高中數(shù)學(xué)蘇教版選修21學(xué)案：第2章 章末分層突破 Word版含解析

精品資料 章末分層突破 [自我校對(duì)] ①＋＝1(a＞b＞0) ②＋＝1(a＞b＞0) ③(±a,0)，(0，±b)或(0，±a)，(±b,0) ④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0) ⑦2c ⑧ ⑨－＝1(a＞0，b＞0) ⑩y＝±x ?y＝±x ?y2＝±2px(p＞0) ?x2＝±2py(p＞0) ? ?y＝± ?＝e 　　 　圓錐曲線定義的應(yīng)用 “回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用： 應(yīng)用一：在求軌跡方程時(shí)，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的定義，寫出所求的軌跡方程； 應(yīng)用二：涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí)，常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來解決； 應(yīng)用三：在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí)，常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決． 　已知A(4,0)，B(2,2)，M是橢圓9x2＋25y2＝225上的動(dòng)點(diǎn)，求MA＋MB的最大值與最小值． 【精彩點(diǎn)撥】　A(4,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，B為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，并且利用橢圓定義轉(zhuǎn)化． 【規(guī)范解答】　如圖所示，由題意，知點(diǎn)A(4,0)恰為橢圓的右焦點(diǎn)，則A關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為A1(－4,0)(左焦點(diǎn))． 由橢圓的定義，得MA＋MA1＝2a，∴MA＝2a－MA1， ∴MA＋MB＝(2a－MA1)＋MB＝2a＋(MB－MA1)． ∵|MB－MA1|≤A1B＝2，即－2≤MB－MA1≤2，又2a＝10，∴MA＋MB的最大值是10＋2，最小值為10－2. [再練一題] 1．雙曲線16x2－9y2＝144的左、右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1·PF2＝64，求△PF1F2的面積． 【解】　雙曲線方程16x2－9y2＝144化為－＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25， 解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)． 設(shè)PF1＝m，PF2＝n，由雙曲線的定義， 可知|m－n|＝2a＝6， 在△PF1F2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝＝＝＝，所以∠F1PF2＝60°. 所以S△PF1F2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝m·n·sin 60°＝16，所以△PF1F2的面積為16. 圓錐曲線的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程 1.有關(guān)圓錐曲線的焦點(diǎn)、離心率、漸近線等問題是考試中常見的問題，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解題意，大都可以順利求解． 2．待定系數(shù)法是求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法，其步驟是： (1)定位置：先確定圓錐曲線焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類型； (2)設(shè)方程：根據(jù)方程的類型，設(shè)出方程； (3)求參數(shù)：利用已知條件，求出a，b或p的值； (4)得方程：代入所設(shè)方程，從而得出所求方程． 　求與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【精彩點(diǎn)撥】　設(shè)出所求橢圓的方程，利用待定系數(shù)法求解． 【規(guī)范解答】　因?yàn)閏＝＝，所以所求橢圓的焦點(diǎn)為(－，0)，(，0)，設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 因?yàn)閑＝＝，c＝，所以a＝5， 所以b2＝a2－c2＝20， 所以所求橢圓的方程為＋＝1. [再練一題] 2．設(shè)雙曲線－＝1(b>a>0)的焦半距長為c，直線l過點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390066】 【解析】　如圖，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OE＝c，AB＝＝c. 由于AB·OE＝OA·OB， ∴c·c＝ab，∴(a2＋b2)＝ab，兩邊同時(shí)除以a2，得2－＋＝0， ∴＝或＝(舍去)． ∴e＝＝＝＝2. 【答案】　2 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法有直接法、定義法、代入法和參數(shù)法，首先看動(dòng)點(diǎn)是否滿足已知曲線的定義，若符合，就可以直接利用已知曲線的方程，結(jié)合待定系數(shù)法求解；若動(dòng)點(diǎn)滿足的條件比較明了、簡單，我們就使用直接法；若動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不明了，但與之相關(guān)的另一點(diǎn)在已知的曲線上，我們就使用代入法；若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間沒有什么直接關(guān)系，就需要引入?yún)?shù)，使用參數(shù)法． 　設(shè)圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C，過原點(diǎn)作圓的弦OA，求OA中點(diǎn)B的軌跡方程． 【精彩點(diǎn)撥】　畫出圖形，分別利用直接法，定義法，代入法，交軌法(參數(shù)法)求解． 【規(guī)范解答】　法一(直接法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由題意，得OB2＋BC2＝OC2，如圖所示： 即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中點(diǎn)B的軌跡方程為2＋y2＝(去掉原點(diǎn))． 法二(定義法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由題意知，CB⊥OA，OC的中點(diǎn)記為M， 則MB＝OC＝， 故B點(diǎn)的軌跡方程為2＋y2＝(去掉原點(diǎn))． 法三(代入法)： 設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由題意得即 又因?yàn)?x1－1)2＋y＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1. 即2＋y2＝(去掉原點(diǎn))． 