2020高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第一章 5 第一課時 二項(xiàng)式定理 Word版含解析

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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 §5二項(xiàng)式定理 第一課時　二項(xiàng)式定理 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4； (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 根據(jù)上述規(guī)律歸納出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展開式，并思考下列問題． 問題1：(a＋b)n展開式中共有多少項(xiàng)？ 提示：n＋1項(xiàng)． 問題2：(a＋b)n展開式中系數(shù)有什么特點(diǎn)？ 提示：依次為組合數(shù)C，C，C，…，C. 問

2、題3：(a＋b)n展開式中每項(xiàng)的次數(shù)有什么特點(diǎn)？項(xiàng)的排列有什么規(guī)律？ 提示：每一項(xiàng)的次數(shù)和是一樣的，都是n次，并且是按a的降冪排列，b的升冪排列． 二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn叫作二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)展開式 公式右邊的式子叫作(a＋b)n的二項(xiàng)展開式 二項(xiàng)式系數(shù) 各項(xiàng)的系數(shù)C(r＝0,1,2，…，n)叫作二項(xiàng)式系數(shù) 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 式中Can－rbr叫作二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 在二項(xiàng)式定理中，若a＝1，b＝x，則(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn. (1)(a＋b)n的展開式中共有n＋1

3、項(xiàng)，字母a的冪指數(shù)按降冪排列，字母b的冪指數(shù)按升冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)和為n. (2)通項(xiàng)公式Tr＋1＝Can－rbr是第r＋1項(xiàng)而不是r項(xiàng)． 二項(xiàng)式定理的正用、逆用 [例1]　(1)求4的展開式； (2)化簡(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． [思路點(diǎn)撥]　(1)直接運(yùn)用公式將其展開，也可先變形，后展開；(2)根據(jù)所給式子的形式，考慮逆用二項(xiàng)式定理． [精解詳析]　(1)法一：4 ＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)·3＋C·4 ＝81x2＋108

4、x＋54＋＋. 法二：4＝ ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. [一點(diǎn)通]　求形式簡單的二項(xiàng)展開式時可直接由二項(xiàng)式定理展開，展開時注意二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)：前一個字母是降冪，后一個字母是升冪．形如(a－b)n的展開式中會出現(xiàn)正負(fù)間隔的情況． 1．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC的值為(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．(－1)n D．3n 解析：1－

5、2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n. 答案：C 2．求3的展開式． 解：3＝6＝(x2－1)6 ＝[C(x2)6－C(x2)5＋C(x2)4－C(x2)3＋C(x2)2－Cx2＋C] ＝(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1) ＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. 求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng) [例2]　已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)． (1)求n； (2)求展開式中所有的有理項(xiàng)． [思路點(diǎn)撥]　首先利用通項(xiàng)公式可求得冪指數(shù)n，進(jìn)而利用通項(xiàng)公式可求得所有的有理項(xiàng)． [精解詳析]　(1)二項(xiàng)展開

6、式的通項(xiàng)為 C()n－rr＝(－3)rCx. ∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴當(dāng)r＝5時，＝0，解得n＝10. (2)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意，得 令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k. ∵r∈Z，∴k應(yīng)為偶數(shù)，∴k＝2,0，－2， ∴r＝2,5,8. ∴第3項(xiàng)、第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，－61 236,295 245x－2. [一點(diǎn)通]　(1)求二項(xiàng)展開式中的某些特定項(xiàng)時，通常先利用通項(xiàng)公式由題意求出r，再求所需的某項(xiàng)；有時需要先求出n，計算時要注意n和r的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系． (2)處理常數(shù)項(xiàng)問題的關(guān)鍵是抓住變量的指數(shù)為0，有理項(xiàng)問題的關(guān)鍵是

7、變量的指數(shù)為整數(shù)． 3．(湖南高考)5的展開式中x2y3的系數(shù)是(　　) A．－20 B．－5 C．5 D．20 解析：由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得，第四項(xiàng)T4＝C2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系數(shù)為－20，選A. 答案：A 4．(江西高考)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 解析：Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常數(shù)項(xiàng)為C×(－2)2＝40. 答案：C 5．求(－)9展開式中的有理項(xiàng)． 解：∵

