新編高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案:第三章 章末小結(jié)與測(cè)評(píng) Word版含答案
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1.頻率與概率
概率是一個(gè)常數(shù),頻率是一個(gè)變數(shù),它隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化,試驗(yàn)次數(shù)越多,頻率就越接近于概率.
2.古典概型
(1)古典概型的特點(diǎn)是:有限性和等可能性.
(2)對(duì)于古典概型概率的計(jì)算,關(guān)鍵要分清基本事件的總數(shù)n與事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)m,再利用公式P(A)=求出概率.有時(shí)需要用列舉法把基本事件一一列舉出來(lái),在列舉時(shí)必須按某一順序做到不重、不漏.
3.互斥事件與對(duì)立事件
(1)互斥事件不一定是對(duì)立事件,對(duì)立事件一定是互斥事件.
(2)應(yīng)用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先確定事件彼此是否互斥,然后求出各事件分別發(fā)生的概率,再求和,求較復(fù)雜的概率通常有兩種方法:一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和;二是先求其對(duì)立事件的概率,然后再應(yīng)用公式P(A)=1-P()(事件A與互為對(duì)立事件)求解.
4.幾何概型
(1)幾何概型的特點(diǎn)是:無(wú)限性和等可能性.
(2)對(duì)于幾何概型試驗(yàn)的計(jì)算,關(guān)鍵是求得事件A所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量,然后代入公式求解.
[典例1] (江西高考)如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn).
(1)求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率;
(2)求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率.
[解] 從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果是:
x軸上取2個(gè)點(diǎn)的有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,共4種;
y軸上取2個(gè)點(diǎn)的有B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,共4種;
z軸上取2個(gè)點(diǎn)的有C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共4種.
所選取的3個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上有A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2,A2B1C1,A2B1C2,A2B2C1,A2B2C2,共8種.因此,從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果共20種.
(1)選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的所有可能結(jié)果有A1B1C1,A2B2C2,共2種,因此,這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率為P1==.
(2)選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的所有可能結(jié)果有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共12種,因此,這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率為P2==.
[借題發(fā)揮] 要正確理解P(A)=中的基本事件,準(zhǔn)確求出m、n的個(gè)數(shù),求基本事件個(gè)數(shù)的常用方法有:列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1. (北京高考)如圖,莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無(wú)法確認(rèn),在圖中以X表示.
甲組
乙組
9 9
0
X 8 9
1 1
1
0
(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)的平均數(shù)和方差;
(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19的概率.
(注:方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中為x1,x2,…,xn的平均數(shù))
解:(1)當(dāng)X=8時(shí),由莖葉圖可知,乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是:8,8,9,10,
所以平均數(shù)為:==;
方差為:s2=2+2+2+2=.
(2)記甲組四名同學(xué)為A1,A2,A3,A4,他們植樹(shù)的棵數(shù)依次為9,9,11,11;
乙組四名同學(xué)為B1,B2,B3,B4,他們植樹(shù)的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),所有可能的結(jié)果有16個(gè):
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),
(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),
(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),
用C表示“選出的兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19”這一事件,則C中的結(jié)果有4個(gè),它們是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2).故所求概率為P(C)==.
[典例2] 黃種人群中各種血型的人所占比例如下:
血 型
A
B
AB
O
該血型的人占的比例(%)
28
29
8
35
已知同種血型的人可以輸血,O型血可以輸給任一種血型的人,其他不同血型的人不能互相輸血,小明是B型血,若小明因病需要輸血,則:
(1)任找一個(gè)人,其血可以輸給小明的概率是多少?
(2)任找一個(gè)人,其血不能輸給小明的概率是多少?
[解] (1)對(duì)任一人,其血型為A,B,AB,O型血的事件分別記為A′,B′,C′,D′,它們是互斥的,由已知,得:
P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,
P(D′)=0.35.
因?yàn)锽、O型血可以輸給B型血的人,故“可以輸給B型血的人”為事件B′+D′,根據(jù)互斥事件的加法公式,
有P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能輸給B型血的人,故“不能輸血給B型血的人”為事件A′+C′,
且P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.
所以,任找一人,其血可以輸給小明的概率為0.64,其血不能輸給小明的概率為0.36.
