高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形章末知識整合 蘇教版必修5

精品資料 【金版學(xué)案】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形章末知識整合 蘇教版必修5 題型1　利用正、余弦定理解三角形 　解答下列各題： (1)在△ABC中，若A＝30，a＝，b＝2，求B； (2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，求A. 分析：已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，根據(jù)問題條件可能出現(xiàn)唯一解、兩解、無解的情況，解題時一定要根據(jù)問題條件，準(zhǔn)確判定． 解析：(1)根據(jù)正弦定理，有＝， 即sin B＝，得sin B＝＝. ∵a<b，∴B>A＝30，B為銳角或鈍角． 即B＝45或135. (2)由sin B＋cos B＝得sin＝1，∴B＝. 由正弦定理＝，得sin A＝， 又a＜b，∴A＜B.∴A＝. ?歸納拓展 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，一般用正弦定理，但此時三角形不能唯一確定，可能出現(xiàn)一解、兩解、無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角，A>B則sin A>sin B”等關(guān)系來判定，也可以結(jié)合幾何圖形幫助理解記憶．具體模式如圖所示，關(guān)鍵是比較bsin A與a和b的大?。?dāng)A為銳角，且bsin A＝a時，一解，bsin A>a，無解，bsin A＜a，兩解，a≥b時一解，至于A＝90，A>90，情況較易． ?變式遷移 1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，則c為(B) A．1　　　　　　　　　　　B．2 C.－1 D. 解析：由正弦定理＝， ∴sin B＝＝＝. 又∵a>b，∴A>B.∴B為銳角． ∴B＝，于是C＝. ∴△ABC為直角三角形． ∴c＝＝2，故選B. 　例2 (1)在△ABC中，a＝m，b＝n，c＝，求C； (2)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos C＝，求c及最大角的余弦值． 分析：(1)為△ABC中已知三邊求一角，直接用余弦定理cos C＝求解即可． (2)為△ABC中已知兩邊及其夾角余弦求第三邊，用c＝求最大角的余弦，不難想到“大邊對大角”． 解析：(1)由余弦定理得cos C＝， 將a，b，c的值代入上式， 得cos C＝＝－. ∵0<C<180，∴C＝120. (2)由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝72＋82－278＝9. ∴c＝3. ∵b>a>c，∴在△ABC中，B最大． ∴cos B＝＝＝－. ?歸納拓展 余弦定理有三個方面的應(yīng)用：一是已知三角形的兩邊和它們的夾角，可以由余弦定理求出第三邊，進(jìn)而求出其余兩角；二是已知三角形的三邊，利用余弦定理求出一個角，進(jìn)而求出其他兩角；三是正、余弦定理的綜合應(yīng)用，如已知三角形的兩邊及其一邊的對角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理來解三角形． ?變式遷移 2．(2013湖南卷)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asin B＝b，則角A等于(D) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析：由正弦定理＝和2asin B＝b可得2sin Asin B＝sin B，即sin A＝， 又∵△ABC為銳角三角形，∴A＝. 題型2　三角形形狀的判斷 　例3 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀． 分析：只要根據(jù)已知條件找到三角形的邊或角的關(guān)系，就可以確定三角形的形狀． 解析：(1)由已知，根據(jù)正弦定理，可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc， 由余弦定理得cos A＝＝－，∴A＝120. (2)方法一　由(1)，B＋C＝60，B＝60－C，由sin B＋sin C＝1，得sin(60－C)＋sin C＝1， 即sin 60cos C－cos 60sin C＋sin C＝1， 即sin(C＋60)＝1，而0＜C＜60，∴C＝30. 故B＝30，∴△ABC為等腰鈍角三角形． 方法二　由(1)b2＋c2＋bc＝a2得 sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A， 即(sin B＋sin C)2－sin Bsin C＝， ∴sin Bsin C＝. 