法四(交軌法)： 設(shè)直線OA的方程為y＝kx， 當(dāng)k＝0時(shí)，B為(1,0)；當(dāng)k≠0時(shí)，直線BC的方程為y＝－(x－1)， 直線OA，BC的方程聯(lián)立，消去k即得其交點(diǎn)軌跡方程y2＋x(x－1)＝0，即2＋y2＝(x≠0,1)， 顯然B(1,0)滿足2＋y2＝， 故2＋y2＝(去掉原點(diǎn))即為所求． [再練一題] 3．若動(dòng)點(diǎn)P在曲線y＝2x2＋1上移動(dòng)，求點(diǎn)P與Q(0，－1)連線中點(diǎn)M的軌跡方程． 【解】　設(shè)P(x0，y0)，中點(diǎn)M(x，y)， 則∴ 又P(x0，y0)在曲線y＝2x2＋1上， ∴2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2. ∴點(diǎn)M的軌跡方程為y＝4x2. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0?直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)；Δ＝0?直線與圓錐曲線相切于一點(diǎn)；Δ<0?直線與圓錐曲線無交點(diǎn)． 2．直線l截圓錐曲線所得的弦長AB＝或，其中k是直線l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系整體給出． 　如圖2­1所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P(2,0)且斜率為k的直線l交拋物線y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點(diǎn)． 圖2­1 (1)寫出直線l的方程； (2)求x1x2與y1y2的值； (3)求證：OM⊥ON. 【精彩點(diǎn)撥】　設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解． 【規(guī)范解答】　(1)過點(diǎn)P(2,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x－2)． (2)把y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y得 k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0， 由于直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)， 故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0， x1x2＝4，x1＋x2＝4＋， ∵M(jìn)，N兩點(diǎn)在拋物線上，∴y·y＝4x1x2＝16， 而y1y2<0，∴y1y2＝－4. (3)∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， ∴·＝x1x2＋y1y2＝4－4＝0， ∴⊥，∴OM⊥ON. [再練一題] 4．求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被橢圓＋＝1所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)． 【解】　過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)． 設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線y＝(x－3)代入橢圓C的方程， 得＋＝1，即x2－3x－8＝0， ∴x1＋x2＝3，∴＝， ＝(x1＋x2－6)＝－， 即中點(diǎn)坐標(biāo)為. 圓錐曲線的最值問題 與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的三種解決方法有： (1)平面幾何法：主要是運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何知識(shí)求解． (2)目標(biāo)函數(shù)法：建立目標(biāo)函數(shù)，解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，是常規(guī)方法，其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確定最值． (3)判別式法：對(duì)二次曲線求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值． 　已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m. (1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程． 【精彩點(diǎn)撥】　→→→→→→ 【規(guī)范解答】　(1)由 得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0， 解得－≤m≤. (2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)． 所以d＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 所以當(dāng)m＝0時(shí)，d最大，此時(shí)直線方程為y＝x. [再練一題] 5.如圖2­2，已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)． (1)若AF＝4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)； (2)求線段AB長的最小值． 圖2­2 【解】　(1)拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)A(x1，y1)，則由拋物線的定義，可知AF＝x1＋1＝4， ∴x1＝3，代入y2＝4x中，得y＝4×3，即y1＝±2，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，±2)． (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)， 與拋物線方程聯(lián)立，得 消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. ∵直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)， 則k≠0，并設(shè)其兩根為x1，x2， ∴x1＋x2＝2＋. 由拋物線的定義可知，AB＝x1＋x2＋p＝4＋＞4； 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝1，與拋物線相交于A(1,2)，B(1，－2)，此時(shí)AB＝4， ∴|AB|≥4，即線段AB的長的最小值為4. 函數(shù)與方程的思想 1.在解析幾何中，已知某些點(diǎn)或直線在運(yùn)動(dòng)變化，這就會(huì)引出一些相互制約的量，它們之間可能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)思想來處理這類問題是常用的方法，如解析幾何中的最值問題、參數(shù)取值范圍問題都可用函數(shù)思想來處理． 2．由于在解析幾何中大多數(shù)題目都是以方程的形式給出直線和圓錐曲線，因此可用方程思想討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題．一般是將直線方程代入圓錐曲線方程，消去一個(gè)未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)進(jìn)而去解決與“距離”“中點(diǎn)”有關(guān)的問題． 　