湘教版高考數(shù)學(xué)文一輪題庫(kù) 第2章第8節(jié)函數(shù)與方程

△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 高考真題備選題庫(kù) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程 考點(diǎn) 函數(shù)零點(diǎn)與方程的根 1．(2013安徽，5分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.若f(x1)＝x1<x2，則關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)與方程的基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力以及創(chuàng)新意識(shí)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，可知關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2.則方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根，即f(x)＝x1或f(x)＝x2，原方程根的個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等實(shí)根的個(gè)數(shù)之和．由上述可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間(x1，x2)上是單調(diào)遞減的，又f(x1)＝x1<x2，如圖所示，由數(shù)形結(jié)合可知，f(x)＝x1時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根，f(x)＝x2時(shí)有一個(gè)實(shí)根，所以不同實(shí)根的個(gè)數(shù)為3. 答案：A 2．（2013湖南，5分）函數(shù)f(x)＝ln x的圖像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與方程根的個(gè)數(shù)，意在考查考生對(duì)初等函數(shù)的了解及數(shù)形結(jié)合能力．結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝ln x與二次函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2可得函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)． 答案：C 3．(2013天津，5分)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：本題考查函數(shù)零點(diǎn)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝|log0.5x|與y＝圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|log0.5x|與y＝的圖象，易知有2個(gè)交點(diǎn)． 答案：B 4．(2013湖南，5分)函數(shù)f(x)＝2ln x的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：本小題主要考查二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)值的取值范圍的探究及數(shù)形結(jié)合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其頂點(diǎn)為(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知點(diǎn)(2,1)位于函數(shù)f(x)＝2ln x圖象的下方，故函數(shù)f(x)＝2ln x的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象有2個(gè)交點(diǎn)． 答案：B 5．(2013重慶，5分)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(　　) A．(a，b) 和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi) C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a) 和(c，＋∞)內(nèi) 解析：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，意在考查考生數(shù)形結(jié)合的能力．由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)． 答案：A 6．（2012北京，5分）函數(shù)f(x)＝x－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：因?yàn)閥＝x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝()x在x∈R上單調(diào)遞減，所以f(x)＝x－()x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－()x在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)． 答案：B 7．（2012湖南，5分）設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0<f(x)<1；當(dāng)x∈(0，π)且x≠時(shí)，(x－)f′(x)>0.則函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．4 C．5 D．8 解析：依題意，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0<f(x)<1，由f(x)是偶函數(shù)得，當(dāng)x∈[－π，0]時(shí)，0<f(x)<1，即x∈[－π，π]時(shí)，0<f(x)<1，由f(x)的周期為2π知，0<f(x)<1恒成立．當(dāng)x∈[π，2π]時(shí)，－1≤sin x≤0，由0<f(x)<1得，y＝f(x)與y＝sin x不相交，即函數(shù)y＝f(x)－sin x無零點(diǎn)；當(dāng)x∈(0，)時(shí)，由(x－)f′(x)>0得，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，而y＝sin x是增函數(shù)，由圖象知，y＝f(x)與y＝sin x有1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)－sin x有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x∈(，π)時(shí)，由(x－)f′(x)>0得，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，而y＝sin x是減函數(shù)，由圖象知，y＝f(x)與y＝sin x有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)－sin x有1個(gè)零點(diǎn)．故函數(shù)y＝f(x)－sin x在[0,2π]上有2個(gè)零點(diǎn)．由周期性得，函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－2π，0)上有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上有4個(gè)零點(diǎn)． 答案：B 8．（2012湖北，5分）函數(shù)f(x)＝xcos 2x在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：f(x)＝xcos 2x＝0?x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4個(gè)根，故原函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)． 答案：D 9．（2011福建，5分）若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－1,1)　　　　　　　　 B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得：判別式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2. 答案：C 10．（2011天津，5分）對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(　　) A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2] C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1] 解析：令(x2－2)－(x－1)≤1，得－1≤x≤2， ∴f(x)＝∵y＝f(x)－c與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，畫函數(shù)的圖像得知實(shí)數(shù)c的取值范圍是(－2，－1]∪(1,2]． 答案：B 11．（2011陜西，5分）方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)(　　) A．沒有根 B．有且僅有一個(gè)根 C．有且僅有兩個(gè)根 D．有無窮多個(gè)根 解析：求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)根的個(gè)數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)?(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．由(x)＝|x|和g(x)＝cosx的圖像易知有兩交點(diǎn)，即原方程有且僅有兩個(gè)根． 答案：C 12．（2010福建，5分）函數(shù)f(x)＝，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：法一：令f(x)＝0得 或，∴x＝－3 或x＝e2，應(yīng)選B. 法二：畫出函數(shù)f(x)的圖象可得，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)． 答案：B 13．（2010天津，5分）函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)． 答案：C 14．（2011遼寧，5分）已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 解析：由原函數(shù)有零點(diǎn)，可將問題轉(zhuǎn)化為方程ex－2x＋a＝0有解問題，即方程a＝2x－ex有解． 令函數(shù)g(x)＝2x－ex，則g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函數(shù)，在(ln2，＋∞)上是減函數(shù)，所以g(x)的最大值為：g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范圍就是函數(shù)g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]． 答案：(－∞，2ln2－2] 15．（2011北京，5分）已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____． 解析：作出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，由圖像可知，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù) f(x)與y＝k的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,1)． 答案：(0,1) 16．(2009廣東，14分)已知二次函數(shù)y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1(m≠0)．設(shè)f(x)＝， (1)若曲線y＝f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值； (2)k(k∈R)如何取值時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)． 解：∵y＝g′(x)＝2ax＋b的圖象與直線y＝2x平行， ∴a＝1. 又∵y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1， ∴－＝－1，g(－1)＝a(－1)2＋b(－1)＋c＝m－1， 所以b＝2，c＝m.從而f(x)＝＝＋x＋2. (1)已知m≠0，設(shè)曲線y＝f(x)上點(diǎn)P的坐標(biāo)為 P(x，y)，則點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離為 |PQ|＝＝ ＝≥ ＝ ， 當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝?x＝ 時(shí)等號(hào)成立． ∵|PQ|的最小值為， ∴＝?|m|＋m＝1. ①當(dāng)m＞0時(shí)，解得m＝＝－1. ②當(dāng)m＜0時(shí)，解得m＝＝－－1. 故m＝－1或m＝－－1. (2)y＝f(x)－kx的零點(diǎn)， 即方程＋(1－k)x＋2＝0的解， ∵m≠0，∴＋(1－k)x＋2＝0與(k－1)x2－2x－m＝0有相同的解． ①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0?x＝－≠0， 所以函數(shù)y＝f(x)－kx有零點(diǎn)x＝－. ②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判別式 Δ＝4[1＋m(k－1)]． 若Δ＝0?k＝1－， 此時(shí)函數(shù)y＝f(x)－kx有一個(gè)零點(diǎn)x＝－m. 若Δ＞0?1＋m(k－1)＞0， ∴當(dāng)m＞0，k＞1－，或m＜0，k＜1－時(shí)， 方程(k－1)x2－2x－m＝0有兩個(gè)解． x1＝和x2＝. 此時(shí)函數(shù)y＝f(x)－kx有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2. 若Δ＜0?1＋m(k－1)＜0， ∴當(dāng)m＞0，k＜1－，或m＜0，k＞1－時(shí)， 方程(k－1)x2－2x－m＝0無實(shí)數(shù)解， 此時(shí)函數(shù)y＝f(x)－kx沒有零點(diǎn)． 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品