新教材數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)北師大版選修22練習(xí)：第2章 4.1、4.2 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 活頁作業(yè)8 Word版含解析

（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 活頁作業(yè)(八)　導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 1．已知f(x)＝sin x－cos x，則f′等于(　　) A．0　　　　　　　 B． C． D．1 解析：f(x)＝sin x－cos x，則f′(x)＝cos x＋sin x，f′＝cos ＋sin ＝＋. 答案：C 2．曲線y＝x3－3x在某一點(diǎn)處的切線平行于x軸，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A．(－1,2) B．(1，－2) C．(1,2) D．(－1,2)或(1，－2) 解析：y＝x3－3x，則y′＝3x2－3. 令y′＝0，則x＝1. 故切點(diǎn)為(－1,2)或(1，－2)． 答案：D 3．點(diǎn)P在曲線y＝x3－x上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是(　　) A． B．∪ C． D． 解析：y＝x3－x，則y′＝3x2－1≥－1.故在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的取值范圍是∪. 答案：B 4．設(shè)f(x)＝ax3＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，則x0＝(　　) A．1 B．2 C． D．2 解析：由已知得f′(x)＝ax2＋b，∴f′(x0)＝ax＋b. 又f(3)＝9a＋3b，∴由f(3)＝3f′(x0)得 3a＋b＝ax＋b，解得x0＝. 答案：C 5．已知函數(shù)f(x)＝cos x，則f(π)＋f′＝(　　) A．－ B． C．－ D．－ 解析：∵f(x)＝cos x， ∴f(π)＝－， f′(x)＝－cos x－sin x. ∴f′＝－. ∴f(π)＋f′＝－. 答案：D 6．曲線y＝xln x在點(diǎn)M(e，e)處的切線在x，y軸上的截距分別為a，b，則a＋b＝(　　) A．－e B．－e C．e D．e 解析：y′＝(xln x)′＝x′ln x＋x(ln x)′＝ ln x＋x＝ln x＋1， ∴當(dāng)x＝ e時(shí)，y′＝ln e＋1＝2. ∴曲線y＝xln x在點(diǎn)M(e，e)處的切線方程為y－e＝2(x－e)． 令x＝0，得y＝－e； 令y＝0，得x＝. ∴a＝，b＝－e.∴a＋b＝－. 答案：B 7．曲線y＝x3－2ax2＋2ax上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角，則整數(shù)a＝________. 解析：y＝x3－2ax2＋2ax，則y′＝3x2－4ax＋2a. 若曲線上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角，則y′＞0恒成立，即y′＝3x2－4ax＋2a>0恒成立． 則Δ＝(－4a)2－432a＝16a2－24a<0， 解得0＜a＜，整數(shù)a＝1. 答案：1 8．某物體的運(yùn)動(dòng)曲線是s＝t2＋3t，則該物體的初速度是________． 解析：s＝t2＋3t.故s′＝2t＋3.故s′|t＝0＝3. 答案：3 9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝sincos . 解：(1)y＝＝＝cos x－sin x， y′＝(cos x－sin x)′＝(cos x)′－(sin x)′＝－sin x－cos x. (2)y′＝′ ＝ ＝ ＝. (3)y＝sin cos ＝sin x， y′＝′＝(sin x)′＝cos x. 10．已知函數(shù)f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e為偶函數(shù)，它的圖像過點(diǎn)A(0，－1)且在x＝1處的切線方程為2x＋y－2＝0，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式． 解：由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)得f(－x)＝f(x)， 即ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e， ∴b＝d＝0. ∴f(x)＝ax4＋cx2＋e. 又∵函數(shù)圖像過點(diǎn)A (0，－1)，∴e＝－1. ∴函數(shù)f(x)＝ax4＋cx2－1. ∴f′(x)＝4ax3＋2cx. ∴x＝1處的切線的斜率k＝－2＝f′(1)． ∴4a＋2c＝－2. 由2x＋y－2＝0，得x＝1時(shí)，y＝0， ∴點(diǎn)(1,0)在f(x)的圖像上． ∴a＋c－1＝0. 由 求得a＝－2，c＝3， 故函數(shù)f(x)＝－2x4＋3x2－1. 11．已知f1(x)＝sin x＋cos x，記f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N＋，n≥2)，則f1＋f2＋…＋f2 016＝________. 解析：f1(x)＝sin x＋cos x， f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x， f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x， f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x， 以此類推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)． 又f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0， ∴f1＋f2＋…＋f2 016＝f1＋f2＋f3＋f4＝0. 答案：0 12．函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是兩兩互不相等的常數(shù))，則＋＋＝__________________. 解析：∵f(x)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc， ∴f′(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca. ∴f′(a)＝(a－b)(a－c)．同理f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)． 代入原式，得＋＋＝0. 答案：0 13．已知f(x)＝(x－1)(x－2)…(x－10)，則f′(10)＝__________________. 解析：∵f(x)＝(x－1)(x－2)…(x－10) ＝[(x－1)(x－2)…(x－9)](x－10)， ∴f′(x)＝[(x－1)(x－2)…(x－9)]′(x－10)＋[(x－1)(x－2)…(x－9)](x－10)′ ＝[(x－1)(x－2)…(x－9)]′(x－10)＋(x－1)(x－2)…(x－9)． 故f′(10)＝987…21＝362 880. 答案：362 880 14．對正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為{an}，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式． 解：∵y＝xn(1－x)，∴y′＝nxn－1(1－x)－xn＝nxn－1－(n＋1)xn. ∴當(dāng)x＝2時(shí)，y′＝n2n－1－(n＋1)2n＝－(n＋2)2n－1. ∵f(2)＝－2n， ∴所求的切線方程為y＋2n＝－(n＋2)2n－1(x－2)． 令x＝0，則y＝(n＋1)2n. ∴an＝(n＋1)2n，＝2n， ∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為＝2n＋1－2. 15．已知函數(shù)y＝f(x)＝在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x＋y＝2，求a，b的值． 解：由f(x)＝? f′(x)＝； 由點(diǎn)(1，f(1))在直線x＋y＝2上?f(1)＝1；由直線x＋y＝2的斜率為－1?f′(1)＝－1. 故有?