高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 章末小結(jié)與測(cè)評(píng) Word版含答案

2019 年北師大版精品數(shù)學(xué)資料1平面向量的基本概念平面向量既有大小，又有方向的量向量的模表示向量的有向線段的長(zhǎng)度零向量長(zhǎng)度為 0 的向量單位向量長(zhǎng)度為 1 的向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量共線向量表示兩個(gè)向量的有向線段所在直線平行或重合的兩個(gè)向量2.向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法、減法和實(shí)數(shù)與向量的積的綜合運(yùn)算，通常叫作向量的線性運(yùn)算(或線性組合)(2)向量的加法運(yùn)算按平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行，其中向量求和的三角形法則可推廣至多個(gè)向量求和的多邊形法則，即：n個(gè)向量經(jīng)過(guò)平移，使前一個(gè)向量的終點(diǎn)依次與后一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，組成一向量折線，這n個(gè)向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量，即(3)向量的加法滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律，即a ab bb ba a(交換律)；(a ab b)c ca a(b bc c)(結(jié)合律)(4)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫作向量的減法， 作向量a a，b b， 則a ab b，即：如果把向量a a與b b的起點(diǎn)放在點(diǎn)O，那么從向量b b的終點(diǎn)B指向被減向量a a的終點(diǎn)A，得到的向量就是a ab b.(5)一般地，實(shí)數(shù)與向量a a的積是一個(gè)向量，記作a a，所以它既有大小又有方向大小(長(zhǎng)度)：|a a|a a|.方向：當(dāng)0 時(shí)，a a與a a的方向相同；當(dāng)0 時(shí)，a a與a a的方向相反；當(dāng)0 時(shí)，a a0 0，方向任意(6)實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算滿(mǎn)足：結(jié)合律：(a a)()a a.分配律：()a aa aa a；(a ab b)a ab b.3向量共線(平行)的判定與性質(zhì)判定定理性質(zhì)定理a a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b ba a，則向量b b與a a共線(平行)若向量b b與非零向量a a共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b ba a該兩定理可簡(jiǎn)單歸結(jié)為：b ba a(a ab b)b ba a(R R)，判定定理是判定兩向量共線的重要依據(jù)，性質(zhì)定理是根據(jù)向量共線建立方程的依據(jù)4平面向量基本定理平面向量基本定理也叫共面向量定理，即對(duì)于不共線的非零向量，e e1，e e2，若存在一對(duì)實(shí)數(shù)a a1，a a2，使a aa a1e e1a a2e e2，則向量a a，e e1，e e2共面；反之，若向量a a，e e1，e e2共面，則存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)a a1，a a2，使a aa a1e e1a a2e e2.若在平面中選中一組基底，則該平面中的任一向量都可與之建立聯(lián)系，以該基底為紐帶，可溝通不同向量之間的聯(lián)系，如證明三點(diǎn)A，B，C共線，通常是先把AB，AC用基底表示出來(lái)，再由平行向量定理來(lái)加以判定5平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i i，j j作為基底，a a為坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量，以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)作OPa a，則OPxi iyj ja a，稱(chēng)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)是向量a a的坐標(biāo)，可知點(diǎn)P的坐標(biāo)即為a a的坐標(biāo)(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算是將幾何問(wèn)題代數(shù)化的有力工具，它是轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的具體體現(xiàn)通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模、夾角，判斷共線、平行、垂直等問(wèn)題6平面向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積不同于向量的線性運(yùn)算，因?yàn)樗倪\(yùn)算結(jié)果是數(shù)量，不是向量(2)數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律是進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算的依據(jù)通過(guò)這些性質(zhì)可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度(模)、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩個(gè)平面向量的夾角、判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直等(3)已知非零向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則有數(shù)量積a ab b|a a|b b|cosa ab bx1x2y1y2向量的模|a a|a aa aa a2|a a|x21y21兩向量平行的等價(jià)條件a ab ba ab ba ab bx1y2x2y10兩向量垂直的等價(jià)條件a ab ba ab b0a ab bx1x2y1y20兩向量的夾角公式cosa ab b|a a|b b|cosx1x2y1y2x21y21x22y22典例 1已知OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使ABAC，D是將OB分成 21 的一個(gè)分點(diǎn)，DC和OA交于E，設(shè)OAa a，OBb b(如圖)，(1)用a a，b b表示向量；(2)若，求實(shí)數(shù)的值解(1)A為BC的中點(diǎn)，即(2)a ab bm2a a53b b.