精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案：1.4.34.4　單位圓的對(duì)稱性與誘導(dǎo)公式 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學(xué)資料 4.3　單位圓與正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)的基本性質(zhì) 4.4　單位圓的對(duì)稱性與誘導(dǎo)公式 1．了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)． 2．會(huì)借助單位圓推導(dǎo)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式．(難點(diǎn)) 3．掌握誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用．(重點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì) 閱讀教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列問題． 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x 基本性質(zhì) 定義域 R 值域 [－1,1] 最大 (小)值 當(dāng)x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最大值1； 當(dāng)x＝2kπ－(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最小值－1 當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最大值1； 當(dāng)x＝(2k＋1)π(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最小值－1 基本性質(zhì) 周期性 周期是2kπ(k∈Z)，最小正周期為2π 單調(diào)性 在區(qū)間(k∈Z)上是增加的，在區(qū)間(k∈Z)上是減少的 在區(qū)間[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是減少的 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．(　　) (2)y＝sin x在上的最大值為1.(　　) (3)y＝cos x在上的最小值為－1.(　　) 【解析】　(1)y＝sin x在[－π，π]上不具有單調(diào)性，故(1)錯(cuò)誤． (2)y＝sin x在上是增加的，在上是減少的，y max＝sin＝1，故(2)正確． (3)y＝cos x在上是減少的，故y min＝cos ＝0，故(3)錯(cuò)誤． 【答案】　(1)　(2)√　(3) 教材整理2　誘導(dǎo)公式(－α，πα)的推導(dǎo) 閱讀教材P19～P21，完成下列問題． 1．誘導(dǎo)公式(－α，πα)的推導(dǎo) (1)在直角坐標(biāo)系中 α與－α角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱； α與π＋α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； α與π－α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱． (2)公式 sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α； sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α. 2．誘導(dǎo)公式的推導(dǎo) (1)－α的終邊與α的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． (2)公式 sin＝cos_α，cos＝sin_α 用－α代替α↓并用前面公式 sin＝cos_α，cos＝－sin α 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)cos(2π－α)＝cos α.(　　) (2)sin(2π－α)＝sin α.(　　) (3)誘導(dǎo)公式中的角α只能是銳角．(　　) 【解析】　(1)正確．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α. (2)錯(cuò)誤．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α. (3)錯(cuò)誤．誘導(dǎo)公式中角α不僅可以是銳角，還可以是任意角． 【答案】　(1)√　(2)　(3) [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ [小組合作型] 正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì) 　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自變量x的值． (1)y＝sin x，x∈； (1)y＝cos x，x∈. 【精彩點(diǎn)撥】　畫出單位圓，借助圖形求解． 【自主解答】　(1)由圖①可知，y＝sin x在上是增加的，在上是減少的．且當(dāng)x＝時(shí)，y＝sin x取最大值1，當(dāng)x＝－時(shí)，y＝sin x取最小值－. ① (2)由圖②可知，y＝cos x在[－π，0]上是增加的，在上是減少的．且當(dāng)x＝－π時(shí)取最小值－1，當(dāng)x＝0時(shí)，取最大值1. ② 利用單位圓研究三角函數(shù)性質(zhì)的方法 第一步：在單位圓中畫出角x的取值范圍； 第二步：作出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P(cos x，sin x)； 第三步：研究P點(diǎn)橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)隨x的變化而變化的規(guī)律； 第四步：得出結(jié)論． [再練一題] 1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，并說明取得最大值和最小值時(shí)的自變量x的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66470010】 (1)y＝－sin x，x∈；(2)y＝cos x，x∈[－π，π]． 【解】　(1)y＝－sin x，x∈的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. 