高考數(shù)學 復習 課時規(guī)范練41　圓的方程

課時規(guī)范練41　圓的方程 一、選擇題 1.以拋物線y2=4x的焦點為圓心,半徑為2的圓的方程為(　　) A.x2+y2-2x-1=0 B.x2+y2-2x-3=0 C.x2+y2+2x-1=0 D.x2+y2+2x-3=0 答案:B 解析:∵拋物線y2=4x的焦點是(1,0), ∴圓的標準方程是(x-1)2+y2=4,展開得x2+y2-2x-3=0. 2.如果圓(x+3)2+(y-1)2=1關于直線l:mx+4y-1=0對稱,則直線l的斜率為(　　) A.4 B.-4 C. D.- 答案:D 解析:依題意,得直線mx+4y-1=0經(jīng)過點(-3,1), 所以-3m+4-1=0.所以m=1,故直線l的斜率為-. 3.圓x2+y2-2x+6y+5a=0關于直線y=x+2b成軸對稱圖形,則a-b的取值范圍是(　　) A.(-∞,4) B.(-∞,0) C.(-4,+∞) D.(4,+∞) 答案:A 解析:由題得圓心(1,-3),且(-2)2+62-4·5a>0,即a<2. 由圓心在直線上,可得b=-2, ∴a-b<4. 4.若直線l過點P且被圓x2+y2=25截得的弦長是8,則直線l的方程為(　) A.3x+4y+15=0 B.x=-3或y=- C.x=-3 D.x=-3或3x+4y+15=0 答案:D 解析:若直線l的斜率不存在,則該直線的方程為x=-3,代入圓的方程解得y=±4,故直線l被圓截得的弦長為8,滿足條件;若直線l的斜率存在,不妨設直線l的方程為y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因為直線l被圓截得的弦長為8,故半弦長為4,又圓的半徑為5,則圓心(0,0)到直線l的距離為,解得k=-,此時直線方程為3x+4y+15=0. 5.圓心在曲線y=(x>0)上,且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為(　　) A.(x-1)2+(y-3)2= B.(x-3)2+(y-1)2= C.(x-2)2+=9 D.(x-)2+(y-)2=9 答案:C 解析:設圓心坐標為(a>0),則圓心到直線3x+4y+3=0的距離d(a)=(4+1)=3, 當且僅當a=2時等號成立.此時圓心坐標為,圓的半徑為3,方程為(x-2)2+=9. 6.設A為圓(x-1)2+y2=1上的動點,PA是圓的切線,且|PA|=1,則P點的軌跡方程是(　　) A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2[來源:] C.y2=2x D.y2=-2x 答案:B 解析:作圖可知圓心(1,0)到P點距離為,所以P在以(1,0)為圓心,以為半徑長的圓上,其軌跡方程為(x-1)2+y2=2. 二、填空題 7.以直線3x-4y+12=0夾在兩坐標軸間的線段為直徑的圓的方程為　　　　　　　　　　.  答案:(x+2)2+ 解析:對于直線3x-4y+12=0,當x=0時,y=3; 當y=0時,x=-4.即以兩點(0,3),(-4,0)為端點的線段為直徑,則r=,圓心為,即. ∴圓的方程為(x+2)2+. 8.已知點P是圓C:x2+y2+4x-6y-3=0上的一點,直線l:3x-4y-5=0.若點P到直線l的距離為2,則符合題意的點P有　　　　　個.  答案:2 解析:由題意知圓的標準方程為(x+2)2+(y-3)2=42,∴圓心(-2,3)到直線l的距離d=>4,故直線與圓相離,則滿足題意的點P有2個. 9.設圓C同時滿足三個條件:①過原點;②圓心在直線y=x上;③截y軸所得的弦長為4,則圓C的方程是　　　　　.  答案:(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8 解析:由題意可設圓心A(a,a), 如圖,則22+22=2a2,解得a=±2,r2=2a2=8. 所以圓C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.[來源:] 10.已知圓C經(jīng)過A(5,1),B(1,3)兩點,圓心在x軸上,則C的方程為　　　　　.  答案:(x-2)2+y2=10 解析:設圓心坐標為(a,0),易知,解得a=2,∴圓心為(2,0),半徑為, ∴圓C的方程為(x-2)2+y2=10. 11.已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圓C2與圓C1關于直線x-y-1=0對稱,則圓C2的方程為　　　　　.  答案:(x-2)2+(y+2)2=1 解析:圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圓心為(-1,1).圓C2的圓心設為(a,b),C1與C2關于直線x-y-1=0對稱, ∴解得圓C2的半徑為1, ∴圓C2的方程為(x-2)2+(y+2)2=1. 三、解答題 12.已知兩點A(0,-3),B(4,0),若點P是圓x2+y2-2y=0上的動點,求△ABP面積的最小值. 解:S△ABP=·AB·h,如圖,過圓心C向直線AB作垂線交圓于點P,這時△ABP的面積最小. 