(2m2)a a153mb b0，a a，b b不共線，2m20，153m0，解得45.借題發(fā)揮1.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量因此對(duì)它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意大小、方向兩個(gè)方面2理解向量的有關(guān)概念(如相等與相反向量、平面向量基本定理、平行向量定理等)，用基底表示向量，三角形法則、平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)3向量是一個(gè)有“形”的幾何量，因此在研究向量的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量的重要方法和技巧對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1. 已知ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)求證：.證明：因?yàn)镋是對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)， 典例 2(江蘇高考)已知a a(cos，sin)，b b(cos，sin)，0.(1)若|a ab b| 2，求證：a ab b；(2)設(shè)c c(0，1)，若a ab bc c，求，的值解(1)證明：由題意得|a ab b|22，即(a ab b)2a a22a ab bb b22.又因?yàn)閍 a2b b2|a a|2|b b|21，所以 22a ab b2，即a ab b0，故a ab b.(2)因?yàn)閍 ab b(coscos，sinsin)(0，1)，所以coscos0，sinsin1.由此得，coscos ()，由 0，得 0.又 0，所以56，6.借題發(fā)揮設(shè)a a(x1，y1)b b(x2，y2)，1|a a|x21y21.2a ab bx1x2，y1y2.3向量的線性運(yùn)算，向量的平行、垂直條件，都有坐標(biāo)表示對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2若向量a a(1，x)，b b(x，2)，c c(1，1)滿(mǎn)足條件(c ca a)(2b b)2，則x_解析：c ca a(0，1x)，2b b(2x，4)，(c ca a)(2b b)2，4(1x)2，得x32.答案：32典例 3(北京高考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_(kāi)；的最大值為_(kāi)解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示則D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)，設(shè)E(1，a)(0a1)答案11借題發(fā)揮平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，利用向量的數(shù)量積可以證明兩向量垂直、平行，求兩向量的夾角，計(jì)算向量的長(zhǎng)度等對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知c cma anb b，c c(2 3，2)，a ac c，b b與c c的夾角為23，b bc c4，|a a|2 2，求實(shí)數(shù)m，n的值及a a與b b的夾角.解：c c(2 3，2)，|c c|4.a ac c，a ac c0.b bc c|b b|c c|cos23|b b|4(12)4，|b b|2.c cma anb b，c c2ma ac cnb bc c，16n(4)，n4.在c cma anb b兩邊同乘以a a，得 08m4a ab b.在c cma anb b兩邊同乘以b b，得ma ab b12.由，得m 6.a ab b2 6，cos2 62 2232.6或56. 典例 4如圖所示，頂角為 2的等腰劈，今有力|F F|100 N 作用于劈背上將物體劈開(kāi)，試分析力F F的分力的大小與的關(guān)系解根據(jù)力的作用效果(力F F1、F F2的方向分別垂直于劈面)，可將力分解如圖，由向量的平行四邊形法則及直角三角形的知識(shí)有|F F1|F F2|F F|2sin|F F|2sin100 N2sin50 Nsin.根據(jù)題意 02，02.又(0，2)時(shí)，sin是增函數(shù)，隨著的增大，|F F|在減小，即頂角越小，分力越大當(dāng)6時(shí)，即頂角為3時(shí)，|F F1|F F2|F F|.借題發(fā)揮平面向量的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是在平面幾何上的應(yīng)用，利用向量的運(yùn)算解決平行、垂直、距離和夾角等平面幾何的相關(guān)問(wèn)題；二是向量在解析幾何上的應(yīng)用，主要利用向量平行和垂直的坐標(biāo)條件求直線或圓的方程；三是在物理中的應(yīng)用，主要解決力、速度等矢量的分解、合成問(wèn)題及力對(duì)物體做功的問(wèn)題對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4. 如圖，已知ABCD中，E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BEFD，求證：四邊形AECF是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形(時(shí)間：90 分鐘滿(mǎn)分：120 分)一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)2設(shè)向量a a(1，0)，b b(12，12)，則下列結(jié)論中正確的是()A|a a|b b|Ba ab b22Ca ab b與b b垂直Da ab b解析：選 C(a ab b)b b(12，12)(12，12)0，(a ab b)b b.3已知a a(3，4)，b ba a，且b b的起點(diǎn)為(1，2)，終點(diǎn)為(x，3x)，則b b等于()A(1115，15)B(415，15)C(35，45)D(35，45)解析：選 D依題意，b b(x1，3x2)b ba a，x133x24，解得x25，b b(35，45)4有下列命題：0；(a ab b)c ca ac cb bc c；若a a(m,4)，則|a a| 23m 7；若AB的起點(diǎn)為A(2,1)，終點(diǎn)為B(2,4)，則與x軸正向所夾角的余弦值是45.