人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 第二章推理與證明學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)4

2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．(2016·保定高二檢測(cè))下面幾種推理中是演繹推理的為(　　) A．由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電 B．猜想數(shù)列，，，…的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N＋) C．半徑為r的圓的面積S＝πr2，則單位圓的面積S＝π D．由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推測(cè)空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 【解析】　A，B為歸納推理，D為類比推理，C為演繹推理． 【答案】　C 2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求證：a＜b. 證明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，畫(huà)線部分是演繹推理的(　　) A．大前提 B．小前提 C．結(jié)論 D．三段論 【解析】　結(jié)合三段論的特征可知，該證明過(guò)程省略了大前提“在同一個(gè)三角形中大角對(duì)大邊”，因此畫(huà)線部分是演繹推理的小前提． 【答案】　B 3．“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)(大前提)，而y＝logx是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝logx是增函數(shù)(結(jié)論)．”上面推理錯(cuò)誤的是(　　) A．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B．小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D．大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) 【解析】　大前提y＝logax是增函數(shù)錯(cuò)誤，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝logax是減函數(shù)． 【答案】　A 4．在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，則有EF∥BC，這個(gè)問(wèn)題的大前提為(　　) A．三角形的中位線平行于第三邊 B．三角形的中位線等于第三邊的一半 C．EF為中位線 D．EF∥CB 【解析】　三段論中的大前提是指一個(gè)已知的一般性結(jié)論，本題中指：三角形的中位線平行于第三邊，故選A. 【答案】　A 5．定義運(yùn)算“?”為：a?b＝ab＋a2＋b2，若1?m<3，則m的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19220017】 A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－2，－1) D．(1,2) 【解析】　依題意，1?m<3，即m＋1＋m2<3，整理得m2＋m－2<0，解得－2<m<1，所以m的取值范圍是(－2,1)． 【答案】　A 二、填空題 6．以下推理過(guò)程省略的大前提為_(kāi)_______． 因?yàn)閍2＋b2≥2ab， 所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab. 【解析】　由小前提和結(jié)論可知，是在小前提的兩邊同時(shí)加上了a2＋b2，故大前提為：若a≥b，則a＋c≥b＋c. 【答案】　若a≥b，則a＋c≥b＋c 7．命題：“若空間兩條直線a，b分別垂直平面α，則a∥b”．學(xué)生小夏這樣證明： 設(shè)a，b與面α分別相交于A，B，連接A，B， ∵a⊥α，b⊥α，AB?α，① ∴a⊥AB，b⊥AB，② ∴a∥b.③ 這里的證明有兩個(gè)推理，即：①?②和②?③.老師認(rèn)為小夏的證明推理不正確，這兩個(gè)推理中不正確的是________． 【解析】　②?③時(shí)，大前提錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤． 【答案】?、?③ 8．“如圖2­1­7，在△ABC中，AC>BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD>∠BCD”． 圖2­1­7 證明：在△ABC中， 因?yàn)镃D⊥AB，AC>BC，① 所以AD>BD，② 于是∠ACD>∠BCD.③ 則在上面證明的過(guò)程中錯(cuò)誤的是________(填序號(hào))． 【解析】　由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提應(yīng)是“在同一三角形中，大邊對(duì)大角”，小前提是“AD>BD”，而AD與BD不在同一三角形中，故③錯(cuò)誤． 【答案】　③ 三、解答題 9．用三段論證明通項(xiàng)公式為an＝cqn(c，q為常數(shù)，且cq≠0)的數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 【證明】　設(shè)an＋1，an是數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)，則從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列叫等比數(shù)列(大前提)， 因?yàn)椋剑絨(常數(shù))(小前提)， 所以{an}是等比數(shù)列．(結(jié)論) 10．已知a>0且函數(shù)f(x)＝＋是R上的偶函數(shù)，求a的值． 【解】　由于f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對(duì)x∈R恒成立，即＋＝＋，所以＋a·2x＝＋，整理得(2x－2－x)＝0，必有a－＝0.又因?yàn)閍>0，所以a＝1. [能力提升] 1．(2016·海淀區(qū)模擬)下面是一段“三段論”推理過(guò)程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)>0恒成立．因?yàn)閒(x)＝x3在(－1,1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在(－1,1)內(nèi)，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中(　　) A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．結(jié)論正確 D．推理形式錯(cuò)誤 【解析】　f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)≥0恒成立，故大前提錯(cuò)誤，選A. 【答案】　A 2．設(shè)⊕是R內(nèi)的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集．若對(duì)于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對(duì)運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是(　　) A．自然數(shù)集 B．整數(shù)集 C．有理數(shù)集 D．無(wú)理數(shù)集 【解析】　A錯(cuò)，因?yàn)樽匀粩?shù)集對(duì)減法不封閉；B錯(cuò)，因?yàn)檎麛?shù)集對(duì)除法不封閉；C對(duì)，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉；D錯(cuò)，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法都不封閉． 【答案】　C 3．(2016·西城高二檢測(cè))若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，則＋＋…＋＝________. 【解析】　∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)． 令b＝1，則＝f(1)＝2(小前提)． ∴＝＝…＝＝2(結(jié)論)， ∴原式＝2＋2＋…＋＝2 018. 【答案】　2 018 4．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝a≠，且an＋1＝記bn＝a2n－1－，n＝1,2,3，…. (1)求a2，a3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論． 【解】　(1)a2＝a1＋＝a＋， a3＝a2＝a＋. (2)∵a4＝a3＋＝a＋， ∴a5＝a4＝a＋. ∴b1＝a1－＝a－≠0， b2＝a3－＝， b3＝a5－＝. 猜想{bn}是公比為的等比數(shù)列． 證明如下： ∵bn＋1＝a2n＋1－ ＝－ ＝ ＝bn(n∈N*)， ∴{bn}是首項(xiàng)為a－，公比為的等比數(shù)列.