點(diǎn)A，B分別是橢圓＋＝1長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于MB，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)由PA⊥PF得P點(diǎn)的軌跡方程，與橢圓方程聯(lián)立，求P點(diǎn)的坐標(biāo)． (2)由M到直線AP的距離等于MB，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，將距離d表示成關(guān)于橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值． 【規(guī)范解答】　(1)由已知可得點(diǎn)A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)．設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則kAP·kPF＝－1. 由已知可得 消去y整理得2x2＋9x－18＝0， 解得x＝或x＝－6(舍去)． 所以x＝，由于y＞0，故y＝. 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是. (2)易知直線AP的方程是x－y＋6＝0. 設(shè)點(diǎn)M(m,0)， 則M到直線AP的距離是. 于是＝|m－6|. 又－6≤m≤6，解得m＝2. 橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離的平方為 d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝2＋15. 由于－6≤x≤6，所以當(dāng)x＝時(shí)，d取得最小值. [再練一題] 6．已知直線y＝－x＋2和橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，若|AB|＝2，直線OM的斜率為(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求橢圓的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390067】 【解】　由 消去y，整理得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝. 又設(shè)AB的中點(diǎn)M(xM，yM)， 則xM＝＝，yM＝－xM＋2＝. ∵直線OM的斜率kOM＝＝， ∴＝，∴a2＝4b2， 從而x1＋x2＝＝4，x1x2＝＝8－2b2. 又∵AB＝2，∴·＝2， 即×＝2，解得b2＝4，∴a2＝4b2＝16， 故所求橢圓的方程為＋＝1. 1．(2016·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1的焦距是________． 【解析】　由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a2＝7，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝，從而焦距2c＝2. 【答案】　2 2. (2016·江蘇高考)如圖2­3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，直線y＝與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是 ________. 圖2­3 【解析】　將y＝代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得＋＝1， 所以x＝±a，故B，C. 又因?yàn)镕(c,0)，所以＝，＝. 因?yàn)椤螧FC＝90°，所以·＝0， 所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，將b2＝a2－c2代入并化簡，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(負(fù)值舍去)． 【答案】　 3．(2015·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6)．當(dāng)△APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為________． 【解析】　由雙曲線方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F(xiàn)1(－3，0)．當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，從而△APF的周長＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|. 因?yàn)閨AF|＝＝15為定值， 所以當(dāng)(|AP|＋|PF1|)最小時(shí)，△APF的周長最小，由圖象可知，此時(shí)點(diǎn)P在線段AF1與雙曲線的交點(diǎn)處(如圖所示)． 由題意可知直線AF1的方程為y＝2x＋6， 由得y2＋6y－96＝0， 解得y＝2或y＝－8(舍去)， 所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F ＝×6×6－×6×2＝12. 【答案】　12 4．(2015·天津高考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(－c,0)，離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2＋y2＝截得的線段的長為c，F(xiàn)M＝. (1)求直線FM的斜率； (2)求橢圓的方程； (3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP(O為原點(diǎn))的斜率的取值范圍． 【解】　(1)由已知，有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2. 設(shè)直線FM的斜率為k(k>0)，則直線FM的方程為y＝k(x＋c)． 由已知，有2＋2＝2，解得k＝. (2)由(1)得橢圓方程為＋＝1，直線FM的方程為y＝(x＋c)， 以上兩個(gè)方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c. 因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，可得M的坐標(biāo)為. 由FM＝＝，解得c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1. (3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，直線FP的斜率為t， 得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，與橢圓方程聯(lián)立得 消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6. 又由已知，得t＝>，解得－<x<－1，或－1<x<0. 設(shè)直線OP的斜率為m，得m＝， 即y＝mx(x≠0)，與橢圓方程聯(lián)立， 整理可得m2＝－. ①當(dāng)x∈時(shí)，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝，得m∈. ②當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0， 于是m＝－，得m∈. 綜上，直線OP的斜率的取值范圍是∪.