其中正確命題的序號(hào)是()ABCD解析：選 C因?yàn)椋藻e(cuò)；是數(shù)量積的分配律，正確；當(dāng)m 7時(shí)，|a a|也等于 23，故錯(cuò)；在中，(4，3)與x軸正向夾角的余弦值是45，故正確5若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|，則ABC一定是()A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形解析：選 B由已知可得，則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線相等，該四邊形為矩形A90.6(遼寧高考)已知兩個(gè)非零向量a a，b b滿(mǎn)足|a ab b|a ab b|，則下面結(jié)論正確的是()Aa ab bBa ab bC|a a|b b|Da ab ba ab b解析：選 B法一：由|a ab b|a ab b|.平方可得a ab b0，所以a ab b，故選B.法二：根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a ab b|與|a ab b|分別為以向量a a，b b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，因?yàn)閨a ab b|a ab b|，所以該平行四邊形為矩形，所以a ab b，故選B.7若向量5，那么d d()A0B4C4D4 或4解析：選 C5(1,1)(3,4)4.8(重慶高考)設(shè)xR R，向量a a(x，1)，b b(1，2)，且a ab b，則|a ab b|()A. 5B. 10C2 5D10解析：選 B由a ab b，可得a ab b0，即x20，得x2，所以a ab b(3，1)，故|a ab b| 32（1）2 10.9(浙江高考)設(shè)a a，b b是兩個(gè)非零向量()A若|a ab b|a a|b b|，則a ab bB若a ab b，則|a ab b|a a|b b|C若|a ab b|a a|b b|，則存在實(shí)數(shù)，使得b ba aD若存在實(shí)數(shù)，使得b ba a，則|a ab b|a a|b b|解析：選 C若|a a|b b|a a|b b|，則a a、b b反向共線，故 A 錯(cuò)誤，C 正確；當(dāng)a ab b時(shí)，a a、b b不反向，也不共線，B 錯(cuò)誤；若a a、b b同向，則|a ab b|a a|b b|，D 錯(cuò)誤10已知|a a|2|b b|0，且關(guān)于x的方程x2|a a|xa ab b0 有實(shí)根，則a a與b b的夾角的取值范圍是()A.0，6B.3，C.3，23D.6，解析： 選 B設(shè)a a與b b的夾角為， 方程x2|a a|xa ab b0 有實(shí)根， |a a|24a ab b0，a ab b14|a a|2.cosa ab b|a a|b b|a a|24|a a|b b|4|b b|28|b b|212，而0，3.二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上)11已知e e1，e e2為單位向量，它們的夾角為 120，則|e e13e e2|_解析：|e e13e e2|2e e216e e1e e29e e22|e e1|26|e e1|e e2|cos 1209|e e2|216(12)913，|e e13e e2| 13.答案： 1312(山東高考)已知向量的夾角為 120，且|3，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)712.答案：71213已知向量a a(6，2)，b b4，12 ，直線l過(guò)點(diǎn)A(3，1)且與向量a a2b b垂直，則直線l的方程為_(kāi)解析：a a2b b(6，2)(8，1)(2，3)直線l與向量a a2b b垂直，直線l的一個(gè)方向向量為v v(1，23)，直線l的斜率k23，故直線l的方程為y123(x3)，即 2x3y90.答案：2x3y9014(2012 山東高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2，1)時(shí)，OP的坐標(biāo)為_(kāi)解析：如圖，作CQx軸，PQCQ，Q為垂足根據(jù)題意得劣弧DP2，故DCP2 弧度，則在PCQ中，PCQ(22)弧度，|CQ|cos (22)sin 2，|PQ|sin (22)cos 2，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2|CQ|2sin 2，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1|PQ|1cos 2，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2sin 2，1cos 2)，即為向量OP的坐標(biāo)答案：(2sin 2，1cos 2)三、解答題(本大題共 4 個(gè)小題，共 50 分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿(mǎn)分 12 分)已知a a(4，3)，b b(1，2)，m ma ab b，n n2a ab b，按下列條件求實(shí)數(shù)的值(1)m mn n；(2)m mn n；(3)|m m|12|n n|.解：由已知得，m m(4，32)，n n(7，8)(1)m mn n，m mn n0，7(4)8(32)0.解得529.(2)m mn n，47328，解得12.(3)|m m|12|n n|， （4）2（32）272822.20216130.解得12或1310.16(本小題滿(mǎn)分 12 分)已知a a，b b都是非零向量，且a a3b b與 7a a5b b垂直，a a4b b與 7a a2b b垂直，求a a與b b的夾角解：由已知，(a a3b b)(7a a5b b)0，(a a4b b)(7a a2b b)0，即 7a a216a ab b15b b20.7a a30a ab b8b b20.得 2a ab bb b2.代入式，得a a2b b2.cosa ab b|a a|b b|12b b2|b b|212，故a a與b b的夾角為 60.17(本小題滿(mǎn)分 12 分)已知：在ABC中，ABc，BCa，ACb，AB上的中線CDm，求證：a2b212c22m2.證明：D是AB的中點(diǎn)，即 4m2c22a22b2.a2b212c22m2.18(本小題滿(mǎn)分 14 分)在ABC中，1，O為ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，(01)(1)指出點(diǎn)O所在的位置，并給予證明；(2)設(shè)f()，求函數(shù)f()的最小值，并求出相應(yīng)的值01,011，點(diǎn)O在BC邊的中線上f()(1)(12)214.01，所以，當(dāng)12，f()取得最小值14.