新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 例談反證法在解題中的應(yīng)用

（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 例談反證法在解題中的應(yīng)用 反證法是一種間接證法.它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法.反證法證題的步驟大致分為三步： 　?。?）反設(shè)：作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè)； 　?。?）歸謬：由反設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾結(jié)果； 　?。?）作出結(jié)論：證明了反設(shè)不能成立，從而證明了所求證的結(jié)論成立. 其中，導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵，通常有以下幾種途徑：與已知矛盾，與公理、定理矛盾，與假設(shè)矛盾，自相矛盾等. 　　一、證明“至多”或“至少”問題 　　例1　已知函數(shù)對其定義域內(nèi)的任意兩個實數(shù)，當(dāng)時，都有．求證：至多有一個實數(shù)使得． 　　證明：假設(shè)存在兩個不等實數(shù)，使得． 　　不妨設(shè)，由條件可知，與式矛盾． 故至多有一個實數(shù)使得． 　　二、證明“不可能”問題 　　例2　給定實數(shù)，且，設(shè)函數(shù)，求證：經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點(diǎn)的直線不平行于軸． 　　證明：假設(shè)函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)，使得直線平行于軸． 　　設(shè)且．由， 　　得， 　　解得．與已知矛盾． 故經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸. 　　例3　雙曲線的兩支為，正三角形的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上．求證：不可能在雙曲線的同一支上． 　　證明：假設(shè)正三角形的三頂點(diǎn)位于雙曲線同一支如上，其坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)，則一定有． 　　于是 　　 　　． 因此，．這說明是鈍角三角形，與為正三角形矛盾．故不可能在雙曲線的同一支上． 　　三、證明“存在性”或“唯一性”問題 　　例4　已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)．問是否存在常數(shù)，使不等式對一切實數(shù)都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由． 　　解：假設(shè)存在符合條件的． 　　的圖象過， 　　，即． 　　又對一切實數(shù)都成立， 　　令，則． 　　，，． 　?。? 　　由得 　　據(jù)題意，對于任意實數(shù)，與都成立． 　　對于，若，則，不合題意；若，欲使的解集為，則需即解得． 　　對于，再考慮，把代入，得，其解集為． 　　所以，存在滿足條件的，其中．