[借題發(fā)揮] 準(zhǔn)確理解互斥事件與對(duì)立事件的定義是正確應(yīng)用公式的前提,如果事件A與事件B互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B),注意應(yīng)用加法公式的前提條件是事件A與事件B互斥;若事件A與事件B是對(duì)立事件,則P(A)=1-P(B).
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
2.據(jù)統(tǒng)計(jì),某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為0,1,2的概率分別為0.4,0.5,0.1.求該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴不超過(guò)1次的概率.
解:法一:設(shè)事件A表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”,事件B表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為1”,
又∵A與B是互斥事件,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.
法二:設(shè)事件A為“一個(gè)月內(nèi)被投訴不超過(guò)1次”,為“一個(gè)月內(nèi)被投訴次數(shù)超過(guò)1次”,A與為對(duì)立事件.
∴P()=0.1,又∵P(A)+P()=1,∴P(A)=1-P()=0.9.
[典例3] 在等腰Rt△ABC中,在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率.
[解] 在AB上截取AC′=AC.
于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)===.
所以AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率為.
[借題發(fā)揮] 若試驗(yàn)同時(shí)具有:①基本事件的無(wú)限性;②每個(gè)事件發(fā)生的等可能性兩個(gè)特征,則此試驗(yàn)為幾何概型.由于其結(jié)果的無(wú)限性,概率就不能應(yīng)用P(A)=求解,故需轉(zhuǎn)化為幾何度量(如長(zhǎng)度、面積、體積等)的比值求解.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
3.一個(gè)路口的紅燈亮的時(shí)間為30秒,黃燈亮的時(shí)間為5秒,綠燈亮的時(shí)間為40秒,當(dāng)你到達(dá)路口時(shí),看見(jiàn)下列三種情況的概率各是多少?
(1)紅燈亮;(2)黃燈亮;(3)不是紅燈亮.
解:在75秒內(nèi),每一時(shí)刻到達(dá)路口亮燈的時(shí)間是等可能的,屬于幾何概型.
(1)P===;
(2)P===;
(3)P====.
(時(shí)間:90分鐘 滿分:120分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列事件:①如果a,b是實(shí)數(shù),那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北風(fēng);③當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí),x2≥0;④一個(gè)電影院某天的上座率超過(guò)50%,其中是隨機(jī)事件的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
解析:選B 由題意可知①③是必然事件,②④是隨機(jī)事件.
2.下列敘述隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系中,說(shuō)法正確的是( )
A.頻率就是概率
B.頻率是客觀存在的,與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)
C.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多,頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率
D.概率是隨機(jī)的,在試驗(yàn)前不能確定
解析:選C 由頻率與概率關(guān)系知C正確.
3.從含有3個(gè)元素的集合中任取一個(gè)子集,所取的子集是含有兩個(gè)元素的集合的概率是( )
A. B. C. D.
解析:選D 所有子集共8個(gè);其中含有2個(gè)元素的為{a,b},{a,c},{b,c}.
4.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè),其質(zhì)量小于4.8 g的概率為0.3,質(zhì)量小于4.85 g的概率為0.32,那么質(zhì)量在[4.8,4.85)(g)范圍內(nèi)的概率是( )
A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68
解析:選C 其中質(zhì)量小于4.85 g包括質(zhì)量小于4.8 g和質(zhì)量在[4.8,4.85)范圍內(nèi)兩種情況,所以所求概率為0.32-0.3=0.02.
5.若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,則點(diǎn)P(m,n)在直線x+y=4上的概率是( )
A. B. C. D.
解析:選D 由題意知(m,n)的取值情況有(1,1),(1,2),…,(1,6);(2,1),(2,2),…,(2,6);…;(6,1),(6,2),…,(6,6).共36種情況.而滿足點(diǎn)P(m,n)在直線x+y=4上的取值情況有(1,3),(2,2),(3,1),共3種情況,故所求概率為=.
6.(北京高考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是( )
A. B. C. D.
解析:選D 畫(huà)草圖易知區(qū)域D是邊長(zhǎng)為2的正方形,到原點(diǎn)的距離大于2的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓的外部,所以所求事件的概率為
P==.
7.從集合A={-1,1,2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為k,從集合B={-2,1,2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b,則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)第三象限的概率為( )
A. B. C. D.
解析:選A 直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)第三象限,即k<0,b>0,總的基本事件個(gè)數(shù)是33=9;k<0,b>0包含的基本事件有(-1,1),(-1,2),共2個(gè),所以直線不經(jīng)過(guò)第三象限的概率是P=.
