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精編【課堂坐標】高中數(shù)學北師大版必修4學案:1.3 弧制 Word版含解析

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精編【課堂坐標】高中數(shù)學北師大版必修4學案:1.3 弧制 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學資料 3 弧度制 1.了解角的另外一種度量方法——弧度制. 2.能夠熟練地在角度制和弧度制之間進行換算.(重點)3.掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式.(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理 弧度制 閱讀教材P9~P11,完成下列問題. 1.弧度制的定義 在單位圓中,長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度角.它的單位符號是rad,讀作弧度.以弧度作為單位來度量角的單位制,叫作弧度制. 2.角度制與弧度制的互化 (1)弧度數(shù) ①正角的弧度數(shù)是一個正數(shù); ②負角的弧度數(shù)是一個負數(shù); ③零角的弧度數(shù)是0; ④弧度數(shù)與十進制實數(shù)間存在一一對應關(guān)系. (2)弧度數(shù)的計算 |α|=.如圖1-3-1: 圖1-3-1 (3)角度制與弧度制的換算 圖1-3-2 (4)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應關(guān)系 度 0 1 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 π 2π 3.弧長公式與扇形面積公式 已知r為扇形所在圓的半徑,n為圓心角的度數(shù),α為圓心角的弧度數(shù). 角度制 弧度制 弧長公式 l= l=|α|r 扇形面積公式 S= S=lr=|α|r2 判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位.(  ) (2)1度的角是周角的,1弧度的角是周角的.(  ) (3)根據(jù)弧度的定義,180一定等于π弧度.(  ) (4)不論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑長短有關(guān).(  ) 【解析】 (1)正確. (2)正確.1度的角是周角的,1弧度的角是周角的. (3)正確.根據(jù)弧度的定義,180一定等于π弧度. (4)錯誤.根據(jù)角度制與弧度制的定義,無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑長短無關(guān),而是與弧長和半徑的比值有關(guān). 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4) [質(zhì)疑手記] 預習完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流: 疑問1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑問2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑問3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ [小組合作型] 弧度制與角度制的互化  將下列角度與弧度進行互化. (1)20;(2)-15;(3);(4)-π. 【精彩點撥】 本題主要考查角度與弧度的換算.直接套用角度與弧度的換算公式,即度數(shù)=弧度數(shù),弧度數(shù)=度數(shù). 【自主解答】 (1)20==. (2)-15=-π=-. (3)π=180=105. (4)-π=-180=-396. 角度制與弧度制互化的策略 1.原則 牢記180=π rad.充分利用1= rad和1 rad=進行換算. 2.方法 設(shè)一個角的弧度數(shù)為α,角度數(shù)為n.則α rad=α;n=n rad. 3.注意事項 (1)將角度化為弧度,當角度中含有“分”“秒”單位時,應先將它們統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“度”,再利用1= rad化為弧度便可. (2)以弧度為單位表示角時,常把弧度寫成多少π的形式,如無特殊要求,不必把π寫成小數(shù). [再練一題] 1.將11230′化為弧度,將-π化為度. 【導學號:66470003】 【解】 11230′=112.5=112.5=rad,又1 rad=,∴-π rad=-π=-75. 用弧度制表示終邊相同的角  (1)將-1 500表示成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出它是第幾象限角; (2)在0~720范圍內(nèi),找出與角終邊相同的角. 【精彩點撥】 (1)把角度換算為弧度,表示成2kπ+α(k∈Z)的形式即可求解; (2)把弧度換算為角度,寫出與其終邊相同的角,調(diào)整k使待求角在[0,720)內(nèi). 【自主解答】 (1)-1 500=-1 500=-=-10π+. ∵是第四象限角,∴-1 500是第四象限角. (2)∵=180=72,∴終邊與角相同的角為θ=72+k360(k∈Z),當k=0時,θ=72;當k=1時,θ=432,∴在0~720范圍內(nèi),與角終邊相同的角為72,432. [再練一題] 2.設(shè)α1=-570,α2=750,β1=,β2=-. (1)將α1,α2用弧度制表示出來,并指出它們各自的終邊所在的象限; (2)將β1,β2用角度制表示出來,并在-720~0范圍內(nèi)找出與它們終邊相同的所有角. 【解】 (1)∵180=π rad, ∴α1=-570=-=-=-22π+, α2=750===22π+. ∴α1的終邊在第二象限,α2的終邊在第一象限. (2)β1==180=108,設(shè)θ=108+k360(k∈Z),則由-720≤θ<0,即-720≤108+k360<0,得k=-2,或k=-1. 故在-720~0范圍內(nèi),與β1終邊相同的角是-612和-252. β2=-=-60,設(shè)γ=-60+k360(k∈Z),則由-720≤-60+k360<0,得k=-1,或k=0. 故在-720~0范圍內(nèi),與β2終邊相同的角是-420. [探究共研型] 扇形的弧長及面積公式 探究1 扇形的半徑,弧長及圓心角存在怎樣的關(guān)系? 【提示】 |α|=. 探究2 扇形的周長如何計算? 【提示】 扇形的周長等于相應的弧長與2個半徑之和. 探究3 扇形的面積和相應的弧長存在怎樣的關(guān)系? 【提示】 S=lr.  如圖1-3-3,扇形AOB的面積為4,周長為10,求扇形的圓心角α(0<α<2π)的弧度數(shù). 圖1-3-3 【精彩點撥】 S=lr,l+2r=周長→求l,r值→α= 【自主解答】 設(shè)長為l,扇形半徑為r,由題意得: 解得或(舍) 故α==(rad),即扇形的圓心角為 rad. 涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等計算,關(guān)鍵是先分析題目,已知哪些量求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解. [再練一題] 3.(1)已知扇形的半徑為1 cm,圓心角為30,求扇形的弧長和面積; (2)已知扇形的周長為6 cm,面積為2 cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù). 【解】 (1)∵α=30=,∴l(xiāng)=|α|r=1=(cm), S=|α|r2=12=(cm2), 故扇形的弧長為 cm,面積為 cm2. (2)設(shè)扇形的弧長為l,所在圓的半徑為r,由題意得 消去l并整理得, r2-3r+2=0, 解得r=1或r=2.當r=1時,l=4,圓心角α===4; 當r=2時,l=2,圓心角α===1. 故扇形的圓心角為1弧度或4弧度. [構(gòu)建體系] 1.下列說法中,錯誤的說法是(  ) A.半圓所對的圓心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑 D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度 【解析】根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算知A,B,C均正確,D錯誤. 【答案】 D 2.已知α=-2 ,則α的終邊在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 ∵1 rad≈57.30, ∴-2 rad≈-114.60. 故α的終邊在第三象限. 【答案】 C 3.-π rad化為角度應為________. 【導學號:66470004】 【解析】 -π=-180=-345. 【答案】?。?45 4.如果一扇形的弧長變?yōu)樵瓉淼谋叮霃阶優(yōu)樵瓉淼囊话?,則該扇形的面積為原扇形面積的________倍. 【解析】 由于S=lR,若l′=l,R′=R,則S′=l′R′=lR=S. 【答案】  5.已知集合A={α|2kπ<α<π+2kπ,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},求A∩B. 【解】 ∵A={α|2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}, 令k=1,有2π<α<3π,而2π>4; 令k=0,有0<α<π; 令k=-1,有-2π<α<-π, 而-2π<-4<-π, 故A∩B={α|-4≤a<-π或0<α<π}. 我還有這些不足: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________

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