精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案：1.3　弧制 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 3　弧度制 1．了解角的另外一種度量方法——弧度制． 2.能夠熟練地在角度制和弧度制之間進(jìn)行換算．(重點)3.掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理　弧度制 閱讀教材P9～P11，完成下列問題． 1．弧度制的定義 在單位圓中，長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度角．它的單位符號是rad，讀作弧度．以弧度作為單位來度量角的單位制，叫作弧度制． 2．角度制與弧度制的互化 (1)弧度數(shù) ①正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)； ②負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)； ③零角的弧度數(shù)是0； ④弧度數(shù)與十進(jìn)制實數(shù)間存在一一對應(yīng)關(guān)系． (

2、2)弧度數(shù)的計算 |α|＝.如圖1－3－1： 圖1－3－1 (3)角度制與弧度制的換算 圖1－3－2 (4)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 度 0 1 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 π 2π 3.弧長公式與扇形面積公式 已知r為扇形所在圓的半徑，n為圓心角的度數(shù)，α為圓心角的弧度數(shù). 角度制 弧度制 弧長公式 l＝ l＝|α|r 扇形面積公式 S＝ S＝lr＝|α|r2 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)“度”

3、與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位．(　　) (2)1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.(　　) (3)根據(jù)弧度的定義，180一定等于π弧度．(　　) (4)不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長短有關(guān)．(　　) 【解析】　(1)正確． (2)正確.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的. (3)正確．根據(jù)弧度的定義，180一定等于π弧度． (4)錯誤．根據(jù)角度制與弧度制的定義，無論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長短無關(guān)，而是與弧長和半徑的比值有關(guān)． 【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4) [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的

4、疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：______________________

5、___________________________________ 解惑：___________________________________________________________ [小組合作型] 弧度制與角度制的互化 　將下列角度與弧度進(jìn)行互化． (1)20；(2)－15；(3)；(4)－π. 【精彩點撥】　本題主要考查角度與弧度的換算．直接套用角度與弧度的換算公式，即度數(shù)＝弧度數(shù)，弧度數(shù)＝度數(shù)． 【自主解答】　(1)20＝＝. (2)－15＝－π＝－. (3)π＝180＝105. (4)－π＝－180＝－396. 角度制與弧度制互化的策略

6、 1．原則 牢記180＝π rad.充分利用1＝ rad和1 rad＝進(jìn)行換算． 2．方法 設(shè)一個角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n.則α rad＝α；n＝n rad. 3．注意事項 (1)將角度化為弧度，當(dāng)角度中含有“分”“秒”單位時，應(yīng)先將它們統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“度”，再利用1＝ rad化為弧度便可． (2)以弧度為單位表示角時，常把弧度寫成多少π的形式，如無特殊要求，不必把π寫成小數(shù)． [再練一題] 1．將11230′化為弧度，將－π化為度. 【導(dǎo)學(xué)號：66470003】 【解】　11230′＝112.5＝112.5＝rad，又1 rad＝，∴－π rad＝－π＝－75.

7、 用弧度制表示終邊相同的角 　(1)將－1 500表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第幾象限角； (2)在0～720范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角． 【精彩點撥】　(1)把角度換算為弧度，表示成2kπ＋α(k∈Z)的形式即可求解； (2)把弧度換算為角度，寫出與其終邊相同的角，調(diào)整k使待求角在[0，720)內(nèi)． 【自主解答】　(1)－1 500＝－1 500＝－＝－10π＋. ∵是第四象限角，∴－1 500是第四象限角． (2)∵＝180＝72，∴終邊與角相同的角為θ＝72＋k360(k∈Z)，當(dāng)k＝0時，θ＝72；當(dāng)k＝1時，θ＝432，∴在0～720

8、范圍內(nèi)，與角終邊相同的角為72，432. [再練一題] 2．設(shè)α1＝－570，α2＝750，β1＝，β2＝－. (1)將α1，α2用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限； (2)將β1，β2用角度制表示出來，并在－720～0范圍內(nèi)找出與它們終邊相同的所有角． 【解】　(1)∵180＝π rad， ∴α1＝－570＝－＝－＝－22π＋， α2＝750＝＝＝22π＋. ∴α1的終邊在第二象限，α2的終邊在第一象限． (2)β1＝＝180＝108，設(shè)θ＝108＋k360(k∈Z)，則由－720≤θ<0，即－720≤108＋k360<0，得k＝－2，或k＝－1. 故在－7

9、20～0范圍內(nèi)，與β1終邊相同的角是－612和－252. β2＝－＝－60，設(shè)γ＝－60＋k360(k∈Z)，則由－720≤－60＋k360<0，得k＝－1，或k＝0. 故在－720～0范圍內(nèi)，與β2終邊相同的角是－420. [探究共研型] 扇形的弧長及面積公式 探究1　扇形的半徑，弧長及圓心角存在怎樣的關(guān)系？ 【提示】　|α|＝. 探究2　扇形的周長如何計算？ 【提示】　扇形的周長等于相應(yīng)的弧長與2個半徑之和． 探究3　扇形的面積和相應(yīng)的弧長存在怎樣的關(guān)系？ 【提示】　S＝lr. 　如圖1－3－3，扇形AOB的面積為4，周長為10，求扇形的圓心角α(0<α<2π

10、)的弧度數(shù)． 圖1－3－3 【精彩點撥】　S＝lr，l＋2r＝周長→求l，r值→α＝ 【自主解答】　設(shè)長為l，扇形半徑為r，由題意得： 解得或(舍) 故α＝＝(rad)，即扇形的圓心角為 rad. 涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等計算，關(guān)鍵是先分析題目，已知哪些量求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解． [再練一題] 3.(1)已知扇形的半徑為1 cm，圓心角為30，求扇形的弧長和面積； (2)已知扇形的周長為6 cm，面積為2 cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)． 【解】　(1)∵α＝30＝，∴l(xiāng)＝|α|r＝1＝(cm)，

11、S＝|α|r2＝12＝(cm2)， 故扇形的弧長為 cm，面積為 cm2. (2)設(shè)扇形的弧長為l，所在圓的半徑為r，由題意得 消去l并整理得， r2－3r＋2＝0， 解得r＝1或r＝2.當(dāng)r＝1時，l＝4，圓心角α＝＝＝4； 當(dāng)r＝2時，l＝2，圓心角α＝＝＝1. 故扇形的圓心角為1弧度或4弧度． [構(gòu)建體系] 1．下列說法中，錯誤的說法是(　　) A．半圓所對的圓心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑 D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度 【解析】根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算知A，B，C均正確，

12、D錯誤． 【答案】　D 2．已知α＝－2 ，則α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】　∵1 rad≈57.30， ∴－2 rad≈－114.60. 故α的終邊在第三象限． 【答案】　C 3．－π rad化為角度應(yīng)為________. 【導(dǎo)學(xué)號：66470004】 【解析】?。校剑?80＝－345. 【答案】?。?45 4．如果一扇形的弧長變?yōu)樵瓉淼谋?，半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，則該扇形的面積為原扇形面積的________倍． 【解析】　由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，則S′＝l′R′＝lR＝S. 【答案】　 5

13、．已知集合A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，求A∩B. 【解】　∵A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}， 令k＝1，有2π<α<3π，而2π>4； 令k＝0，有0<α<π； 令k＝－1，有－2π<α<－π， 而－2π<－4<－π， 故A∩B＝{α|－4≤a<－π或0<α<π}． 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________