與sin B＋sin C＝1聯(lián)立，解得sin B＝sin C＝， 而0＜B，C＜60，∴B＝C. ∴△ABC為等腰鈍角三角形． ?歸納拓展 要注意正弦的多值性，否則可能漏解．另外，還要注意等腰三角形或直角三角形與等腰直角三角形的區(qū)別． 判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角方法求解．在解三角形時的常用結(jié)論有： (1)在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B?cos A<cos B. (2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，＝－，則cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos. (3)在△ABC中，a2＋b2<c2?C>，a2＋b2＝c2?C＝，a2＋b2>c2?0<C<. ?變式遷移 3．在△ABC中，若cos2＝，試判斷△ABC的形狀． 解析：方法一　∵cos2＝， ＝，∴cos A＝， 即＝. ∵c≠0，∴c2＝a2＋b2. ∴△ABC為直角三角形． 方法二　∵cos2＝， ∴＝.∴cos A＝. ∴cos A＝＝. ∴sin Ccos A＝sin B. ∴sin Ccos A＝sin(A＋C)． ∴sin Acos C＝0. ∵0<A<π，∴sin A≠0. ∴cos C＝0.∴C＝90. 故△ABC為直角三角形． 題型3　求三角形的面積 　例4 (1)在△ABC中，已知a＝3，b＝4，C＝60，則△ABC的面積為多少？ (2)若三角形面積為，且b＝2，c＝，求A. 分析：非特殊三角形面積的計算主要用S＝bcsin A＝absin C＝acsin B．(1)直接用S＝absin C即可；(2)為逆用S＝bcsin A. 解析：(1)S＝absin C ＝34sin 60＝6＝3. (2)∵S＝bcsin A， ∴＝2sin A， ∴sin A＝.∴A＝60或120. ?歸納拓展 三角形面積公式：S△＝aha＝bcsin A＝＝pr＝，其中A，B，C分別為△ABC的邊a，b，c的對角，R，r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，p＝(a＋b＋c)． ?變式遷移 4．已知△ABC的三邊長分別為a－2，a，a＋2，且最大角的正弦值為，求這個三角形的面積． 解析：設(shè)α是最大角，∵sin α＝，而α＞60， ∴α＝120. ∴(a＋2)2＝a2＋(a－2)2－2a(a－2)cos 120. 解得a＝5，∴三邊長為3，5，7. ∴S△＝35sin 120＝. 5．在△ABC中，已知a＝，cos A＝，且b2－bc－2c2＝0. (1)求b，c的值； (2)求△ABC的面積． 解析：(1)由b2－bc－2c2＝0得(b＋c)(b－2c)＝0， 即b＝2c，再由a2＝b2＋c2－2bccos A得3＝(2c)2＋c2－22c2，解得c＝，b＝2. (2)∵cos A＝，∴sin A＝＝. ∴S△ABC＝bcsin A＝2＝. 題型4　正、余弦定理的應(yīng)用 　如右圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達(dá)D點需要多長時間？ 分析：在△ABD中，由正弦定理可求出BD，再在△BCD中，用余弦定理求出CD，最后可求出時間t. 解析：由題意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝90－45＝45， ∴∠ADB＝180－(45＋30)＝105. 在△DAB中，由正弦定理，得＝， ∴BD＝＝＝＝＝10(海里)． 又∵∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60，BC＝20 (海里)， ∴在△BCD中，由余弦定理得， CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1 200－21020＝900. ∴CD＝30(海里)，則需要的時間t＝＝1(小時)． ?歸納拓展 解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．其基本思路是：首先分析本題屬于哪種問題(如測量距離、高度、角度等)，然后依題意畫出示意圖，把已知和未知的量標(biāo)在圖中，最后根據(jù)邊角關(guān)系選擇相應(yīng)的定理，同時注意近似計算的要求，解題后再還原為實際問題． ?變式遷移 6．2009年國慶閱兵式上舉行升旗儀式，如圖，在坡度為15的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60和30，且第一排和最后一排距離為10米，求旗桿的高度． 解析：設(shè)旗桿的高度為x米，∠ABC＝105，∠CAB＝45，∴∠ACB＝30.根據(jù)正弦定理可知＝，即BC＝20. ∴旗桿高度x＝BCsin 60＝20＝30(米)． 故旗桿的高度為30米．