第4篇 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

第四篇　第3節(jié) 一、選擇題 1．(2013年高考大綱全國卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ等于(　　) A．－4　　　　　　　　 B．－3 C．－2 D．－1 解析：m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)， 由題意知(m＋n)(m－n)＝0， 即－(2λ＋3)－3＝0， 因此λ＝－3.故選B. 答案：B 2．(2013年高考湖北卷)已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量方向上的投影為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：＝(2,1)，＝(5,5)， 設(shè)的夾角為θ， 則方向上的投影為＝＝.故選A. 答案：A 3．若向量a、b滿足|a|＝|b|＝2，a與b的夾角為60，則|a＋b|等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．12 解析：|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60＝4＋4＋222＝12，|a＋b|＝2.故選B. 答案：B 4．(2012年高考遼寧卷)已知兩個非零向量a、b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是(　　) A.a∥b B．a(chǎn)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b 解析：法一　代數(shù)法：將原式平方得|a＋b|2＝|a－b|2， 即a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2， 得ab＝0，故a⊥b， 故選B. 法二　幾何法：如圖所示， 在?ABCD中，設(shè)＝b， 則＝a＋b，＝a－b， ∵|a＋b|＝|a－b|， ∴平行四邊形兩條對角線長度相等，即平行四邊形ABCD為矩形， ∴a⊥b，故選B. 答案：B 5．已知＝2，且∠BAC＝30，則△ABC的面積為(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：由題意cos 30＝2， 則＝4， 故△ABC的面積S＝ sin 30＝1.故選B. 答案：B 6．(2014河北唐山一模)已知向量a，b滿足(a＋2b)(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)a與b的夾角為θ， 由|a|＝1，|b|＝2， 得(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2＝1＋12cos θ－24＝－6， 解得cos θ＝. 再由0≤θ≤π可得θ＝. 故選C. 答案：C 二、填空題 7．一質(zhì)點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2成60角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為________． 解析：由題意知F3＝－(F1＋F2)， ∴|F3|＝|F1＋F2|， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos 60＝28，∴|F3|＝2. 答案：2 8.(2014河南洛陽市模擬)正三角形ABC中，D是邊BC上的點，AB＝3，BD＝1，則＝________. 解析：法一?。?3cos 60＝， ∴ ＝. 法二　 以B為原點，BC所在的直線為x軸，建立坐標系， 則B(0,0)，A（，），D(1,0)． 所以＝－，－， ＝－，－， 所以＝（－）（－）＋（－）2＝. 答案： 9．(2013年高考安徽卷)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________． 解析：因|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4ab 整理得cos〈a，b〉＝－＝－. 答案：－ 10．(2013年高考天津卷)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60，E為CD的中點．若＝1，則AB的長為________． 解析：如圖＝ ＝ 答案： 三、解答題 11．(2013年高考陜西卷)已知向量a＝cos x，－，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ab. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求f(x)在0，上的最大值和最小值． 解：f(x)＝cos x，－(sin x，cos 2x) ＝cos xsin x－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x ＝cossin 2x－sincos 2x ＝sin2x－. (1)f(x)的最小正周期為T＝＝＝π， 即函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (2)∵0≤x≤， ∴－≤2x－≤. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)2x－＝， 即x＝時，f(x)取得最大值1. 當(dāng)2x－＝－， 即x＝0時，f(x)取得最小值－， 因此，f(x)在0，上的最大值是1，最小值是－. 12．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若＝―→＝k(k∈R)． (1)判斷△ABC的形狀； (2)若k＝2，求b的值． 解：(1)∵―→＝cbcos A，―→＝bacos C， ∴bccos A＝abcos C， 根據(jù)正弦定理，得sin Ccos A＝sin Acos C， 即sin Acos C－cos Asin C＝0，sin(A－C)＝0， ∴A＝C，即a＝c. 則△ABC為等腰三角形． (2)由(1)知a＝c， 由余弦定理，得 ＝bccos A＝bc＝. ∵＝k＝2， ∴＝2，解得b＝2.