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1、 精品資料 第 2 講 命題及其關(guān)系、充要條件 一、填空題 1在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,直線 x(m1)y2m 與直線 mx2y8 互相垂直的充要條件是 m_. 解析 x(m1)y2m 與 mx2y8 垂直1 m(m1) 20m23. 答案 23 2對于定義在 R 上的函數(shù) f(x),給出三個命題: 若 f(2)f(2),則 f(x)為偶函數(shù);若 f(2)f(2),則 f(x)不是偶函數(shù);若 f(2)f(2),則 f(x)一定不是奇函數(shù)其中正確命題的序號為_ 解析 設(shè) f(x)x(x24),則 f(2)f(2),但 f(x)是奇函數(shù);正確;設(shè)f(x)0(xR),則 f(2)f(2)0,f(
2、x)是奇函數(shù)所以正確 答案 3下列命題是假命題的是_(填序號) 命題“若 x1,則 x23x20”的逆否命題是“若 x23x20,則 x1”; 若 0 x2,且 xsin x1,則 xsin2x2”是“3x110”的充分不必要條件 解析 正確;由 0 x2,得 0sin x1,又 xsin x1,則 xsin2xsin x1,正確;射影可能是點,不正確;由3x110,得 x1 或 x2,所以正確 答案 4 “a3”是“直線 ax3y0 與直線 2x2y3 平行”的_條件 解析 本題考查了充分、必要條件的判斷及兩直線平行的充要條件解決本題的關(guān)鍵是牢記兩直線平行的充要條件直線 ax3y0 與直線
3、2x2y3平行的充要條件是a23203,解得 a3. 答案 充要條件 5有下面四個判斷: 命題“設(shè) a、bR,若 ab6,則 a3 或 b3”是一個假命題; 若“p 或 q”為真命題,則 p、q 均為真命題; 命題“a、 bR, a2b22(ab1)”的否定是“a、 bR, a2b22(ab1)”; 若函數(shù) f(x)lna2x1的圖象關(guān)于原點對稱,則 a3. 其中正確的有_個 解析 對于:此命題的逆否命題為“設(shè) a、bR,若 a3 且 b3,則 ab6”,此命題為真命題,所以原命題也是真命題,錯誤;“p 或 q”為真,則 p、q 至少有一個為真命題,錯誤;“a、bR,a2b22(ab1)”的否
4、定是“a、bR,a2b22(ab1)”,錯誤;對于:若 f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,則 f(x)為奇函數(shù),則 f(0)ln(a2)0,解得 a1,錯誤 答案 0 6給出下列命題: p:函數(shù) f(x)sin4xcos4x 的最小正周期是 ; q:xR,使得 log2(x1)0; r:已知向量 a(,1),b(1,2),c(1,1),則(ab)c 的充要條件是 1. 其中所有的真命題是_ 解析 本題考查簡易邏輯中的相關(guān)知識對于 p:f(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x) (sin2xcos2x)cos 2x, 最小正周期 T, 故 p 為真命題; 對于 q:因為 log2(x1)的范
5、圍是 R, 所以xR, 使得 log2(x1)0 和 a2x2b2xc20 的解集分別為 P、 Q, 則a1a2b1b2c1c2是 PQ 的充分必要條件 其中正確的命題是_ 解析 ABC 中,由 a2b2c2abacbc,得(ab)2(ac)2(bc)20,則 abc;若ABC 是等邊三角形,則 abc,故 abacbca2b2c2,故正確SnAn2Bn 是數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件,故錯顯然正確對于,由于兩不等式的系數(shù)不確定,由a1a2b1b2c1c2不能推出 PQ;反之 PQ 時,若 PQ,則不一定有a1a2b1b2c1c2,故a1a2b1b2c1c2是 PQ 的既不充分也不必要條件 答
