人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】第三章空間向量與立體幾何訓(xùn)練題組B

2019人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 空間向量與立體幾何解答題精選（選修2--1） 1．已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn)。 （Ⅰ）證明：面面； （Ⅱ）求與所成的角； （Ⅲ）求面與面所成二面角的大小。 證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 . （Ⅰ）證明：因 由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面.又在面上，故面⊥面. （Ⅱ）解：因 （Ⅲ）解：在上取一點(diǎn)，則存在使 要使 為 所求二面角的平面角. 2．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形, 平面底面． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求面與面所成的二面角的大小． 證明： 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)圖系. （Ⅰ）證明：不防設(shè)作， 則， ， 由得，又，因而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直. ∴平面. （Ⅱ）解：設(shè)為中點(diǎn)，則， 由 因此，是所求二面角的平面角， 解得所求二面角的大小為 3．如圖，在四棱錐中，底面為矩形， 側(cè)棱底面，，，， 為的中點(diǎn). （Ⅰ）求直線與所成角的余弦值； （Ⅱ）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面， 并求出點(diǎn)到和的距離. 解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則的坐標(biāo)為、 、、、 、， 從而 設(shè)的夾角為，則 ∴與所成角的余弦值為. （Ⅱ）由于點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則 ，由面可得， ∴ 即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)到和的距離分別為. 4．如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中 . （Ⅰ）求的長； （Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離. 解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， 設(shè). ∵為平行四邊形， （II）設(shè)為平面的法向量， 的夾角為，則 ∴到平面的距離為 5．如圖，在長方體，中，，點(diǎn)在棱上移動.（1）證明：； （2）當(dāng)為的中點(diǎn)時，求點(diǎn)到面的距離； （3）等于何值時，二面角的大小為. 解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則 （1） （2）因為為的中點(diǎn)，則，從而， ，設(shè)平面的法向量為，則 也即，得，從而，所以點(diǎn)到平面的距離為 （3）設(shè)平面的法向量，∴ 由 令， ∴ 依題意 ∴（不合，舍去）， . ∴時，二面角的大小為. 6．如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱上異于的一點(diǎn)，，已知，求： （Ⅰ）異面直線與的距離； （Ⅱ）二面角的平面角的正切值. 解：（I）以為原點(diǎn)，、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系. 由于， 在三棱柱中有 , 設(shè) 又側(cè)面，故. 因此是異面直線的公垂線， 則，故異面直線的距離為. （II）由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角. 7．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，是上 一點(diǎn)，. 已知 求（Ⅰ）異面直線與的距離； （Ⅱ）二面角的大小. 解：（Ⅰ）以為原點(diǎn)，、、分別為 軸建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知可得 設(shè) 由， 即 由， 又，故是異面直線與的公垂線，易得，故異面直線 ,的距離為. （Ⅱ）作，可設(shè).由得 即作于，設(shè)， 則 由， 又由在上得 因故的平面角的大小為向量的夾角. 故 即二面角的大小為