一輪北師大版理數學教案：第5章 第1節(jié)　數列的概念與簡單表示法 Word版含解析

第五章　數　列 [深研高考備考導航]　　　　　　為教師備課、授課提供豐富教學資源 [五年考情] 考點 數列的概念與簡單表示法 全國卷ⅢT12全國卷ⅢT17 全國卷ⅠT17全國卷ⅡT16 全國卷ⅠT17 全國卷ⅠT14 — 等差數列及其前n項和 全國卷ⅠT3全國卷ⅡT17 全國卷ⅠT17 全國卷ⅠT17 全國卷ⅠT7全國卷ⅡT16 — 等比數列及其前n項和 全國卷ⅠT15全國卷ⅢT17 全國卷ⅡT4 全國卷ⅡT17 全國卷ⅠT14全國卷ⅡT3 全國卷T5 數列求和 全國卷ⅡT17 全國卷ⅠT17 — — 全國卷T16 數列的綜合應用 — — 全國卷ⅡT17 全國卷ⅠT12全國卷ⅡT16 全國卷T16 [重點關注] 1．從近五年全國卷高考試題來看：數列一般有兩道客觀題或一道解答題，其中解答題與解三角形交替考查，中低檔難度． 2．從知識上看：主要考查等差數列、等比數列、an與Sn的關系、遞推公式以及數列求和，注重數列與函數、方程、不等式的交匯命題． 3．從能力上看：突出對函數與方程、轉化與化歸、分類討論等數學思想的考查，加大對探究、創(chuàng)新能力的考查力度． [導學心語] 1．重視等差、等比數列的復習，正確理解等差、等比數列的概念，掌握等差、等比數列的通項公式、前n項和公式，靈活運用公式進行等差、等比數列基本量的計算． 2．重視an與Sn關系、遞推關系的理解與應用，加強由Sn求an，由遞推關系求通項，由遞推關系證明等差、等比數列的練習． 3．數列是特殊的函數，要善于用函數的性質，解決與數列有關的最值問題，等差(比)數列中共涉及五個量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”，體現了方程思想的應用． 一般數列求和，首先要考慮是否能轉化為等差(比)數列求和，再考慮錯位相減、倒序相加、裂項相消、分組法等求和方法． 重視發(fā)散思維、創(chuàng)新思維，有意識地培養(yǎng)創(chuàng)新能力． 第一節(jié)　數列的概念與簡單表示法 [考綱傳真]　1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類函數． 1．數列的定義 按照一定次序排列著的一列數叫作數列，數列中的每一個數叫作這個數列的項． 2．數列的分類 分類標準 類型 滿足條件 項數有限與無限 有窮數列 項數有限 無窮數列 項數無限 項與項間 的大小關系 遞增數列 an＋1>an 其中n∈N* 遞減數列 an＋1<an 常數列 an＋1＝an 3.數列的表示法 數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和解析法． 4．數列的通項公式 如果數列{an}的第n項an與 n之間的函數關系可以用一個式子表示成an＝f(n)，那么這個式子就叫作這個數列的通項公式． 5．若一個數列首項確定，其余各項用an與an－1的關系式表示(如an＝2an－1＋1，n≥2且n∈N*)，則這個關系式稱為數列的遞推公式． 6．an與Sn的關系 若數列{an}的前n項和為Sn，通項為an， 則an＝ 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)所有數列的第n項都能使用公式表達．(　　) (2)根據數列的前幾項歸納出數列的通項公式可能不止一個．(　　) (3)如果數列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) (4)若已知數列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數列{an}的任何一項．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)√　(4)√ 2．設數列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為(　　) A．15　　　 B．16 C．49 D．64 A　[當n＝8時，a8＝S8－S7＝82－72＝15.] 3．把1,3,6,10,15,21，…這些數叫作三角形數，這是因為以這些數目的點可以排成一個正三角形(如圖511)． 圖511 則第7個三角形數是(　　) A．27 B．28　　　 C．29 D．30 B　[由題圖可知，第7個三角形數是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．(教材改編)數列1，，，，，…的一個通項公式an是__________. 【導學號：57962230】 　[由已知得，數列可寫成，，，…，故通項為.] 5．(20xx保定調研)在數列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項公式an＝__________. 2n－1　[法一：由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，驗證可知an＝2n－1. 法二：由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.] 由數列的前幾項歸納數列的通項公式 　寫出下面各數列的一個通項公式： (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)－1,7，－13,19，…； (4)3,33,333,3 333，…. [解]　(1)各項減去1后為正偶數，所以an＝2n＋1. 3分 (2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數列21,22,23,24，…， 所以an＝. 6分 (3)數列中各項的符號可通過(－1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6. 故通項公式為an＝(－1)n(6n－5). 9分 (4)將數列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以an＝(10n－1). 12分 [規(guī)律方法]　1.