直線AB的方程為=1, 即3x-4y-12=0,圓心C到直線AB的距離為d=, ∴△ABP的面積的最小值為×5×. 13.已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D,且|CD|=4. (1)求直線CD的方程; (2)求圓P的方程. 解:(1)直線AB的斜率k=1,AB的中點坐標為(1,2), ∴直線CD的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0. (2)設圓心P(a,b),則由P在CD上得a+b-3=0.① 又直徑|CD|=4, ∴|PA|=2.∴(a+1)2+b2=40.② 由①②解得 ∴圓心P(-3,6)或P(5,-2).∴圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40. 14.已知二次函數(shù)f(x)=x2-2x+t與兩坐標軸分別交于不同的三點A,B,C. (1)求實數(shù)t的取值范圍; (2)當t=-3時,求經(jīng)過A,B,C三點的圓F的方程. 解:(1)由已知x2-2x+t=0,由Δ=4-4t>0及t≠0,得t<1且t≠0. (2)當t=-3時,y=f(x)=x2-2x-3,分別令x=0,y=0得二次函數(shù)與兩坐標軸的三個不同交點坐標(0,-3),(-1,0),(3,0),設圓F的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則解得所以圓F的方程為x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5. 15.已知點P(x,y)是圓(x+2)2+y2=1上任意一點. (1)求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值; (2)求x-2y的最大值和最小值; (3)求的最大值和最小值. 解:(1)圓心C(-2,0)到直線3x+4y+12=0的距離為 d=. ∴P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=+1=,最小值為d-r=-1=. (2)設t=x-2y,則直線x-2y-t=0與圓(x+2)2+y2=1有公共點.∴≤1.∴--2≤t≤-2. ∴tmax=-2,tmin=-2-. (3)設k=,則直線kx-y-k+2=0與圓(x+2)2+y2=1有公共點,∴≤1.∴≤k≤. ∴kmax=,kmin=. 四、選做題 1.若實數(shù)x,y滿足x2+y2-2x+4y=0,則x-2y的最大值為(　　) A. B.10 C.9 D.5+2[來源:][來源:] 答案:B 解析:設x-2y=t,即x-2y-t=0.因為直線與圓有交點,所以圓心(1,-2)到直線的距離為,解得0≤t≤10,即x-2y的最大值為10. 2.求經(jīng)過A(4,2),B(-1,3)兩點,且在兩坐標軸上的四個截距之和是2的圓的方程為　　　　　.  答案:x2+y2-2x-12=0 解析:設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0得x2+Dx+F=0, ∴圓在x軸上的截距之和為x1+x2=-D, 令x=0得y2+Ey+F=0, ∴圓在y軸的截距之和為y1+y2=-E, 由題設x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2, ∴D+E=-2.① 又A(4,2),B(-1,3)在圓上, ∴16+4+4D+2E+F=0,② 1+9-D+3E+F=0,③ 由①②③解得D=-2,E=0,F=-12. 故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0. 3.設O為坐標原點,曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點P,Q,滿足關于直線x+my+4=0對稱,又滿足=0. (1)求m的值; (2)求直線PQ的方程. 解:(1)曲線方程為(x+1)2+(y-3)2=9,表示圓心為(-1,3),半徑為3的圓. ∵點P,Q在圓上且關于直線x+my+4=0對稱, ∴圓心(-1,3)在直線上,代入得m=-1. (2)∵直線PQ與直線y=x+4垂直, ∴設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ方程為y=-x+b. 將直線y=-x+b代入圓的方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0. Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0, 得2-3<b<2+3.[來源:] 由根與系數(shù)的關系得 x1+x2=-(4-b),x1·x2=. y1·y2=b2-b(x1+x2)+x1·x2=+4b. ∵·=0, ∴x1x2+y1y2=0,即b2-6b+1+4b=0, 解得b=1∈(2-3,2+3). ∴所求的直線方程為y=-x+1.