6、案 8關(guān)于 x 的方程 x2(2a1)xa220 至少有一個非負(fù)實根的充要條件的 a的取值范圍是_ 解析 設(shè)方程的兩根分別為 x1,x2,當(dāng)有一個非負(fù)實根時,x1x2a220,即 2a 2; 當(dāng)有兩個非負(fù)實根時,(2a1)24(a22)0,x1x22a10,x1x2a2204a9,a12,a 2或a 2. 即 2a94.綜上,得 2a94. 答案 2,94 9若三條拋物線 yx24ax4a3,yx2(a1)xa2,yx22ax2a 中至少有一條與 x 軸有公共點,則 a 的取值范圍是_ 解析 假設(shè)這三條拋物線與 x 軸均無公共點,則 1(4a)24(4a3)0,2(a1)24a20,34a24
7、(2a)0,解得32a1. 記 A32,1 ,則所求 a 的范圍是 RA,321,) 答案 ,321,) 10使得關(guān)于 x 的方程 ax22x10 至少有一個負(fù)實根的充要條件的 a 的取值范圍是_ 解析 當(dāng) a0 時,原方程變形為一元一次方程 2x10,有一個負(fù)實根,當(dāng)a0時, 原方程為一元二次方程, 有實根的充要條件是44a0, 即a1, 設(shè)兩根分別為 x1,x2,則 x1x22a,x1x21a, 當(dāng)有一負(fù)實根時,a1,1a0a0, 有兩個負(fù)實根時,a1,2a0,0a1.1a0綜上所述,a1. 答案 (,1 二、解答題 11(1)是否存在實數(shù) p,使“4xp0”的充分條件?如果存在,求出 p
8、 的取值范圍; (2)是否存在實數(shù) p,使“4xp0”的必要條件?如果存在,求出 p 的取值范圍 解:(1)當(dāng) x2 或 x0, 由 4xp0 得 xp4,故p41 時, “xp4”“x0” p4 時,“4xp0”的充分條件 (2)若“4xp0”的必要條件,則 x2x20 的解集是 4xp0 的解集的子集, 由題知不存在 故不存在實數(shù) p, 使“4xp0”的必要條件 12已知函數(shù) f(x)是(,)上的增函數(shù),a,bR.若 ab0,則 f(a)f(b)f(a)f(b) 問:這個命題的逆命題是否成立,并給出證明 解 逆命題為“已知函數(shù) f(x)是(,)上的增函數(shù),a,bR,若 f(a)f(b)f(
9、a)f(b),則 ab0” 該命題是真命題,證明如下: 法一 (利用原命題的逆命題與否命題等價證明): 若 ab0,則 ab,ba, 因為 f(x)是(,)上的增函數(shù), 所以 f(a)f(b),f(b)f(a), 因此 f(a)f(b)f(a)f(b), 因為原命題的逆命題與它的否命題等價,所以該命題正確 法二 (用反證法給出證明): 假設(shè) ab0,則 ab,ba, 因為 f(x)在(,)上的增函數(shù), 所以 f(a)f(b),f(b)f(a), 因此 f(a)f(b)f(a)f(b), 這與f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾,該命題正確 13已知 p:|x3|2,q:(xm1)(xm1)0,
10、若綈 p 是綈 q 的充分而不必要條件,求實數(shù) m 的取值范圍 解 由題意 p:2x32,1x5. 綈 p:x5. q:m1xm1,綈 q:xm1. 又綈 p 是綈 q 的充分而不必要條件, m11,m15.2m4. 14已知全集 UR,非空集合 Ax x2x3a10 ,Bx xa22xa0 . (1)當(dāng) a12時,求(UB)A; (2)命題 p:xA,命題 q:xB,若 q 是 p 的必要條件,求實數(shù) a 的取值范圍 解 (1)當(dāng) a12時, A x x2x520 x 2x52, B x x94x120 x 12x94, UBx x12或x94. (UB)Ax 94xa,Bx|ax2,即 a13時,Ax|2x3a1 p 是 q 的充分條件,AB. a23a1a22,即13a3 52. 當(dāng) 3a12,即 a13時,A,不符合題意; 當(dāng) 3a12,即 a13時,Ax|3a1x2, 由 AB 得 a3a1a222,12a13. 綜上所述:a12,1313,3 52