2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第四章 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積 文

三節(jié)　平面向量的數(shù)量積 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 知識(shí)梳理 一、平面向量的數(shù)量積的定義 1．向量a，b的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，過(guò)點(diǎn)O作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a，b的夾角． 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b同方向時(shí)，θ＝0°，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反方向時(shí)，θ＝180°，同時(shí)零向量與其他任何非零向量的夾角是任意的． 2．a(chǎn)與b垂直：如果a，b的夾角為90°，則稱a與b垂直，記作a⊥b. 3．a(chǎn)與b的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為θ，則cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝cos θ，規(guī)定0·a＝0，非零向量a與b當(dāng)且僅當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90°，這時(shí)a·b＝0. 4．b在a方向上的投影：|OP|＝cos θ∈R(注意是射影)． 5．a(chǎn)·b的幾何意義：a·b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積． 1 / 6 二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，e是單位向量，于是有： 1．e·a＝a·e＝cos θ. 2．a(chǎn)⊥b?a·b＝0. 3．當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－，特別地，a·a＝a2＝2，即|a|＝. 4．cos θ＝. 5.≤. 三、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律成立：a·b＝b·a. 2．結(jié)合律成立：·b＝λ＝a·(λ∈R)． 3．分配律成立：·c＝a·c±b·c＝c·. 四、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 2．若a＝(x，y)，則|a|2＝a·a＝x2＋y2，＝. 3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝. 4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 5．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cos θ ＝ . 基礎(chǔ)自測(cè) 1．(2013·遼寧卷)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量AB同方向的單位向量為(　　) A. B. C. D. 解析：＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴與同方向的單位向量為＝. 答案：A 2．(2013·佛山一模)已知a＝(1,2)，b＝(0,1)，c＝(k，－2)，若(a＋2b)⊥c，則k＝(　　) A．2 B．－2 C．8 D．－8 解析：∵a＝(1,2)，b＝(0,1)，∴a＋2b＝(1,4)， 又因?yàn)?a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝k－8＝0， 解得k＝8，故選C. 答案：C 3．(2013·山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)，若∠ABO＝90°，則實(shí)數(shù)t的值為________． 解析：因?yàn)椤螦BO＝90°，即⊥， 所以·＝(－)·＝(3,2－t)·(2,2)＝6＋4－2t＝0，解得：t＝5. 答案：5 4．已知平面向量α，β，＝1，＝2，α⊥(α－2β)，則的值是________． 答案： 1．(2013·陜西卷)設(shè)a，b為向量，則“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：a·b＝|a|·|b|·cos θ. 若|a·b|＝|a|·|b|?cos θ＝±1，則向量a與b的夾角為0或π，即a∥b為真； 相反，若a∥b，則向量a與b的夾角為0或π， 即|a·b|＝|a|·|b|. 答案：C 2．(2013·福建卷)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　) A. B．2 C．5 D．10 解析：因?yàn)?amp;#183;＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，所以四邊形的面積為＝＝5，故選C. 答案：C 高考測(cè)驗(yàn) 1．(2012·廣州一模)已知兩個(gè)非零向量a與b，定義|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ為a與b的夾角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，則|a×b|的值為(　　) A．－8 B．－6 C．8 D．6 解析：由已知可得|a|＝5，|b|＝2，則cos θ＝＝＝，∴sin θ＝.∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝5×2×＝6.故選D. 答案：D 2．(2013·韶關(guān)二模)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)；則cos〈a，b〉的值是________． 解析：由題意可得a·(a－b)＝a2－a·b＝0， 即1－1×2×cos〈a，b〉＝0， 解得cos〈a，b〉＝. 答案： 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！