高中數(shù)學(xué)蘇教版選修22教學(xué)案：第1章 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測

精品資料 [對應(yīng)學(xué)生用書P31] 一、導(dǎo)數(shù)的概念 1．導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，當(dāng)Δx無限趨近于0時，比值＝無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f(x)在點x＝x0處可導(dǎo)，稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)． 2．導(dǎo)函數(shù) 若f(x)對于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點都可導(dǎo)，則f′(x)在各點的導(dǎo)數(shù)中隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．記作f′(x)． 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1．f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x0處切線的斜率，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 2．求切線方程： 常見的類型有兩種： 一是函數(shù)y＝f(x)“在點x＝x0處的切線方程”，這種類型中(x0，f(x0))是曲線上的點，其切線方程為 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 二是函數(shù)y＝f(x)“過某點的切線方程”，這種類型中，該點不一定為切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過點P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面兩個方程可解得x1，y1的值，即求出了過點P(x0，y0)的切線方程． 三、導(dǎo)數(shù)的運算 1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)f(x)＝C，則f′(x)＝0(C為常數(shù))； (2)f(x)＝xα，則f′(x)＝αxα－1(α為常數(shù))； (3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則f′(x)＝axln a； (4)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，則f′(x)＝； (5)f(x)＝sin x，則f′(x)＝cos x； (6)f(x)＝cos x，則f′(x)＝－sin x. 2．導(dǎo)數(shù)四則運算法則 (1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)； (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間． 特別注意寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“∪”連接． 五、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)檢驗f′(x)＝0的根的兩側(cè)的f′(x)的符號，若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值． 若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值，否則此根不是f(x)的極值點． 六、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟 (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值． 特別地，①當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)時，其最小值、最大值在區(qū)間端點取得；②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(或極小)值，則可以判斷f(x)在該點處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 七、導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)求實際問題的最大(小)值時，應(yīng)注意的問題： (1)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的值應(yīng)舍去． (2)在實際問題中，由f′(x)＝0常常僅解到一個根，若能判斷函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值． 八．定積分 (1)定積分是一個數(shù)值．定積分的定義體現(xiàn)的基本思想是：先分后合、化曲為直(以不變代變)． 定積分的幾何意義是指相應(yīng)直線、曲線所圍曲邊梯形的面積．要注意區(qū)分f(x)dx，|f(x)|dx及三者的不同． (2)微積分基本定理是計算定積分的一般方法，關(guān)鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)．而求被積函數(shù)的原函數(shù)和求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰好互為逆運算，要注意它們在計算和求解中的不同，避免混淆． 　 一、填空題(本大題共14個小題，每小題5分，共70分，把答案填在題中橫線上) 1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，則a的值為________． 解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax， ∴f′(1)＝2a， 又∵f′(1)＝2，∴a＝1. 答案：1 2．曲線y＝x3－4x在點(1，－3)處的切線的傾斜角為________． 解析：∵y′＝3x2－4， ∴當(dāng)x＝1時，y′＝－1，即tan α＝－1. 又∵α∈(0，π)，∴α＝π. 答案：π 3．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤，所以實數(shù)a的取值范圍是[－，]． 答案：[－，] 4．y＝2x3－3x2＋a的極大值為6，則a＝________. 解析：y′＝6x2－6x＝6x(x－1)， 令y′＝0，則x＝0或x＝1. 當(dāng)x＝0時，y＝a，當(dāng)x＝1時，y＝a－1. 由題意知a＝6. 答案：6 5．函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)為________． 解析：y′＝′ ＝ ＝. 答案： 6．若(x－k)dx＝，則實數(shù)k的值為________． 解析：(x－k)dx＝＝－k＝， 解得k＝－1. 答案：－1 7．函數(shù)f(x)＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是________． 解析：∵f′(x)＝2x－＝. 令f′(x)<0，因為x∈(0，＋∞)， ∴2x2－1<0，即0<x<， ∴函數(shù)f(x)＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是. 答案： 8．函數(shù)f(x)＝3x－4x3在[0,1]上的最大值為________． 解析：f′(x)＝3－12x2， 令f′(x)＝0，則x＝－(舍去)或x＝， f(0)＝0，f(1)＝－1，f＝－＝1 ∴f(x)在[0,1]上的最大值為1. 答案：1 9．(山東高考改編)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為________． 解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根據(jù)定積分的幾何意義可知，直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為＝＝4. 答案：4 10．若f(x)＝則f(x)dx＝________. 解析：因為f(x)dx＝(－x)dx＋(x2＋3)dx. 因為′＝－x，′＝x2＋3， 所以f(x)dx＝－x2＋＝. 答案： 11．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝lg xn，則a1＋a2＋…＋a99＝________. 解析：由于y′＝n＋1，∴曲線在點(1,1)處的切線為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝xn＝， ∴an＝lg，∴原式＝lg ＋lg＋…＋lg＝lg＝lg＝－2. 答案：－2 12．