精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修五學(xué)業(yè)分層測評：第二章 解三角形 14 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測評(十四) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港O，兩船航行方向的夾角為120，兩船的航行速度分別為25 n mile/h，15 n mile/h，則14時兩船之間的距離是(　　) A．50 n mile B．70 n mile C．90 n mile D．110 n mile 【解析】　到14時，輪船A和輪船B分別走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得兩船之間的距離為l＝＝70 n mile. 【答案】　B 2．如圖237所示，從山頂望地面上C，D兩點，測得它們的俯角

2、分別為45和30，已知CD＝100米，點C位于BD上，則山高AB等于(　　) 圖237 A．100米 B．50米 C．50米 D．50(＋1)米 【解析】　設(shè)山高為h，則由題意知 CB＝h，DB＝h， 所以h－h(huán)＝100， 即h＝50(＋1)米． 【答案】　D 3．如圖238，D，C，B三點在地面同一直線上，DC＝a，從C，D兩點測得A點仰角分別是β，α(α＜β)，則A點離地面的高度AB等于(　　) 圖238 A. B. C. D． 【解析】　在△ADC中，∠DAC＝β－α. 由正弦定理得＝， ∴AC＝， ∴AB＝ACsin β＝. 【答案】　A 4

3、．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75，現(xiàn)要將其傾斜角改為30，則坡底要伸長(　　) A．1千米 B．千米 C.千米 D．2千米 【解析】　如圖，∠BAO＝75，C＝30，AB＝1， ∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75－30＝45. 在△ABC中，＝， ∴AC＝＝＝千米． 【答案】　B 5．(2014四川高考)如圖239，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于(　　) 圖239 A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 【解析】　如圖，在△ACD

4、中，∠CAD＝90－30＝60， AD＝60 m，所以CD＝ADtan 60＝60(m)． 在△ABD中，∠BAD＝90－75＝15， 所以BD＝ADtan 15＝60(2－)(m)． 所以BC＝CD－BD＝60－60(2－) ＝120(－1)(m)． 【答案】　C 二、填空題 6．某人向正東方向走x km后向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好 km，那么x的值為______. 【解析】　如圖所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30.由余弦定理得()2＝32＋x2－23xcos 30，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，檢驗均

5、符合題意． 【答案】　或2 7．在200 m的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別為30，60，則塔高為________． 【解析】　如圖，設(shè)塔AB高為h，在Rt△CDB中，CD＝200 m，∠BCD＝90－60＝30， ∴BC＝＝(m)． 在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30，∠ACB＝60－30＝30， ∴∠BAC＝120. 在△ABC中，由正弦定理得＝， ∴AB＝＝ m. 【答案】　 m 8．江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距________m.

6、 【解析】　如圖，OM＝AOtan 45＝30(m)， ON＝AOtan 30＝30＝10(m)， 在△MON中，由余弦定理得， MN＝ ＝＝10(m)． 【答案】　10 三、解答題 9．A、B、C、D四個景點，如圖2310，∠CDB＝45，∠BCD＝75，∠ADC＝15.A、D相距2 km，C、D相距(3－)km，求A、B兩景點的距離． 圖2310 【解】　在△BCD中， ∠CBD＝180－∠BCD－∠CDB＝60， 由正弦定理得＝， 即BD＝＝2. 在△ABD中，∠ADB＝45＋15＝60， BD＝AD，∴△ABD為等邊三角形， ∴AB＝2. 即A

7、、B兩景點的距離為2 km. 10．據(jù)氣象臺預(yù)報，距S島正東方向300 km的A處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時30 km的速度向北偏西30的方向移動，在距臺風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)的影響，問：S島是否受其影響？若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時S島開始受到臺風(fēng)的影響？持續(xù)時間多久？說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：67940044】 圖2311 【解】　設(shè)臺風(fēng)中心經(jīng)過t小時到達(dá)B點， 由題意，∠SAB＝90－30＝60， 在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60， 由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SAABcos ∠SAB ＝3002＋(30t)2－

8、230030tcos 60， 若S島受到臺風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件|SB|≤270， 即SB2≤2702，化簡得t2－10t＋19≤0， 解得5－≤t≤5＋， 所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過5－小時S島開始受到影響，5＋小時后影響結(jié)束． 持續(xù)時間為(5＋)－(5－)＝2小時． 即S島受臺風(fēng)影響，從現(xiàn)在起，經(jīng)過5－小時臺風(fēng)開始影響S島，持續(xù)2小時． [能力提升] 1．一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是(　　) A．50

9、m B．100 m C．120 m D．150 m 【解析】　設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得(h)2＝h2＋1002－2h100cos 60，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 【答案】　A 2．甲船在島A的正南B處，以4 km/h的速度向正北航行，AB＝10 km，同時乙船自島A出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間為(　　) A. min B． h C．21.5 min D．2.15

10、h 【解析】　如圖所示，當(dāng)兩船航行t h時，甲船到D處，乙船到C處， 則AD＝10－4t，AC＝6t，∠CAD＝120 或AD′＝4t－10，AC＝6t，∠CAD′＝60. ∴CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－26t(10－4t) ＝28t2－20t＋100， ∴當(dāng)t＝ h時，CD2最小，即兩船最近， t＝ h＝ min. 【答案】　A 3．某同學(xué)騎電動車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點A處測得電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點B處，測得電視塔S在電動車的北偏東75方向上，則點B與電視塔的距離是________km. 圖2312

11、 【解析】　如題圖，由題意知AB＝24＝6，在△ABS中，∠BAS＝30， AB＝6，∠ABS＝180－75＝105，∴∠ASB＝45，由正弦定理知＝， ∴BS＝＝3. 【答案】　3 4．如圖2313，一輛汽車從O點出發(fā)，沿海岸一條直線公路以100 km/h的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在O點南偏東方向距O點500 km且在海岸距離為300 km的海上M處有一快艇，與汽車同時出發(fā)，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機(jī)，問快艇至少必須以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司機(jī)手中？并求快艇以最小速度行駛時方向與OM所成的角． 圖2313 【解】　如圖所示， 設(shè)快艇從M處以v km/h的速度出發(fā)， 沿MN方向航行，t h后與汽車在N點相遇，在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt.設(shè)∠MON＝α，由題意知，sin α＝，則cos α＝， 由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－ 2OMONcos α， 即v2t2＝5002＋1002t2－2500100t， 整理得，v2＝2＋3 600， 當(dāng)＝，即t＝時，v＝3 600， ∴vmin＝60. 即快艇至少必須以60 km/h的速度行駛，此時MN＝60＝375. ∵M(jìn)Q＝300， 設(shè)∠MNO＝β，則sin β＝＝， ∴α＋β＝90，即MN與OM所成的角為90.