精編高中數學北師大版選修23教學案：第一章 5 第二課時 二項式系數的性質 Word版含解析

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1、精編北師大版數學資料 第二課時　二項式系數的性質 二項式系數的性質 n依次取1,2,3，…時，(a＋b)n展開式的二項式系數如圖所示： 觀察此表，思考下列問題． 問題1：同一行中，系數有什么規(guī)律？ 提示：兩端都是1，與兩端1等距離的項的系數相等， 即C＝C. 問題2：相鄰兩行，系數有什么規(guī)律？ 提示：在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和，即C＝C＋C. “楊輝三角”及其規(guī)律 (1)楊輝三角 (2)“楊輝三角”蘊含的規(guī)律 ①在同一行中，每行兩端都是1. ②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上

2、”兩數的和．即二項式系數滿足組合數的性質C＝C＋C. ③與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即二項式系數具有對稱性．C＝C. 1．二項式系數性質類似于組合數的兩個性質： (1)C＝C； (2)C＝C＋C. 2．從表中可以看出(a＋b)n的展開式中二項式系數先增加，后減少，各二項式系數和等于2n，而C＋C＋C＋…＋C＝2n. 與“楊輝三角”有關的問題 [例1]　如圖所示，在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數組成一個鋸齒形數列：1,2,3,3,6,4,10,5，…記其前n項和為Sn，求S19的值． [思路點撥]　觀察數列各項

3、在楊輝三角中的位置，把各項還原為二項展開式系數，利用組合的性質求和． [精解詳析]　由圖知，數列中的首項是C，第2項是C，第3項是C，第4項是C，…，第17項是C，第18項是C，第19項是C. ∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C ＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C) ＝＋C＝54＋220＝274. [一點通]　解決與楊輝三角有關問題的一般思路： (1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察； (2)找規(guī)律：通過觀察找出每一行的數之間，行與行之間的數據的規(guī)律． 1．如圖是一個類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個數均為__

4、______． 解析：觀察規(guī)律可知：第n行的首尾兩個數均為2n－1. 答案：2n－1 2．如圖，在由二項式系數所構成的楊輝三角中，第________行中從左到右第14與第15個數的比為2∶3. 解析：由楊輝三角知，第1行中的數是C，C；第2行中的數是C，C，C；第3行中的數是C，C，C，C；…；第n行中的數是C，C，C，…，C.設第n行中從左到右第14與第15個數的比為2∶3，則C∶C＝2∶3，解之得n＝34. 答案：34 二項展開式中系數的和 [例2]　(10分)設(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)． (1)求a0的

5、值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 013的值； (3)求a1＋a3＋a5＋…＋a20 13的值． [思路點撥]　可在已知的等式中分別取x＝0,1，－1，得各系數和、差的關系，進而求解． [精解詳析]　(1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013中，令x＝0，得1＝a0. ∴a0＝1. (3分) (2)在等式中，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 013，∴a1＋a2＋…＋a2 013＝－2. (6分) (3)令x＝－1，x＝1， 得 相減，得－1－32 013＝2(a1＋a3＋…＋a2 013

6、)． (8分) ∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－(1＋22 013)． (10分) [一點通]　(1)賦值法是求二項展開式系數和問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況． (2)一般地，二項式展開式f(x)的各項系數的和為f(1)，奇次項系數和為[f(1)－f(－1)]，偶次項系數和為[f(1)＋f(－1)]． 3．(1－2x)15的展開式中的各項系數和是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．215 D．315 解析：令x＝1時(－1)15＝－1. 答案：B

7、 4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 解：(1)令x＝0，則a0＝－1. 令x＝1，則a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，則a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，② 由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256. (3)∵Tr＋1＝C(3x)7－r(－1)r， ∴a2k－1>0(k∈N＋)，a2k<0(k∈N＋)． ∴|a0|＋

8、|a1|＋…＋|a7| ＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7 ＝47＝16 384. 解決與楊輝三角有關的問題的注意事項： (1)通過觀察找出每一行數據間的相互聯系以及行與行之間數據的相互聯系．然后對數據間的這種聯系用數學式子將它表達出來，使問題得解． (2)注意二項式系數性質C＝C，C＝C＋C的應用． 1．(x－1)11展開式中x的偶次項系數之和是(　　) A．－2 048　　　　　　　　 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024 解析：令f(x)＝(x－1)11，偶次項系數之和是＝＝－1 024. 答案：C 2．若Cx＋Cx2＋…

9、＋Cxn能被7整除，則x，n的值可能為(　　) A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4 C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5 解析：由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1分別將選項A，B，C，D代入檢驗知，僅有x＝5，n＝4適合． 答案：C 3．若n展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為(　　) A．10 B．20 C．30 D．120 解析：由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－kk ＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)． 由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C＝20. 答案：B 4．在4的展開式中各項系數之和是16.則a的值是(

10、　　) A．2 B．3 C．4 D．－1或3 解析：由題意可得(a－1)4＝16，a－1＝2，解得a＝－1或a＝3. 答案：D 5．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為________． 解析：令x＝－1，則原式可化為[(－1)2＋1][2(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 答案：－2 6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為__

11、______． 解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4＝(2－)4，于是(2＋)4(2－)4＝1. 答案：1 7．已知(1＋3x)n的展開式中，末三項的二項式系數的和等于121，求展開式中二項式系數最大的項． 解：由題意知C＋C＋C＝121， 即C＋C＋C＝121， ∴1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0， 解得n＝15或－16

12、(舍)． ∴在(1＋3x)15的展開式中二項式系數最大的項是第八、九兩項． 且T8＝C(3x)7＝C37x7， T9＝C(3x)8＝C38x8. 8．對二項式(1－x)10， (1)展開式的中間項是第幾項？寫出這一項． (2)求展開式中各二項式系數之和． (3)求展開式中除常數項外，其余各項的系數和． 解：(1)展開式共11項，中間項為第6項， T6＝C(－x)5＝－252x5. (2)C＋C＋C＋…＋C ＝210＝1 024. (3)設(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0. 令x＝0，得a0＝1. ∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.