高三數(shù)學文一輪備考 第5章第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項和

△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 高考真題備選題庫 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 考點一 等差數(shù)列的通項公式 1．（2013安徽，5分）設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝(　　) A．－6　　　　　　　　　 B．－4 C．－2 D．2 解析：本題主要考查等差數(shù)列的基礎知識和基本運算，意在考查考生的運算求解能力． 根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. 答案：A 2．（2013新課標全國Ⅰ，12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和． 解：本題主要考查等差數(shù)列的基本知識，特殊數(shù)列求和等． (1)設{an}的公差為d，則Sn＝na1＋d. 由已知可得解得a1＝1，d＝－1. 故{an}的通項公式為an＝2－n. (2)由(1)知＝＝，從而數(shù)列的前n項和為＝. 3．（2013新課標全國Ⅱ，12分）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 解：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的求和，意在考查考生的運算求解能力． (1)設{an}的公差為d.由題意，a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)， 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2. 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項為25，公差為－6的等差數(shù)列．從而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 4．（2013山東，12分）設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項和Tn. 解：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、錯位相減法等知識，考查方程思想、轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理論證能力． (1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得 解得a1＝1，d＝2. 因此an＝2n－1，n∈N*. (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*， 當n＝1時，＝； 當n≥2時，＝1－－＝， 所以＝，n∈N*. 由(1)知an＝2n－1，n∈N*， 所以bn＝，n∈N*. 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－ ＝－－， 所以Tn＝3－. 5．（2010浙江，4分）在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列， 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … … 那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________． 解析：第n行的第一個數(shù)是n，第n行的數(shù)構(gòu)成以n為公差的等差數(shù)列，則其第n＋1項為n＋nn＝n2＋n. 答案：n2＋n 6．(2010新課標全國，12分)設等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通項公式； (2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值． 解：(1)由已知a3＝5，a10＝－9得 可解得 數(shù)列{an}的通項公式為an＝11－2n. (2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2. 因為Sn＝－(n－5)2＋25， 所以當n＝5時，Sn取得最大值． 7．(2010浙江，14分)設a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范圍． 解：(1)由題意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8， 所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7. (2)因為S5S6＋15＝0， 所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a＋9da1＋10d2＋1＝0， 故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8. 故d的取值范圍為d≤－2或d≥2. 考點二 等差數(shù)列的前n項和 1．（2012遼寧，5分）在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝(　　) A．58　　　　　　　　　 B．88 C．143 D．176 解析：因為{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，則該數(shù)列的前11項和為S11＝＝11a6＝88. 答案：B 2．(2011江西，5分)設{an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項和．若S10＝S11，則a1＝(　　) A．18　　　　　　 B．20　　 C．22　　 D．24　　 解析：由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)(－2)＝20. 答案：B 3．(2009寧夏、海南，5分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m＝________. 解析：∵am－1＋am＋1＝2am，∴2am－a＝0， ∴am＝0或am＝2. ∵S2m－1＝＝(2m－1)am＝38， ∴am＝2， ∴(2m－1)2＝38，解得m＝10. 答案：10 4．（2012北京，5分）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＝，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________. 解析：設公差為d，則由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝. 答案：1　 5．（2011廣東，5分）等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝____________. 解析：設{an}的公差為d，由S9＝S4及a1＝1， 得91＋d＝41＋d， 所以d＝－.又ak＋a4＝0， 所以[1＋(k－1)(－)]＋[1＋(4－1)(－)]＝0. 即k＝10. 答案：10 6．（2011廣東，5分）等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝____________. 解析：設{an}的公差為d，由S9＝S4及a1＝1， 得91＋d＝41＋d， 所以d＝－.又ak＋a4＝0， 所以[1＋(k－1)(－)]＋[1＋(4－1)(－)]＝0. 即k＝10. 答案：10 7．（2011湖南，5分）設Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和，且a1＝1，a4＝7，則S5＝______. 解析：設數(shù)列的公差為d，則3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝51＋2＝25. 答案：25 8．（2013福建，12分）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn. (1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1； (2)若S5>a1a9，求a1的取值范圍． 解：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想． (1)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列， 所以a＝1(a1＋2)， 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. (2)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9， 所以5a1＋10>a＋8a1， 即a＋3a1－10<0，解得－5<a1<2. 9．(2010山東，12分)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n項和為Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 由于a3＝7，a5＋a7＝26， 所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26， 解得a1＝3，d＝2. 由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝， 所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)． (2)因為an＝2n＋1， 所以a－1＝4n(n＋1)， 因此bn＝＝(－)． 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－) ＝， 所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝. 考點三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應用 （2013遼寧，5分）下面是關于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題： p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為(　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 解析：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列單調(diào)性的判斷，意在以數(shù)列為載體，考查考生對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的掌握情況．設an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若an＝n＋1，則滿足已知，但＝1＋是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題．　 答案：D 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品