新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)：考點(diǎn)15數(shù)列求和含解析

考點(diǎn)15 數(shù)列求和 1.（20xx天津高考理科Ｔ6）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為( ) （A）或5 （B）或5 （C） （D） 【命題立意】考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式． 【思路點(diǎn)撥】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵． 【規(guī)范解答】選C．設(shè)，則， 即，，． 2.（20xx天津高考文科Ｔ１5）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和． 記設(shè)為數(shù)列{}的最大項(xiàng)，則= ． 【命題立意】考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)． 【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)利用基本不等式求最值． 【規(guī)范解答】 ∴ ∵當(dāng)且僅當(dāng)即，所以當(dāng)n=4，即時(shí)，最大． 【答案】4 3.（20xx安徽高考理科Ｔ20）設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0． 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何，都有 ． 【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列與充要條件等知識(shí)，考查考生推理論證，運(yùn)算求解能力． 【思路點(diǎn)撥】證明可分為兩步，先證明必要性，適宜采用列項(xiàng)相消法，再證明充分性， 可采用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法． 【規(guī)范解答】已知數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0，先證 若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為， 當(dāng)時(shí)，有， 即對(duì)任何，有成立； 當(dāng)時(shí)，顯然也成立． 再證 對(duì)任意，有①， ②， 由②-①得：- 上式兩端同乘，得③， 同理可得④， 由③-④得：，所以為等差數(shù)列． 【方法技巧】 1、在進(jìn)行數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，要善于觀察關(guān)系式特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如分組、裂項(xiàng)等 ，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的類型進(jìn)行求和； 2、對(duì)數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡(jiǎn)變形處理；也可以把n取自然數(shù)中的具體的數(shù)1，2，3…等，得到一些等式歸納證明. 4.（20xx山東高考理科Ｔ18）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為． （1）求及． （2）令 (nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,考查了考生的邏輯推理、等價(jià)變形和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出求及；(2)由(1)求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇求和的方法. 【規(guī)范解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，所以? 所以；==. （2）由（1）知，所以bn===， 所以==， 即數(shù)列的前n項(xiàng)和=. 【方法技巧】數(shù)列求和的常用方法： 1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對(duì)公比的討論. 2、錯(cuò)位相減法：主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣. 3、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解. 4、裂項(xiàng)相消法：主要用于通項(xiàng)為分式的形式，通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)項(xiàng)相消剩下首尾若干項(xiàng)，注意一般情況下剩下正負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)相同. 5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣). 5.（20xx安徽高考文科Ｔ21）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列. (1)證明：為等比數(shù)列； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法，考查考生的抽象概括能力以及推理論證能力． 【思路點(diǎn)撥】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，可證明為等比數(shù)列． （2）利用（1）的結(jié)論求的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，然后采用錯(cuò)位相減法求和. 【規(guī)范解答】 又 ， ． 【方法技巧】 1、對(duì)數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡(jiǎn)變形處理； 2、在進(jìn)行數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，要善于觀察關(guān)系式特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚绶纸M、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減等 ，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的類型進(jìn)行求和． 6.（20xx江蘇高考Ｔ１9）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）； （2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為． 【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和、基本不等式以及不等式的恒成立問(wèn)題等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力． 【思路點(diǎn)撥】（1）先求，然后利用的關(guān)系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解決． 【規(guī)范解答】（1）由題意知：， ， 化簡(jiǎn)，得： ， 當(dāng)時(shí)，，適合的情形． 故所求． （2）方法一： ， 恒成立． 又，， 故，即的最大值為． 方法二：由及，得，． 于是，對(duì)滿足題設(shè)的，，有 ． 所以的最大值 方法三：任取實(shí)數(shù)．設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件， 且． 于是，只要，即當(dāng)時(shí)，． 所以滿足條件的，從而 因此的最大值為． 7.（20xx天津高考文科Ｔ22）在數(shù)列中，=0，且對(duì)任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k. （1）證明成等比數(shù)列. （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （3）記，證明. 【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類討論的思想方法． 【思路點(diǎn)撥】（1）（2）應(yīng)用定義法證明、求解；（3）對(duì)n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論． 【規(guī)范解答】（1）由題設(shè)可知，，，，， 。從而，所以，，成等比數(shù)列． （2）由題設(shè)可得 所以 + . 由，得 ，從而. 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?，? （3）由（2）可知，， 以下分兩種情況進(jìn)行討論： ①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m 若，則， 若，則 . 所以，從而 ②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)． 所以，從而 綜合①和②可知，對(duì)任意有