若函數(shù)f(x)＝2x2－ln x在其定義域的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：∵f′(x)＝4x－＝，x>0，∴當(dāng)0<x<時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)x>時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，依題意得∴1≤k<. 答案： 13．周長為20 cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為________． 解析：設(shè)矩形一邊長為x cm，則鄰邊長為(10－x)cm； 體積V＝πx2(10－x)＝π(10x2－x3)， 由V′＝π(20x－3x2)＝0得x＝0(舍去)， x＝可以判斷x＝時，Vmax＝π(cm3)． 答案：π cm3 14．已知f(x)定義域為(0，＋∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)＜－xf′(x)，則不等式f(x＋1)＞(x－1)f(x2－1)的解集是________． 解析：令g(x)＝xf(x) 則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0. ∴g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)． 又∵f(x＋1)＞(x－1)f(x2－1)， ∴(x＋1)f(x＋1)＞(x2－1)f(x2－1)， ∴? ∴x＞2. 答案：{x|x＞2} 二、解答題(本大題共6個小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在(1,2)處的切線方程． 解：(1)f′(x)＝2ax－a， 由已知得　解得 所以f(x)＝x2－2x＋. (2)函數(shù)f(x)在(1,2)處的切線方程為y－2＝x－1， 即x－y＋1＝0. 16．(本小題滿分14分)求下列定積分． (1)(1－t3)dt； (2)(cos x＋ex)dx； (3)dx. 解：(1)∵′＝1－t3， ∴(1－t3)dt＝＝－(－2－4)＝. (2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴(cos x＋ex)dx＝(sin x＋ex) ＝1－e－π＝1－. (3)dx＝dx 取F(x)＝x2－3x－， 則F′(x)＝x－3＋， dx＝F(4)－F(2) ＝－ ＝. 17．(本小題滿分14分)已知x＝1是函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋(a＋1)x＋5的一個極值點． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若曲線y＝f(x)與直線y＝2x＋m有三個交點，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)依題意f′(x)＝ax2－3x＋a＋1， 由f′(1)＝0得a＝1， ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x3－x2＋2x＋5. (2)曲線y＝f(x)與直線y＝2x＋m有三個交點， 即x3－x2＋2x＋5－2x－m＝0有三個實數(shù)根， 令g(x)＝x3－x2＋2x＋5－2x－m＝x3－x2＋5－m，則g(x)有三個零點． 由g′(x)＝x2－3x＝0得x＝0或x＝3. 令g′(x)>0得x<0或x>3；令g′(x)<0得0<x<3. ∴函數(shù)g(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，在(0,3)上為減函數(shù)，在(3，＋∞)上為增函數(shù)． ∴函數(shù)在x＝0處取得極大值，在x＝3處取得極小值． 要使g(x)有三個零點，只需解得<m<5. ∴實數(shù)m的取值范圍為. 18．(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2(e≈2.71，a∈R)． (1)判斷曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與曲線y＝g(x)的公共點個數(shù)； (2)當(dāng)x∈時，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)有兩個零點，求a的取值范圍． 解：(1)f′(x)＝ln x＋1，所以斜率k＝f′(1)＝1. 又f(1)＝0，曲線在點(1,0)處的切線方程為y＝x－1. 由?x2＋(1－a)x＋1＝0. 由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3可知： 當(dāng)Δ＞0時，即a＜－1或a＞3時，有兩個公共點； 當(dāng)Δ＝0時，即a＝－1或a＝3時，有一個公共點； 當(dāng)Δ＜0時，即－1＜a＜3時，沒有公共點． (2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xln x， 由y＝0得a＝x＋＋ln x. 令h(x)＝x＋＋ln x， 則h′(x)＝. 當(dāng)x∈，由h′(x)＝0得x＝1. 所以h(x)在上單調(diào)遞減，在[1，e]上單調(diào)遞增， 故hmin(x)＝h(1)＝3. 由h＝＋2e－1，h(e)＝e＋＋1， 比較可知h＞h(e)． 所以，當(dāng)3＜a≤e＋＋1時，函數(shù)y＝f(x)－g(x)有兩個零點． 19．(本題滿分16分)某公司將進貨單價為a元(a為常數(shù)，3≤a≤6)一件的商品按x元(7≤x≤10)一件銷售，一個月的銷售量為(12－x)2萬件． (1)求該公司經(jīng)銷此種商品一個月的利潤L(x)(萬元)與每件商品的售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)每件商品的售價為多少元時，L(x)取得最大值？并求L(x)的最大值． 解：(1)L(x)＝(x－a)(12－x)2(7≤x≤10)． (2)L′(x)＝(12－x)2＋(x－a)(2x－24) ＝(12－x)(12＋2a－3x)． 令L′(x)＝0得x＝或x＝12. 由a∈[3,6]得∈[6,8]． 當(dāng)∈[6,7]，即3≤a≤時， L(x)在[7,10]上是減函數(shù)， L(x)的最大值為L(7)＝25(7－a)； 當(dāng)∈(7,8]，即<a≤6時， L(x)在上是增函數(shù)， 在[，10]上是減函數(shù)． L(x)的最大值為L＝ 綜上可知，若3≤a≤，則當(dāng)x＝7時， L(x)取得最大值，最大值是25(7－a)； 若<a≤6，則當(dāng)x＝時，L(x)取得最大值，最大值是. 20．(本小題滿分16分)(山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝aln x＋，其中a 為常數(shù)． (1)若 a＝0，求曲線y＝f(x)在點 (1，f(1))處的切線方程； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 解：(1)由題意知a＝0時，f(x)＝，x∈(0，＋∞)． 此時f′(x)＝. 可得f′(1)＝，又f(1)＝0， 所以曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x－2y－1＝0. (2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)． f′(x)＝＋＝. 當(dāng)a≥0時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 當(dāng)a＜0時，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①當(dāng)a＝－時，Δ＝0， f′(x)＝≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． ②當(dāng)a＜－時，Δ＜0，g(x)＜0， f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． ③當(dāng)－＜a＜0，Δ＞0. 設(shè)x1，x2(x1＜x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點， 則x1＝，x2＝. 由x1＝ ＝＞0， 所以x∈(0，x1)時，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， x∈(x1，x2)時，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增， x∈(x2，＋∞)時，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， 綜上可得： 當(dāng)a≥0時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a≤－時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)－＜a＜0時，f(x)在， 上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增．