8、Tr＋1＝C(x)9－r(－x)r＝(－1)rCx， 令∈Z，即4＋∈Z，且r＝0,1,2，…，9. ∴r＝3或r＝9. 當(dāng)r＝3時，＝4，T4＝(－1)3Cx4＝－84x4； 當(dāng)r＝9時，＝3，T10＝(－1)9Cx3＝－x3. ∴(－)9的展開式中的有理項(xiàng)是第4項(xiàng)：－84x4， 第10項(xiàng)：－x3. 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù) [例3]　(8分)已知二項(xiàng)式10. (1)求展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)； (2)求展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)． [思路點(diǎn)撥]　利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)求第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù)． [精解詳析]　10的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是 Tk＋1＝C(3)10－kk(k＝0,

9、1，…，10)． (4分) (1)第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝120. (6分) (2)第4項(xiàng)的系數(shù)為C373＝－77 760. (8分) [一點(diǎn)通]　要注意區(qū)分某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別，前者只與二項(xiàng)式的指數(shù)及第幾項(xiàng)有關(guān)，與二項(xiàng)式無關(guān)，它是一個組合數(shù)C；后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)中字母的系數(shù)均有關(guān)． 6．(新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則ɑ＝(　　) A．－4 B.－3 C．－2 D．－1 解析：展開式中含x2的系數(shù)為C＋aC＝5，解得a＝－1，故選D. 答案：D 7．(浙

10、江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：由題意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1，2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，選C. 答案：C 8．求二項(xiàng)式6的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù)． 解：二項(xiàng)式6的展開式中第6項(xiàng)為 C25＝－12x－， ∴第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝6， 第6項(xiàng)的系數(shù)為－12. 求展開式的一些特殊項(xiàng)，通常

11、都是由題意列方程求出r，再求所需的某項(xiàng)；有時需先求n，計算時要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系． 1．(x－2y)7的展開式中的第4項(xiàng)為(　　) A．－280x4y3　　　　　　　　 B．280x4y3 C．－35x4y3 D．35x4y3 解析：(x－2y)7的展開式中的第4項(xiàng)為T4＝Cx4(－2y)3＝(－2)3Cx4y3＝－280x4y3. 答案：A 2．在(x－)10的展開式中，x6的系數(shù)是(　　) A．－27C B．27C C．－9C D．9C 解析：Tk＋1＝C·x10－k(－)k，令10－k＝6，知k＝4，∴T5＝C

12、x6(－)4，即x6的系數(shù)為9C. 答案：D 3．(大綱全國卷)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 解析：在(1＋x)8展開式中含x2的項(xiàng)為Cx2＝28x2，(1＋y)4展開式中含y2的項(xiàng)為Cy2＝6y2，所以x2y2的系數(shù)為28×6＝168，故選D. 答案：D 4．已知n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，則正整數(shù)n的值為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：n的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C2n－rx3n－4r，由r＝6時，3n－4r＝0.得n＝8. 答案：B 5．(安徽高考

13、)若8的展開式中x4的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：二項(xiàng)式8展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝. 答案： 6．(浙江高考)設(shè)二項(xiàng)式5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A，則A＝________. 解析：Tr＋1＝(－1)rCx，令15－5r＝0，得r＝3，故常數(shù)項(xiàng)A＝(－1)3C＝－10. 答案：－10 7.n展開式第9項(xiàng)與第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，求x的一次項(xiàng)系數(shù)． 解：由題意知，C＝C. ∴n＝17. ∴Tr＋1＝Cx·2r·x－＝C·2r·x－. ∴－＝1. 解得r＝9.

14、∴Tr＋1＝C·x4·29·x－3， 即T10＝C·29·x. 其一次項(xiàng)系數(shù)為C·29. 8．在8的展開式中，求： (1)第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及第5項(xiàng)的系數(shù)； (2)倒數(shù)第3項(xiàng)． 解：法一：利用二項(xiàng)式的展開式解決． (1)8＝(2x2)8－C(2x2)7·＋C(2x2)6·2－C(2x2)5·3＋C(2x2)4·4－C(2x2)3·5＋C(2x2)2·6－C(2x2)·7＋C8， 則第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝70，第5項(xiàng)的系數(shù)C·24＝1 120. (2)由(1)中8的展開式可知倒數(shù)第3項(xiàng)為C·(2x2)2·6＝112x2. 法二：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式． (1)T5＝C(2x2)8－4·4＝C·24·x， 則第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C＝70， 第5項(xiàng)的系數(shù)是C·24＝1 120. (2)展開式中的倒數(shù)第3項(xiàng)即為第7項(xiàng)， T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.