2015屆高考數(shù)學總復習 基礎知識名師講義 第三章 第五節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質 文

1．能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象． 2．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(如值域、單調性、奇偶性、最大值和最小值以及與x軸交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間上的性質．了解三角函數(shù)的周期性． 知識梳理 一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質 函數(shù)名稱 正弦函數(shù)y＝sin x 余弦函數(shù)y＝cos x 正切函數(shù)y＝tan x 函數(shù)圖象 定義域 x∈R x∈R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最值 當x＝2kπ＋，k∈Z時，ymax＝1； 當x＝2kπ－，k∈Z時，ymin＝－1 當x＝2kπ，k∈Z時，ymax＝1； 當x＝2kπ＋π，k∈Z時，ymin＝－1 無最值 (續(xù)上表) 1 / 7 二、研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質的方法 類比于研究y＝sin x的性質，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sin x中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，要特別注意A和ω的符號，通過誘導公式先將ω化為正數(shù)．研究函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的性質的方法與其類似，也是類比、轉化． 三、求三角函數(shù)的周期的常用方法 經過恒等變形化成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式． 如：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期都是；函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是. 另外還有圖象法和定義法． 基礎自測 1．(2013揭陽二模)設函數(shù)f(x)＝cos(2π－x)＋cos，則函數(shù)的最小正周期為(　　) A. B．π C．2π D．4π 解析：函數(shù)f(x)＝cos x＋sin x＝2＝2sin， 故其最小正周期為＝2π，故選C. 答案：C 2．(2013天津卷)函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為(　　) A．－1 B．－ C. D．0 解析：因為x∈，所以－≤2x－≤，令n＝2x－，則sin＝sin n在n∈上的最小值為sin＝－.故選B. 答案：B 3．(2012浙江名校新高考聯(lián)盟二聯(lián)) 若函數(shù)f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是奇函數(shù)，則sin αcos α＝________. 解析：因為函數(shù)f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是奇函數(shù)，所以f(0)＝sin α－2cos α＝0，即tan α＝2.所以sin αcos α＞0，不妨設α為銳角，可得sin α＝，cos α＝.所以sin αcos α＝. 答案： 4．(2012合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在上單調遞增，在上單調遞減，則ω＝___________. 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1．(2013山東卷)函數(shù)y＝x cos x＋sin x的圖象大致為(　　) 解析：函數(shù)y＝xcos x＋sin x為奇函數(shù)，排除B.取x＝，排除C；取x＝π，排除A，故選D. 答案：D 2．已知函數(shù)f(x)＝4cos xsin－1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解析：(1)∵f(x)＝4cos x－1 ＝2sin xcos x＋2cos2x－1 ＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴當2x＋＝，即x＝時，函數(shù)f(x)取得最大值2；當2x＋＝－， 即x＝－時，函數(shù)f(x)取得最小值－1. 1. (2013佛山一模)函數(shù)y＝sin x＋sin 的最小正周期為________，最大值是________． 解析：因為函數(shù)y＝sin x＋sin＝sin x＋sin x－cos x＝sin. 所以函數(shù)的周期為T＝＝2π； 函數(shù)的最大值為：. 答案：2π　 2．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x(x∈R)． (1)當x取什么值時，函數(shù)f(x)取得最大值？并求其最大值． (2)若θ為銳角，且f＝，求tan θ的值． 解析：(1)f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝ ＝sin. ∴當2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取得最大值，其最大值為. (2)∵f＝， ∴sin＝. ∴cos 2θ＝. ∵θ為銳角，即0<θ<，∴0<2θ<π. ∴sin 2θ＝＝. ∴tan θ＝＝＝＝. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！