8.ABCD為長(zhǎng)方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點(diǎn),在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為( )
A. B.1- C. D.1-
解析:選B 長(zhǎng)方形面積為2,以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的部分(半圓)面積為,因此取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為2=,取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為1-.
9.下列概率模型:
①?gòu)膮^(qū)間[-10,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù),求取到1的概率;
②從區(qū)間[-10,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù),求取到絕對(duì)值不大于1的數(shù)的概率;
③從區(qū)間[-10,10]內(nèi)任取一個(gè)整數(shù),求取到大于1且小于5的數(shù)的概率;
④向一個(gè)邊長(zhǎng)為4 cm的正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)P,求點(diǎn)P離正方形的中心不超過(guò)1 cm的概率.
其中是幾何概型的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:選C ①是,因?yàn)閰^(qū)間[-10,10]內(nèi)有無(wú)限多個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)數(shù)軸上無(wú)限多個(gè)點(diǎn),且取到“1”這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的概率為0;
②是,因?yàn)閰^(qū)間[-10,10]和[-1,1]內(nèi)都有無(wú)限多個(gè)數(shù)可取(無(wú)限性),且在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)每個(gè)數(shù)被取到的可能性相同(等可能性);
③不是,因?yàn)閰^(qū)間[-10,10]內(nèi)的整數(shù)只有21個(gè),不滿足無(wú)限性;
④是,因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為4 cm的正方形和半徑為1 cm的圓內(nèi)均有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)(無(wú)限性),且這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的任何一個(gè)點(diǎn)都有可能被投到(等可能性).
10.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個(gè)數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲,則他們“心有靈犀”的概率為( )
A. B. C. D.
解析:選D 首先要弄清楚“心有靈犀”的實(shí)質(zhì)是|a-b|≤1,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},則滿足要求的事件可能的結(jié)果有:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16種,而依題意得基本事件的總數(shù)有36種.因此他們“心有靈犀”的概率為P==.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,滿分20分.把答案填寫(xiě)在題中的橫線上)
11.如圖,EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,則P(A)=________.
解析:圓的半徑是1,則正方形的邊長(zhǎng)是,故正方形EFGH的面積為()2=2.又圓的面積為π,則由幾何概型的概率公式,得P(A)=.
答案:
12.在區(qū)間[0,4]上任取一實(shí)數(shù)a,使方程x2+2x+a=0有實(shí)根的概率是________.
解析:當(dāng)4-4a≥0即a≤1時(shí)方程有實(shí)根,故所求的概率為P=.
答案:
13.(福建高考)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a,則事件“3a-1>0”發(fā)生的概率為_(kāi)_______.
解析:因?yàn)?≤a≤1,由3a-1>0得<a≤1,由幾何概率公式得,事件“3a-1>0”發(fā)生的概率為=.
答案:
14.某射擊選手射擊一次,擊中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.3,0.4,0.1,則該射擊選手射擊一次,擊中大于或等于9環(huán)的概率是________,擊中小于8環(huán)的概率是________.
解析:設(shè)“擊中10環(huán)”“擊中9環(huán)”“擊中8環(huán)”分別為事件A,B,C,則P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(C)=0.1,
∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8,
∴P=1-0.8=0.2.
答案:0.7 0.2
三、解答題(本大題共4小題,滿分50分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
15.(12分)對(duì)某班一次測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如下表所示:
分?jǐn)?shù)段
100~91
90~81
80~71
70~61
60~51
50~41
概率
0.15
0.25
0.36
0.17
0.04
0.02
(1)求該班成績(jī)?cè)赱81,100]內(nèi)的概率;
(2)求該班成績(jī)?cè)赱61,100]內(nèi)的概率.
解:記該班的測(cè)試成績(jī)?cè)赱100~91),[90~81),[80~71),[70~61)內(nèi)依次為事件A,B,C,D,由題意知事件A,B,C,D是彼此互斥的.
(1)該班成績(jī)?cè)赱81,100]內(nèi)的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.15+0.25=0.4.
(2)該班成績(jī)?cè)赱61,100]內(nèi)的概率是P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.15+0.25+0.36+0.17=0.93.
