p(1-p)+ 0．2×P2=- P2-0.1p+1.3 (2)由＜,得- P2-0.1p+1.3＞1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3) ＜0, 解得-0.4＜p＜0.3. 因為0＜p＜1,所以當(dāng)＜時,p的取值范圍是0＜p＜0.3. (三)均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用 〖例〗設(shè)隨機變量具有分布P(=k)=,k=1,2,3,4,5,求E(+2)2,D(2-1),(-1). 思路解析:利用性質(zhì),. 解答: 注: 是隨機變量,則一般是隨機變量,在求的均值和方差時,熟練應(yīng)用均值和方差的性質(zhì),可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算. 四、正態(tài)分布 （一）正態(tài)分布下的概率計算 ※相關(guān)鏈接※ 關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 （1）熟記的值。 （2）充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1。 注：在利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時，要注意正態(tài)曲線的對稱軸是，而不是。 ※例題解析※ 〖例〗設(shè)X～N（5，1），求P（6＜X＜7）。 思路解析：根據(jù)，求P（4＜X＜6）→根據(jù)，求P（3＜X＜7）→根據(jù)正態(tài)曲線對稱性，求P（6＜X＜7） 解答：由已知 ∵P（4＜X＜6）=0.6826, P（3＜X＜7）=0.9544. ∴P（3＜X＜7）+ P（6＜X＜7）=0.9544-0.6826=0.2718. 如圖, 由正態(tài)曲線的對稱性可得P（3＜X＜4）= P（6＜X＜7） ∴P（6＜X＜7）= （二）正態(tài)曲線的性質(zhì) ※相關(guān)鏈接※ 正態(tài)曲線指的是一個函數(shù)的圖象，其函數(shù)解析式是。正態(tài)曲線的性質(zhì)告訴我們： （1）該函數(shù)的值域為正實數(shù)集的子集； （2）該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且以為漸近線； （3）該函數(shù)在時取得最大值； （4）解析式中前面有一個系數(shù)，后面是一個以為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為，其中這個參數(shù)在解析式中的兩個位置上出現(xiàn)，注意兩者的一致性。 ※例題解析※ 〖例〗如圖是一個正態(tài)曲線。 試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)曲線函數(shù)解析式，求出總體隨機變量的期望和方差。 思路解析：給出一個正態(tài)曲線，就給出了該曲線的對稱軸和最大值，從而就能求出總體隨機變量的期望、標(biāo)準(zhǔn)差以及解析式。 解答：從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對稱，最大值是，所以。，解得。于是正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是： 總體隨機變量的期望是，方差是。 （三）正態(tài)分布的應(yīng)用 〖例〗設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)服從，且知滿分150分，這個班的學(xué)生共54人。求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格（不小于90分）的人數(shù)和130分以上的人數(shù)。 思路解析：要求及格的人數(shù)，即求出P（90≤X≤150），而求此概率需將問題化為正態(tài)變量幾種特殊值的概率形式，然后利用對稱性求解。 解答：因為，所以 所以，的概率為 所以，的概率為0.6826+0.1587=0.8413. 所以及格的人數(shù)為54×0.8413≈45(人),130分以上的人數(shù)為54×0.1587≈9(人). 注:正態(tài)分布的特點可結(jié)合圖象記憶,并可根據(jù)和的不同取值得到不同的圖象,特別地,當(dāng)時,圖象關(guān)于軸對稱. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！