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1、
考點(diǎn)15 數(shù)列求和
1.（20xx天津高考理科Ｔ6）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為( )
（A）或5 （B）或5 （C） （D）
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式．
【思路點(diǎn)撥】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】選C．設(shè)，則，
即，，．
2.（20xx天津高考文科Ｔ１5）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．
記設(shè)為數(shù)列{}的最大項(xiàng)，則= ．
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)．
【思路點(diǎn)撥
2、】化簡(jiǎn)利用基本不等式求最值．
【規(guī)范解答】
∴
∵當(dāng)且僅當(dāng)即，所以當(dāng)n=4，即時(shí)，最大．
【答案】4
3.（20xx安徽高考理科Ｔ20）設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0．
證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何，都有
．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列與充要條件等知識(shí)，考查考生推理論證，運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】證明可分為兩步，先證明必要性，適宜采用列項(xiàng)相消法，再證明充分性，
可采用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法．
【規(guī)范解答】已知數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0，先證
若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
當(dāng)時(shí)，有，
即對(duì)任何，有成立；
當(dāng)時(shí)，顯然也成立．
再證
對(duì)任意，有
3、①，
②，
由②-①得：-
上式兩端同乘，得③，
同理可得④，
由③-④得：，所以為等差數(shù)列．
【方法技巧】
1、在進(jìn)行數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，要善于觀察關(guān)系式特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如分組、裂項(xiàng)等 ，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的類(lèi)型進(jìn)行求和；
2、對(duì)數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡(jiǎn)變形處理；也可以把n取自然數(shù)中的具體的數(shù)1，2，3…等，得到一些等式歸納證明.
4.（20xx山東高考理科Ｔ18）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為．
（1）求及．
（2）令 (nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法
4、求數(shù)列的和,考查了考生的邏輯推理、等價(jià)變形和運(yùn)算求解能力.
【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出求及；(2)由(1)求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇求和的方法.
【規(guī)范解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以?
所以；==.
（2）由（1）知，所以bn===，
所以==，
即數(shù)列的前n項(xiàng)和=.
【方法技巧】數(shù)列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對(duì)公比的討論.
2、錯(cuò)位相減法：主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.
3、分組轉(zhuǎn)
5、化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.
4、裂項(xiàng)相消法：主要用于通項(xiàng)為分式的形式，通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)項(xiàng)相消剩下首尾若干項(xiàng)，注意一般情況下剩下正負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)相同.
5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣).
5.（20xx安徽高考文科Ｔ21）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.
(1)證明：為等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法，考查考
6、生的抽象概括能力以及推理論證能力．
【思路點(diǎn)撥】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，可證明為等比數(shù)列．
（2）利用（1）的結(jié)論求的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，然后采用錯(cuò)位相減法求和.
【規(guī)范解答】
又
，
．
【方法技巧】
1、對(duì)數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡(jiǎn)變形處理；
2、在進(jìn)行數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，要善于觀察關(guān)系式特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚绶纸M、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減等 ，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的類(lèi)型進(jìn)行求和．
6.（20xx江蘇高考Ｔ１9）設(shè)各項(xiàng)
7、均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；
（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和、基本不等式以及不等式的恒成立問(wèn)題等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力．
【思路點(diǎn)撥】（1）先求，然后利用的關(guān)系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解決．
【規(guī)范解答】（1）由題意知：，
，
化簡(jiǎn)，得：
，
當(dāng)時(shí)，，適合的情形．
故所求．
（2）方法一：
， 恒成立．
又，，
故，即的最大值為．
方法二：由及，得，．
于是，對(duì)滿足題設(shè)的，，有
8、
．
所以的最大值
方法三：任取實(shí)數(shù)．設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，
且．
于是，只要，即當(dāng)時(shí)，．
所以滿足條件的，從而
因此的最大值為．
7.（20xx天津高考文科Ｔ22）在數(shù)列中，=0，且對(duì)任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.
（1）證明成等比數(shù)列.
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（3）記，證明.
【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法．
【思路點(diǎn)撥】（1）（2）應(yīng)用定義法證明、求解；（3）對(duì)n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論．
【規(guī)范解答】（1）由題設(shè)可知，，，，，
。從而，所以，，成等比數(shù)列．
（2）由題設(shè)可得
所以 +
.
由，得 ，從而.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?，?
（3）由（2）可知，，
以下分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m
若，則，
若，則
.
所以，從而
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)．
所以，從而
綜合①和②可知，對(duì)任意有
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