16.(12分)設(shè)有一個(gè)等邊三角形網(wǎng)格,其中每個(gè)最小等邊三角形的邊長(zhǎng)都是4 cm,現(xiàn)用直徑等于2 cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上,求硬幣落下后與格線沒(méi)有公共點(diǎn)的概率.
解:記A={硬幣落下后與格線沒(méi)有公共點(diǎn)},
在每個(gè)最小等邊三角形內(nèi)再作小等邊三角形使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1,則新作小等邊三角形的邊長(zhǎng)為2.
∴P(A)==.
17.(12分)為迎接2017全運(yùn)會(huì),某班開(kāi)展了一次“體育知識(shí)競(jìng)賽”,競(jìng)賽分初賽和決賽兩個(gè)階段進(jìn)行,在初賽后,把成績(jī)(滿分為100分,分?jǐn)?shù)均為整數(shù))進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制成如下的頻率分布表:
序號(hào)
分組(分?jǐn)?shù)段)
頻數(shù)(人數(shù))
頻率
1
[0,60)
a
0.1
2
[60,75)
15
0.3
3
[75,90)
25
b
4
[90,100]
c
d
合計(jì)
50
1
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若得分在[90,100]之間的有機(jī)會(huì)進(jìn)入決賽,已知其中男女比例為2∶3,如果一等獎(jiǎng)只有兩名,求獲得一等獎(jiǎng)的全部為女生的概率.
解:(1)a=500.1=5,b==0.5,c=50-5-15-25=5,d=1-0.1-0.3-0.5=0.1.
(2)把得分在[90,100]之間的五名學(xué)生分別記為男1,男2,女1,女2,女3.
事件“一等獎(jiǎng)只有兩名”包含的所有事件為(男1,男2),(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男2,女1),(男2,女2),(男2,女3),(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3),共10個(gè)基本事件;事件“獲得一等獎(jiǎng)的全部為女生”包含(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3),共3個(gè)基本事件.
所以,獲得一等獎(jiǎng)的全部為女生的概率為P=.
18.(14分)有編號(hào)為A1,A2,…,A10的10個(gè)零件,測(cè)量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù):
編號(hào)
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直徑
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品.
(1)從上述10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取一個(gè),求這個(gè)零件為一等品的概率;
(2)從一等品零件中,隨機(jī)抽取2個(gè).
①用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果;
②求這2個(gè)零件直徑相等的概率.
解:(1)由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個(gè),設(shè)“從10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件A,則P(A)==.
(2)①設(shè)一等品零件的編號(hào)為A1,A2,A3,A4,A5,A6.從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè),所有可能的結(jié)果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15種.
②“從一等品零件中,隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有6種.所以P(B)==.
模塊綜合檢測(cè)
(時(shí)間:90分鐘 滿分:120分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.一個(gè)年級(jí)共有12個(gè)班,每個(gè)班學(xué)生的學(xué)號(hào)都從1到50,為了交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),要求每班學(xué)號(hào)為14的同學(xué)留下,這里運(yùn)用的是( )
A.分層抽樣法 B.抽簽法 C.隨機(jī)數(shù)表法 D.系統(tǒng)抽樣法
答案:D
2.一個(gè)容量為20的樣本,已知某組的頻率為0.25,則該組的頻數(shù)為( )
A.5 B.15 C.2 D.80
解析:選A 由頻數(shù)、頻率的概念,設(shè)該組的頻數(shù)為n,則n=200.25=5.
3. 如圖所示,隨機(jī)地在圖中撒一把豆子,則豆子落到陰影部分的概率是( )
A. B. C. D.
解析:選C 此題是幾何概型問(wèn)題,P==.
4.已知x,y的取值如下表所示,
x
2
3
4
y
5
4
6
如果y與x呈線性相關(guān),且線性回歸方程為y=bx+,則b等于( )
A.- B. C.- D.
解析:選B 由表格數(shù)據(jù)知=3,=5,又線性回歸方程過(guò)(,),即過(guò)點(diǎn)(3,5),
∴5=3b+.
∴b=.
