萬變不離其宗五【選修1－11－24－5】：專題三 導數(shù)及其應用 Word版含解析

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1、一、題之源：課本基礎知識一、題之源：課本基礎知識 1導數(shù)的概念 (1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù) 稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率limx0 f（x0 x）f（x0）xlimx0 yx為函數(shù)yf(x)在x x0處 的 導 數(shù) ， 記 作f(x0)或y|x x0， 即f(x0) limx0 yxlimx0 f（x0 x）f（x0）x. (2)導數(shù)的幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))相應地，切線方程為yy0f(x0)(xx0) (3)函數(shù)f(x)的導函數(shù) 稱函數(shù)f(x

2、)limx0f（xx）f（x）x為f(x)的導函數(shù) 2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 原函數(shù) 導函數(shù) f(x)c(c為常數(shù)) f(x)0 f(x)xn(nQ Q*) f(x)nxn1(nQ Q*) f(x)sin x f(x)cos x f(x)cos x f(x)sin_x f(x)ax f(x)axln a f(x)ex f(x)ex f(x)logax f(x)1xln a f(x)ln x f(x)1x 3.導數(shù)的運算法則 (1)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0) 4復合函數(shù)的導數(shù) 復合函

3、數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關系為yxyuux，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積 5.函數(shù)的單調性 在(a，b)內可導函數(shù)f(x)，f(x)在(a，b)任意子區(qū)間內都不恒等于 0. f(x)0f(x)在(a，b)上為增函數(shù) f(x)0f(x)在(a，b)上為減函數(shù) 6函數(shù)的極值 函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點xa附近的左側f(x)0，右側f(x)0，則點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值 函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的

4、函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點xb附近的左側f(x)0，右側f(x)0，則點b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值 極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 7函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)f(x)在上必有最大值與最小值 (2)若函數(shù)f(x)在上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值 二、題之本：思想方法技巧二、題之本：思想方法技巧 1弄清“函數(shù)在一點x0處的導數(shù)”“導函數(shù)”“導數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系 (1)函數(shù)在一點x0處的導數(shù)f(x0)是一個常數(shù)

5、，不是變量； (2)函數(shù)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，是針對某一區(qū)間內任意點x而言的函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內每一點都可導，是指對于區(qū)間(a，b)內的每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數(shù)f(x0)，根據(jù)函數(shù)的定義，在開區(qū)間(a，b)內就構成了一個新的函數(shù)，也就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)； (3)函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)就是導函數(shù)f(x)在點xx0處的函數(shù)值 2求函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)f(x0)通常有以下兩種方法 (1)利用導數(shù)的定義：即求 0limx f（x0 x）f（x0）x的值； (2)利用導函數(shù)的函數(shù)值：先求函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內的導函數(shù)f(x)

6、，再將x0(x0(a，b)代入導函數(shù)f(x)，得f(x0) 3正確區(qū)分“曲線在某點處的切線”與“過某點的曲線的切線”的含義，前者的“某點”即切點，后者的“某點”是否為切點則須檢驗 4求曲線在某一點處的切線方程時，可以先求函數(shù)在該點的導數(shù)，即曲線在該點的切線的斜率，再利用點斜式寫出直線的方程如果切點未知，要先求出切點坐標 5.注意曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別 6導數(shù)運算的技巧 (1)要準確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復合運算的形式，再利用運算法則求導數(shù)； (2)對于不具備求導法則結構形式的，要適當恒等變形，轉化為較易求導的結構形式，再

7、求導數(shù)但必須注意變形的等價性，避免不必要的運算失誤對數(shù)函數(shù)的真數(shù)是根式或者分式時，可用對數(shù)的運算性質將真數(shù)轉化為有理式或整式，然后再求解比較方便；當函數(shù)表達式含有三角函數(shù)時，可優(yōu)先考慮利用三角公式進行化簡后再求導 7用導數(shù)判斷單調性 用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性時，首先應確定函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內，通過討論導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調區(qū)間在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于0 的點外，還要注意定義區(qū)間內的間斷點 8理清導數(shù)與函數(shù)單調性的關系 (1)f(x)0(或0(或f(b)的形式 (2)對形如f(x)g(x)的不等式，構造函數(shù)F(x)f(x)g(x) (3)對于(或可化為)f

8、(x1，x2)A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構造函數(shù)f(x，x2)(或f(x1，x) 16.利用導數(shù)研究方程根的方法 研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn) 三、題之變：課本典例改編三、題之變：課本典例改編 1.原題（選修原題（選修 1 1- -1 1 第第 8080 頁習題頁習題 1.1B1.1B 組第一題組第一題）改編改編 在高臺跳水中，t s 時運動員相對水面的高度(單位：m）是105 . 69 . 4)(2

9、ttth則 t=2 s 時的速度是_. 【答案】13.1(/ )m s. 2 2. .原題（選修原題（選修 1 1- -1 1 第第 9696 頁練習第頁練習第 2 2 題題）改編改編 如圖是導函數(shù)/( )yfx的圖象，那么函數(shù)( )yf x在下 面哪個區(qū)間是減函數(shù)（ ） A. 13( ,)x x B. 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x 【答案】B. 【解析】函數(shù)的單調遞減區(qū)間就是其導函數(shù)小于零的區(qū)間，故選 B. 3 3. . 原 題 （ 選 修原 題 （ 選 修 1 1- -1 1 第第 9999 頁 習 題頁 習 題 1.3B1.3B 組 第組 第 1 1 題

10、改 編題 改 編 1 1 設02x， 記s i nl n s i n,s i n,xax bx ce 試比較 a,b,c 的大小關系為（ ） A abc B bac C cba D bca 【答案】A. 【解析】1.先證明不等式lnxxxe (x0);設( )ln,0f xxx x, 因為1( )1,fxx所以，當01x時，1( )10,fxx ( )f x單調遞增，( )ln(1)10f xxxf ；當1x 時1( )10,fxx ( )f x單調遞減，( )ln(1)10f xxxf ；當 x=1 時，顯然ln1 1，因此ln xx; 2.設( ),0 xg xxex,( )1xg xe

11、當0( )0 xg x時 ( )(0,+g x在）單調遞減 ( )(0)0g xg,即xxe; 綜上：有l(wèi)nxxxe，x0 成立; 02x ,0sin1x , sinlnsinsinxxxe ,故選 A. 改編改編 2 2 證明：xxx1ln111，1x 【解析】 （1）構造函數(shù)xxxf1ln)(， 1111)(xxxxf) 1(x，當, 0 x 00 f，得下表 01x 0 0 x xf + 0 xf 單調遞增 極大值0)0(f 單調遞減 , 1x總有, 0)0()( fxf, 01lnxx.1lnxx 另解1111)(xxxxf) 1(x，當, 0 x 00 f， 當01x， )(, 0 xfxf單調遞增，, 0)0()(, 01fxfx 當0 x， )(, 0 xfxf單調遞減，, 0)0()(, 0fxfx 當, 0 x 00 f 綜合得：當1x時，, 0)(xf, 01lnxx.1lnxx 5.5.原題（選修原題（選修 1 1- -1 1 第第 104104 頁習題頁習題 1.4A1.4A 組第組第 1 1 題題）改編改編 用長為 18 m 的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為 2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是_. 答：當長方體的長為 2 m 時，寬為 1 m，高為 1.5 m 時，體積最大，最大體積為 3 m3.