高考文科數(shù)學(xué) 題型秘籍【30】等比數(shù)列解析版

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1、 專(zhuān)題三十 等比數(shù)列 【高頻考點(diǎn)解讀】 1.理解等比數(shù)列的概念．　 2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．　 3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．　 4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 【熱點(diǎn)題型】 題型一 等比數(shù)列的相關(guān)概念 例1、已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7　　　　B．5　　　　C．－5　　　　D．－7 【提分秘籍】 1．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即判斷{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0. 2．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn (1)等比數(shù)

2、列的前n項(xiàng)和Sn是用錯(cuò)位相減法求得的，注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用． (2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1及前n項(xiàng)和公式Sn＝＝(q≠1)共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用． (3)在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，如果不確定q與1的關(guān)系，一般要用分類(lèi)討論的思想，分公比q＝1和q≠1兩種情況． 3．等比數(shù)列{an}，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn可表示為Sn＝kqn＋b，(k≠0，且k＋b＝0)． 【舉一反三】 已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.

3、【熱點(diǎn)題型】 題型二 等比數(shù)列的判定 例2、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． (1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列； (2)設(shè)cn＝，求證：{cn}是等比數(shù)列． 【提分秘籍】 等比數(shù)列的判定方法主要有下列幾種 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù))或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2)，則{an}是等比數(shù)列； (2)中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝cqn－1(c，q均為不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}

4、是等比數(shù)列； (4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kqn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列． 注：①前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定． ②若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比即可． 【熱點(diǎn)題型】 題型三 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 例3、　(1)(高考江西卷)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于(　　) A．－24　　　　 B．0　　　　 C．12　　　　 D．24 (2)(高考全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5

5、＝9，則a1＝(　　) A. B．－ C. D．－ 【提分秘籍】 1．等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解． 2．解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過(guò)程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程． 【舉一反三】 在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a4＝－4，則公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________. 【熱點(diǎn)題型】 題型四 等比數(shù)列的性質(zhì) 例4、(高考江蘇卷)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5

6、＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______． 【提分秘籍】 在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用． 【舉一反三】 設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝(　　) A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 【熱點(diǎn)題型】 題型五 分類(lèi)討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用 例5、已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝a(a≠0)，an＋2＝p(其中p為非零常數(shù)，n∈N*

7、)． (1)判斷數(shù)列是不是等比數(shù)列； (2)求an； (3)當(dāng)a＝1時(shí)，令bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Sn. 【提分秘籍】 分類(lèi)討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多，常見(jiàn)的分類(lèi)討論有： (1)已知Sn與an的關(guān)系，要分n＝1，n≥2兩種情況． (2)等比數(shù)列中遇到求和問(wèn)題要分公比q＝1，q≠1討論． (3)項(xiàng)數(shù)的奇、偶數(shù)討論． (4)等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1，q的取值的討論． 【舉一反三】 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n＝1,2,3，…)．則q的取值范圍為_(kāi)_______． 【高考風(fēng)向標(biāo)】 1．（20xx安徽卷）如圖13

8、，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1；過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2；過(guò)點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3；….依此類(lèi)推，設(shè)BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________． 圖13 2．（20xx福建卷）在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)設(shè)bn＝log3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 3．（20xx廣東卷）等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________． 4．（2

9、0xx湖北卷）已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由． 5．（20xx江蘇卷）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________． 6．（20xx江西卷）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列． 7．（20xx江西卷）已知

10、函數(shù)f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0. (1)當(dāng)a＝－4時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若f(x)在區(qū)間[1，4]上的最小值為8，求a的值． 8．（20xx全國(guó)卷）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝(　　) A．31 B．32 C．63 D．64 9．（20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　) A．n(n＋1) B．n(n－1) C. D. 10．（20xx山東卷）在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1與a4的等

11、比中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝a，記Tm＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn. 11．（20xx陜西卷）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c. (1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比數(shù)列，且c＝2a，求cos B的值． 12．（20xx天津卷）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}． (1)當(dāng)q＝2，n＝3時(shí)，用列舉法表示集合A.

12、(2)設(shè)s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.證明：若an＜bn，則s＜t. 13．（20xx重慶卷）已知{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和． (1)求an及Sn； (2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn. 14．M2，D2，D3，D5（20xx北京卷）給定數(shù)列a1，a2，…，an，對(duì)i＝1，2，…，n－1，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后n－i項(xiàng)ai＋1，ai＋2，…，an的最小

13、值記為Bi，di＝Ai－Bi. (1)設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫(xiě)出d1，d2，d3的值； (2)設(shè)a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a1>0.證明：d1，d2，…，dn－1是等比數(shù)列； (3)設(shè)d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1>0，證明：a1，a2，…，an－1是等差數(shù)列． 15．（20xx北京卷）若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項(xiàng)和Sn＝________． 16．（20xx全國(guó)卷）已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y

14、＝2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為. (1)求a，b； (2)設(shè)過(guò)F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|＝|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列． 所以|AF2|， |AB|，|BF2|成等比數(shù)列． 17．（20xx全國(guó)卷）已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和等于(　　) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 18．（20xx福建卷）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項(xiàng)和為Sn. (1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1； (2)

15、若S5>a1a9，求a1的取值范圍． 19．（20xx廣東卷）設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________． 20．（20xx江蘇卷）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3. 則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______． 21．（20xx江西卷）某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹(shù)不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________． 【答案】6　【解析】 Sn＝＝2n＋1－2≥100，得n≥6. 22．（20xx遼寧卷）已知

16、等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝________. 23．（20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 24．（20xx四川卷）在等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和． 25．（20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則(　　) A．Sn＝2an－1

17、 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an . 26．（20xx重慶卷）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋. (1)求{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn； (2)已知{bn}是等差數(shù)列，Tn為其前n項(xiàng)和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20. 【隨堂鞏固】 1．若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比為(　　) A．2　　　　B．4　　　　C．8　　　　D．16 2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S1＝a2－，S2＝a3－，則公比q＝(　　) A．1 B．4 C．4或0 D

18、．8 3．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝(　　) A．11 B．12 C．14 D．16 4．已知{an}為等比數(shù)列，若a4＋a6＝10，則a1a7＋2a3a7＋a3a9＝(　　) A．10 B．20 C．60 D．100 5．已知q是等比數(shù)列{an}的公比，則“q<1”是“數(shù)列{an}是遞減數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件 6．已知一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個(gè)伙伴；第2天，5只

19、蜜蜂飛出去，各自找回了4個(gè)伙伴，……按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有蜜蜂(　　) A．420只 B．520只 C.只 D.只 7．若a，b，c成等比數(shù)列，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．不能確定 8．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，若q2＝9，則的值為(　　) A. B． C．3 D．3 9．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為(　　) A.

20、 B. C．1 D．－ 10．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若公比為，且滿足a3a11＝16，則log2a16＝________. 11．已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，則等比數(shù)列{an}的公比q＝________. 12．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若{an}前n項(xiàng)和Sn＝127，則n的值為_(kāi)_______． 13．已知數(shù)列{an}滿足點(diǎn)(an， an＋1)在直線y＝2x＋1上，且a1＝1. (1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a3； (2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式． 15．?dāng)?shù)列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)． (1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列； (2)求通項(xiàng)an； (3)當(dāng)k＝－1時(shí)，求和a＋a＋…＋a.