5.某縣有30個(gè)鄉(xiāng),其中山區(qū)有6個(gè),丘陵地區(qū)有12個(gè),平原地區(qū)有12個(gè),要從中抽取5個(gè)鄉(xiāng)進(jìn)行調(diào)查,則應(yīng)在丘陵地區(qū)、平原地區(qū)和山區(qū)各抽取的鄉(xiāng)的個(gè)數(shù)分別是( )
A.2,2,1 B.1,2,2 C.1,1,3 D.3,1,1
解析:選A 由分層抽樣的定義知,抽樣比為=,則丘陵地區(qū),平原地區(qū)和山區(qū)抽取的個(gè)數(shù)分別為:2,2,1.
6.某產(chǎn)品共有三個(gè)等級(jí),分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測(cè),設(shè)“抽到一等品”的概率為0.65,“抽到二等品”的概率為0.3,則“抽到不合格品”的概率為( )
A.0.95 B.0.7 C.0.35 D.0.05
解析:選D “抽到一等品”與“抽到二等品”是互斥事件,所以“抽到一等品或二等品”的概率為0.65+0.3=0.95,“抽到不合格品”與“抽到一等品或二等品”是對(duì)立事件,故其概率為1-0.95=0.05.
7.閱讀下列程序:
輸入x
If x<0 Then
y=2*x+3
Else
If x>0 Then
y=-2*x+5
Else
y=0
End If
End If
輸出y.
如果輸入x=-2,則輸出結(jié)果為( )
A.0 B.-1 C.-2 D.9
解析:選B 輸入x=-2,則-2<0成立,則y=2(-2)+3=-1,則輸出-1.
8.為了解電視對(duì)生活的影響,一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就平均每天看電視的時(shí)間調(diào)查了某地
10 000 位居民,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖(如圖),為了分析該地居民平均每天看電視的時(shí)間與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系,要從這10 000位居民中再用分層抽樣抽出100位居民做進(jìn)一步調(diào)查,則在[2.5,3)(小時(shí))時(shí)間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是( )
A.25 B.30 C.50 D.75
解析:選A 抽出的100位居民中平均每天看電視的時(shí)間在[2.5,3)(小時(shí))時(shí)間內(nèi)的頻率為0.50.5=0.25,所以這10 000位居民中平均每天看電視的時(shí)間在[2.5,3)(小時(shí))時(shí)間內(nèi)的人數(shù)是10 0000.25=2 500,抽樣比是=,則在[2.5,3)(小時(shí))時(shí)間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是2 500=25.
9.(天津高考)閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序, 則輸出n的值為( )
A.7 B.6 C.5 D.4
解析:選D 第1次,S=-1,不滿足判斷框內(nèi)的條件;第2次,n=2,S=1,不滿足判斷框內(nèi)的條件;第3次,n=3,S=-2,不滿足判斷框內(nèi)的條件;第4次,n=4,S=2,滿足判斷框內(nèi)的條件,結(jié)束循環(huán),所以輸出的n=4.
10.有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為( )
A. B. C. D.
解析:選A 記三個(gè)興趣小組分別為1、2、3,甲參加1組記為“甲1”,則基本事件為“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9個(gè).
記事件A為“甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組”,其中事件A有“甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3”,共3個(gè).因此P(A)==.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填寫(xiě)在題中的橫線上)
11.某5人上班途中所花的時(shí)間(單位:分鐘)分別為x,y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,則x2+y2的值為_(kāi)_______.
解析:
整理,得
所以x2+y2=208.
答案:208
12. (安徽高考)如圖所示,算法框圖的輸出結(jié)果是________.
解析:第一次進(jìn)入循環(huán)體有T=0+0,第二次有T=0+1,第三次有T=0+1+2,……第n次有T=0+1+2+…+n-1,令T=>105,解得n>15(n<-14舍去),故n=16,k=15.
答案:15
13. 若執(zhí)行如圖所示的框圖,輸入x1=1,x2=2,x3=3,=2,則輸出的數(shù)等于______.
解析:算法的功能是求解三個(gè)數(shù)的方差,輸出的是S==.
答案:
14.(浙江高考)從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中,隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)間的距離為的概率是________.
解析:設(shè)此正方形為ABCD,中心為O,則任取兩個(gè)點(diǎn)的取法有AB,AC,AD,BC,BD,CD,AO,BO,CO,DO,共10種;取出的兩點(diǎn)間的距離為的取法有OA,OB,OC,OD,共4種,故所求概率為=.
