高考文科數(shù)學(xué) 題型秘籍【36】基本不等式原卷版

【高頻考點解讀】 1.了解基本不等式的證明過程．　 2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 【熱點題型】 題型一 基本不等式 例1、函數(shù)f(x)＝x＋(x>1)的最小值為(　　) A．11　　　　　　 B．5 C．6 D．7 【舉一反三】 已知正數(shù)x，y滿足＋＝1，則x＋2y的最小值為________． 【熱點題型】 題型二 利用基本不等式求最值 例2、若不等式m≤＋在x∈(0,1)時恒成立，則實數(shù)m的最大值為(　　) A．9　　　　B.　　　　C．5　　　　D. 【提分秘籍】 1.利用基本不等式求最值時要注意： (1)基本不等式中涉及的各數(shù)(或式)均為正； (2)和或積為定值； (3)等號能否成立． 即要滿足“一正、二定、三相等”的條件．另外需注意變形公式的靈活運用及通過對原代數(shù)式或解析式的拆分來創(chuàng)造利用公式的條件． 2. 不等式求最值常用的變形方法 (1)變符號；(2)拆項；(3)添項；(4)湊系數(shù)；(5)同除構(gòu)造ax＋型． 【舉一反三】 若點A(1,1)在直線mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為________． 【熱點題型】 題型三 條件最值問題 例3、(高考天津卷)設(shè)a＋b＝2，b>0，則當a＝________時，＋取得最小值． 【提分秘籍】 利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是分析條件如何用，主要有兩種思路 (1)對條件使用基本不等式建立所求目標函數(shù)的不等式求解； (2)條件變形進行“1”的代換求目標函數(shù)最值． 【舉一反三】 已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，則9x＋3y的最小值為(　　) A．2 B．12 C．6 D．3 【熱點題型】 【提分秘籍】 在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，要注意以下四點 (1)設(shè)變量時一般把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定函數(shù)的定義域； (3)在定義域內(nèi)只需再利用基本不等式，求出函數(shù)的最值； (4)回到實際問題中去，寫出實際問題的答案． 【舉一反三】 某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為(　　) A．10 B．11 C．13 D．21 【熱點題型】 題型五 利用基本不等式求解三元函數(shù)的最值策略 例5、 (高考山東卷)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最大值時，＋－的最大值為(　　) A．0　　　　　 B．1 C. D．3 【提分秘籍】利用基本不等式求解三元函數(shù)的最值策略 近幾年三元函數(shù)的最值逐漸成為高考的熱點，主要考查考生的變形推理能力、構(gòu)造能力、化歸能力．求解時要注意以下二種策略的應(yīng)用： 1. 消元化三元為二元后使用基本不等式：由條件，分離一元后代入所求函數(shù)式中，化三元為二元，再分解變形構(gòu)造基本不等式的條件求解，注意等號成立的條件． 2. 變形條件構(gòu)造定值、直接使用基本不等式求最值：觀察分解條件與所求函數(shù)式的結(jié)構(gòu)，變形分解構(gòu)造出積式和為定值后，直接使用基本不等式求最值，注意等號成立的條件． 【舉一反三】 若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，則2a＋b＋c的最小值為________． 【高考風(fēng)向標】 1．（20xx重慶卷） 若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A．6＋2　 B．7＋2　 C．6＋4　 D．7＋4　 2．（20xx湖北卷） 某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝. (1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/小時； (2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時． 3．（20xx江蘇卷） 若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是______． 4．（20xx遼寧卷） 對于c＞0，當非零實數(shù)a，b滿足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大時，＋＋的最小值為________． 5．（20xx山東卷） 在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，直線y＝x被橢圓C截得的線段長為. (1)求橢圓C的方程． (2)過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點(A，B不是橢圓C的頂點)．點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點． 　(i)設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； 　(ii)求△OMN面積的最大值． 6．（20xx福建卷） 若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是 (　　) A．[0，2] B．[－2，0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 7．（20xx陜西卷） 在如圖1－3所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為______(m)． 圖1－3 8．（20xx四川卷） 已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________. 【隨堂鞏固】 1．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，則的最小值為(　　) A.　　　　B．4　　　　C.　　　　D．2 2．設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為(　　) A．2 B. C．4 D．8 3．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則n的最大值為(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 4．若直線ax＋by－1＝0(a，b∈(0，＋∞))平分圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，則＋的最小值為(　　) A．4 B．3＋2 C．2 D．5 5．若正數(shù)x， y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值為(　　) A. B. C．5 D．6 6．若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 7．已知向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，m>0，n>0，若a∥b，則＋的最小值是________． 8．已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為________． 9．某種飲料分兩次提價，提價方案有兩種，方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：每次都提價%，若p>q>0，則提價多的方案是________． 10．已知a>0，b>0，c>0，d>0.求證：＋≥4. 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．