當(dāng)x＝時(shí)，ymin＝－1；當(dāng)x＝π時(shí)，ymax＝0，故函數(shù)y＝－sin x的值域?yàn)? (2)y＝cos x，x∈[－π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，π]，單調(diào)遞增區(qū)間為[－π，0]． 當(dāng)x＝0時(shí)，ymax＝1；當(dāng)x＝－π或π時(shí)，ymin＝－1，故函數(shù)y＝cos x，x∈[－π，π]的值域?yàn)閇－1,1]． 給角求值 　求下列三角函數(shù)值． (1)sincossin； (2)sin. 【精彩點(diǎn)撥】　利用誘導(dǎo)公式將所給的角化成銳角求解． 【自主解答】　(1)sincossin ＝sincossin ＝－sincos ＝ ＝＝. (2)sin＝sin ＝sin＝sin＝. 利用誘導(dǎo)公式，把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的基本步驟為： 可簡記為：負(fù)化正，大化小，化成銳角再求值． [再練一題] 2．求下列各式的值． (1)sin 495cos(－675)； (2)sincos(n∈Z)． 【解】　(1)sin 495cos(－675) ＝sin(360＋135)cos(360＋315) ＝sin 135cos 315 ＝sin(180－45)cos(360－45) ＝sin 45cos 45＝＝. (2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 原式＝sin π＝sin ＝sin cos ＝＝； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 原式＝sin πcos π＝sincos ＝sin ＝＝－. 給值求值 　已知cos＝，求cossin. 【精彩點(diǎn)撥】　解答本題要注意到＋＝π，－α＝π－，＋＝等角之間的關(guān)系，恰當(dāng)運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值． 【自主解答】　∵＋＝， ∴sin＝sin ＝cos＝. ∴sin＝sin ＝sin＝. ∵＋＝π， ∴cos＝cos ＝－cos＝－， ∴cossin＝－＝－. 1．觀察已知角與未知角之間的關(guān)系，運(yùn)用誘導(dǎo)公式將不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù)，將不同的角化為相同的角，是解決問題的關(guān)鍵． 2．對(duì)于有條件的三角函數(shù)求值題，求解的一般基本方法是從角的關(guān)系上尋求突破，找到所求角與已知角之間的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式，進(jìn)而把待求式轉(zhuǎn)化到已知式而完成求值． [再練一題] 3．已知sin＝，求cos的值． 【解】　∵π－α＝3π＋， ∴cos＝cos ＝－cos. 又∵＋＝， ∴cos＝－cos ＝－sin＝－. [探究共研型] 三角函數(shù)式的化簡 探究1　三角函數(shù)式本著怎樣的思路化簡？ 【提示】　總體思路是利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)． 探究2　怎樣處理含有kπα的角？ 【提示】　含有kπα形式的角的三角函數(shù)化簡時(shí)，需對(duì)k分是奇數(shù)還是偶數(shù)討論確認(rèn)選用的公式． 　化簡下列各式． (1)； (2)cos＋cos(n∈Z)． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)直接利用誘導(dǎo)公式化簡． (2)對(duì)n是奇數(shù)或偶數(shù)進(jìn)行討論． 【自主解答】　(1)原式＝＝－1. (2)∵＋＝2nπ， ∴原式＝cos＋cos ＝2cos＝2cos. ①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即n＝2k＋1(k∈Z)時(shí)，原式 ＝2cos＝－2cos； ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即n＝2k(k∈Z)時(shí)， 原式＝2 cos ＝2 cos. 故原式＝ 三角函數(shù)的化簡，盡量化為2kπα的形式，否則： (1)形如kπα?xí)r，應(yīng)對(duì)k進(jìn)行奇數(shù)和偶數(shù)兩種情形討論； (2)形如πα?xí)r，應(yīng)分k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2(n∈Z)三種情形討論． [再練一題] 4．化簡：cos＋cos，其中k∈Z. 【解】　cos＋cos＝cos＋cos. ①當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)， 原式＝cos＋cos ＝cos＋cos ＝－cos－cos ＝－2cos； ②當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)， 原式＝cos＋cos ＝cos＋cos ＝cos＋cos ＝2cos. 綜上可知，原式＝ [構(gòu)建體系] 1．當(dāng)α∈R時(shí)，下列各式恒成立的是(　　) A．sin＝－cos α B．sin(π－α)＝－sin α C．cos(π＋α)＝cos α D．cos(－α)＝cos α 【解析】　由誘導(dǎo)公式知D正確． 【答案】　D 2．cos的值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66470011】 A．－　　　　 B． C. D．－ 【解析】　cos＝－cos＝－cos＝－. 【答案】　D 3．y＝sin x，x∈的單調(diào)增區(qū)間為________，單調(diào)減區(qū)間為_______． 【解析】　在單位圓中，當(dāng)x由－π到時(shí)，sin x由0減小到－1，再由－1增大到.所以它的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. 【答案】　　 4．已知cos(π＋α)＝－，則sin＝________. 【解析】　cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝. 又sin＝cos α＝. 【答案】　 5．計(jì)算：sincossin. 【解】　原式＝sincossin ＝sincossin ＝sin ＝ ＝. 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________