答案:
三、解答題(本大題共4小題,共50分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
15.(12分)在2013遼寧全運(yùn)會(huì)上兩名射擊運(yùn)動(dòng)員甲、乙在比賽中打出如下成績(jī):
甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8;
乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1;
(1)用莖葉圖表示甲、乙兩個(gè)人的成績(jī);并根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩人成績(jī);
(2)分別計(jì)算兩個(gè)樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s,并根據(jù)計(jì)算結(jié)果估計(jì)哪位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比較穩(wěn)定.
解:(1)如圖所示,莖表示成績(jī)的整數(shù)環(huán)數(shù),葉表示小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字.
由圖知,甲的中位數(shù)是9.05,乙的中位數(shù)是9.15,乙的成績(jī)大致對(duì)稱,可以看出乙發(fā)揮穩(wěn)定性好,甲波動(dòng)性大.
(2)甲=(9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8)=9.11,
s甲==1.3,
乙=(9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1)=9.14,
s乙==0.9,
由s甲>s乙,這說(shuō)明了甲運(yùn)動(dòng)員的波動(dòng)大于乙運(yùn)動(dòng)員的波動(dòng),所以我們估計(jì)乙運(yùn)動(dòng)員比較穩(wěn)定.
16.(12分)以下是某地搜集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格y和房屋面積x的數(shù)據(jù):
房屋面積x(m2)
115
110
80
135
105
銷(xiāo)售價(jià)格y(萬(wàn)元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖;
(2)求線性回歸方程,并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為150 m2時(shí)的銷(xiāo)售價(jià)格.
解:(1)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如下圖所示:
(2)==109,(xi-)2=1 570,
==23.2,(xi-)(yi-)=308.
設(shè)所求回歸直線方程為y=bx+a,則
b==≈0.196 2,
a=-b≈23.2-1090.1 962=1.814 2.
故回歸直線方程為y=0.196 2x+1.814 2,回歸直線在(1)中的散點(diǎn)圖中.
(3)據(jù)(2)知當(dāng)x=150 m2時(shí),銷(xiāo)售價(jià)格估計(jì)為:
y=0.196 2150+1.814 2=31.244 2≈31.2(萬(wàn)元).
17.(12分)下表為某班英語(yǔ)及數(shù)學(xué)的成績(jī)分布,全班共有學(xué)生50人,成績(jī)分為1~5五個(gè)檔次,例如表中所示英語(yǔ)成績(jī)?yōu)?分,數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?分的學(xué)生共5人,設(shè)x、y分別表示英語(yǔ)成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī).
y
x
數(shù)學(xué)
5
4
3
2
1
英
語(yǔ)
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
(1)x=4的概率是多少?x=4且y=3的概率是多少?x≥3的概率是多少?
(2)x=2的概率是多少?a+b的值是多少?
解:(1)P(x=4)==;
P(x=4,y=3)=;
P(x≥3)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)=;
(2)P(x=2)=1-P(x=1)-P(x≥3)=1--=,又P(x=2)==,所以a+b=3.
18.(14分)一汽車(chē)廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車(chē),每類轎車(chē)均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):
轎車(chē)A
轎車(chē)B
轎車(chē)C
舒適型
100
150
z
標(biāo)準(zhǔn)型
300
450
600
按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車(chē)中抽取50輛,其中有A類轎車(chē)10輛.
(1)求z的值;
(2)用分層抽樣的方法在C類轎車(chē)中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車(chē)的概率;
(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車(chē)中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把這8輛轎車(chē)的得分看成一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.
解:(1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車(chē)n輛,
由題意得=,所以n=2 000,
則z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.
(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車(chē),
由題意得=,則a=2.
因此抽取的容量為5的樣本中,有2輛舒適型轎車(chē),3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車(chē).
用A1,A2表示2輛舒適型轎車(chē),用B1,B2,B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車(chē),用E表示事件“在該樣本中任取2輛,其中至少有1輛舒適型轎車(chē)”,
則基本事件空間包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10個(gè),
事件E包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7個(gè),
故P(E)=,即所求概率為.
(3)樣本平均數(shù)=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.
設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個(gè)數(shù),該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5”,則基本事件空間中有8個(gè)基本事件,事件D包含的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6個(gè),
所以P(D)==,即所求概率為.