高二數(shù)學(xué)同步測試（6）— 空間向量

高中學(xué)生學(xué)科素質(zhì)訓(xùn)練 高二數(shù)學(xué)同步測試（6）— 空間向量 YCY 本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.共150分. 第Ⅰ卷（選擇題，共50分） 一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．在下列命題中：①若、共線，則、所在的直線平行；②若、所在的直線是異 面直線，則、一定不共面；③若、、三向量兩兩共面，則、、三向量一定 也共面；④已知三向量、、，則空間任意一個向量總可以唯一表示為 ．其中正確命題的個數(shù)為 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是 （ ） A．有相同起點的向量 B．等長向量 C．共面向量 D．不共面向量 3．若向量、 （ ） A． B． C． D．以上三種情況都可能 4．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共 面，則實數(shù)λ等于 （ ） A． B． C． D． 5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若， 則 （ ） A．+－ B．－+ C．－++ D．－+－ 6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，則向量與之間的夾角為（ ） A．30 B．45 C．60 D．以上都不對 7．若、均為非零向量，則是與共線的 （ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 8．已知△ABC的三個頂點為A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），則BC邊上的 中線長為 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知 （ ） A．－15 B．－5 C．－3 D．－1 10．已知，，，點Q在直線OP上運動，則當(dāng) 取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題，共100分） 二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三點共線，則m+n= ． 12．已知S是△ABC所在平面外一點，D是SC的中點， 若＝，則x＋y＋z＝ ． 13．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線， G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED， 以｛，，｝為基底，則＝ ． 14．設(shè)||＝1，||＝2，2＋與－3垂直，＝4－， ＝7＋2， 則<,>＝ ． 三、解答題（本大題滿分76分） 15．(12分) 如圖，一空間四邊形ABCD的對邊 AB與CD，AD與BC都互相垂直， 用向量證明：AC與BD也互相垂直． 16．（12分））如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中， E是DC的中點，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． （1）寫出A、B1、E、D1的坐標(biāo)； （2）求AB1與D1E所成的角的余弦值． 17．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、 PC的中點． （1）求證：EF∥平面PAD； （2）求證：EF⊥CD； （3）若PDA＝45，求EF與平面ABCD所成的角的大?。? 18．（12分）在正方體中，如圖Ｅ、Ｆ分別是 ，ＣＤ的中點， （1）求證：平面ADE； （2）求． 19．（14分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD， ，E是PC的中點，作交PB于點F. （1）證明 平面； （2）證明平面EFD； （3）求二面角的大?。? 20．（14分）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90，側(cè)棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. （1）求A1B與平面ABD所成角的大小 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）； （2）求點A1到平面AED的距離. 參考答案（六） 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D D C A B A C 二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 11． 12． 0 13． 14．0 三、解答題（本大題共6題，共76分） 15．(12分) 證明： . 又， 即.……① . 又，即.……② 由①+②得：即.. 16．(12分) 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2)∵ ＝(0, -2, 2)，＝(0, 1, 2) ∴ ||＝2，||＝，＝0－2＋4＝2, ∴ cos ， ＝ ＝ ＝ ．∴ AB1與ED1所成的角的余弦值為． 17．(12分) 證：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AB＝2a， BC＝2b，PA＝2c，則：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)， D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) ∵ E為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點 ∴ E (a, 0, 0)，F(xiàn) (a, b, c) (1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0) ∴ ＝(＋) ∴ 與、共面 又∵ E 平面PAD ∴ EF∥平面PAD． (2) ∵ ＝(-2a, 0, 0 ) ∴ ＝(-2a, 0, 0)(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF． (3) 若PDA＝45，則有2b＝2c，即 b＝c， ∴ ＝(0, b, b)， ＝(0, 0, 2b) ∴ cos ，＝＝ ∴ ，＝ 45 ∵ ⊥平面AC，∴ 是平面AC的法向量 ∴ EF與平面AC所成的角為：90－，＝ 45． 18．(12分) 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（1）不妨設(shè)正方體的棱長為1， 則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1）， E（1，1，），F(xiàn)（0，，0）， 則＝（0，，－1），＝（1，0，0）， ＝（0，1，）， 則＝0， ＝0， ，. 平面ADE. （２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－）， ＝－1＋0－＝－， ，， 則cos. . 19．（14分）解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點.設(shè) (1)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G.連結(jié)EG. 依題意得 底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故點G的坐標(biāo)為且 . 這表明. 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。 (2)證明：依題意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD. (3)解：設(shè)點F的坐標(biāo)為則 從而所以 由條件知，即 解得 。 點F的坐標(biāo)為 且 ,即，故是二面角的平面角. ∵且 ,所以，二面角C—PC—D的大小為 20．(14分) 解：（1）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角. 如圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為O，設(shè)CA=2a， 則A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2） E（a，a，1） G（）. ， ，解得a=1. . A1B與平面ABD所成角是. （2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1） 平面AA1E，又ED平面AED. ∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE， ∴點A在平面AED的射影K在AE上. 設(shè)， 則 由，即， 解得. ,即 即點A1到平面AED的距離為.