求數列通項時，要抓住以下幾個特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相鄰項的變化特征； (3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征； (4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯想． 2．若關系不明顯時，應將部分項作適當的變形，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現出來．對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整，可代入驗證歸納的正確性． [變式訓練1]　(1)數列0，，，，…的一個通項公式為(　　) A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＝(n∈N*) D．an＝(n∈N*) (2)數列{an}的前4項是，1，，，則這個數列的一個通項公式是an＝__________. 【導學號：57962231】 (1)C　(2)　[(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數，對照選項排除即可． (2)數列{an}的前4項可變形為，，，，故an＝.] 由an與Sn的關系求通項an 　已知下面數列{an}的前n項和Sn，求{an}的通項公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 【導學號：57962232】 [解]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，3分 由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5. 5分 (2)a1＝S1＝3＋b， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝23n－1. 7分 當b＝－1時，a1適合此等式． 當b≠－1時，a1不適合此等式. 10分 ∴當b＝－1時，an＝23n－1； 當b≠－1時，an＝ 12分 [規(guī)律方法]　由Sn求an的步驟 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式； (3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應寫成分段函數的形式． 易錯警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項時，應注意n≥2這一前提條件，易忽視驗證n＝1致誤． [變式訓練2]　(20xx石家莊質檢(二))已知數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，則an＝(　　) A．2n＋1　　　　 B．2n C．2n－1 D．2n－2 A　[由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以數列{an}是以4為首項，2為公比的等比數列，則an＝42n－1＝2n＋1，故選A.] 由遞推公式求數列的通項公式 　根據下列條件，確定數列{an}的通項公式： (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 【導學號：57962233】 [解]　(1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n≥2)． 當n＝1時，a1＝(31＋1)＝2符合公式， ∴an＝n2＋. 4分 (2)∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1(n≥2)， ∴an＝…a1 ＝2n－12n－2…21＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2. 又a1＝1適合上式，故an＝2. 8分 (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故數列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數列， ∴an＋1＝23n－1，因此an＝23n－1－1. 12分 [規(guī)律方法]　1.已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an. 2．已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數法確定)，可轉化為{an＋k}為等比數列． 易錯警示：本題(1)，(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式，(3)中常見錯誤是忽視判定首項是否為零． [變式訓練3]　(20xx全國卷Ⅲ)已知各項都為正數的數列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． [解]　(1)由題意可得a2＝，a3＝. 4分 (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1). 7分 因為{an}的各項都為正數，所以＝. 9分 故{an}是首項為1，公比為的等比數列，因此an＝. 12分 [思想與方法] 1．數列是一種特殊的函數，因此，在研究數列問題時，既要注意函數方法的普遍性，又要考慮數列方法的特殊性． 2．an＝ 3．由遞推關系求數列的通項的基本思想是轉化，常用的方法是： (1)an＋1－an＝f(n)型，采用疊加法． (2)＝f(n)型，采用疊乘法． (3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，轉化為等比數列解決． [易錯與防范] 1．數列是按一定“次序”排列的一列數，一個數列不僅與構成它的“數”有關，而且還與這些“數”的排列次序有關． 2．易混項與項數是兩個不同的概念，數列的項是指數列中某一確定的數，而項數是指數列的項對應的位置序號． 3．在利用數列的前n項和求通項時，往往容易忽視先求出a1，而是直接把數列的通項公式寫成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形．