浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題六 第4講 高考中的概率解答題型

考 點(diǎn) 考 情 超幾何分布 1.高考對(duì)本節(jié)的考查，一般借助實(shí)際生活背景進(jìn)行考查，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的概率模型，離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)，均值與方差是高考熱點(diǎn)，如重慶T18,福建T16. 2．試題難度中檔，涉及概率問題時(shí)主要是古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及條件的相互獨(dú)立性，與頻率分布直方圖和莖葉圖等交匯的超幾何分布是近幾年高考熱點(diǎn)，如廣東T17. 事件的相互獨(dú)立性 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 1．(20xx廣東高考)某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)． (1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值； (2)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？ (3)從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率． 解：(1)樣本均值為＝＝22. (2)由(1)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為＝，故推斷該車間12名工人中有12＝4名優(yōu)秀工人． (3)設(shè)事件A：從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優(yōu)秀工人，則P(A)＝＝. 2．(20xx福建高考)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品． (1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？ 解：法一：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響． 記“這兩人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A， 則事件A的對(duì)立事件為“X＝5”， 因?yàn)镻(X＝5)＝＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，　 即這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為. (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)． 由已知可得，X1～B，X2～B， 所以E(X1)＝2＝，E(X2)＝2＝， 從而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝. 因?yàn)镋(2X1)>E(3X2)， 所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大． 法二：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響． 記“這兩人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A， 則事件A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三個(gè)兩兩互斥的事件， 因?yàn)镻(X＝0)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝， 即這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為. (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X1，X2的分布列如下： X1 0 2 4 P 　 X2 0 3 6 P 所以E(X1)＝0＋2＋4＝， E(X2)＝0＋3＋6＝. 因?yàn)镋(X1)>E(X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大． 1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 2．超幾何分布的概率 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件(X＝k)發(fā)生的概率為P(x＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)(m≤M，m≤n，M≤N)． 3．離散型隨機(jī)變量的均值、方差 (1)均值E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn； (2)方差D(X)＝[xi－E(x)]2pi. 4．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 5．均值與方差的性質(zhì) (1)E(ax＋b)＝aE(x)＋b； (2)D(ax＋b)＝a2D(x)． 熱點(diǎn)一 超幾何分布問題 [例1]　(20xx浙江高考)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和． (1)求X的分布列； (2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)． [自主解答]　(1)由題意得X取3,4,5,6，且 P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 所以X的分布列為 X 3 4 5 6 P (2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝. ——————————規(guī)律總結(jié)———————————— 在超幾何分布中，隨機(jī)變量X取每一個(gè)值的概率是用古典概型計(jì)算的，明確每一個(gè)基本事件的性質(zhì)是正確解答此類問題的關(guān)鍵． 1．某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生9月份“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個(gè)小時(shí))的天數(shù)情況，隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示． (1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)； (2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望E(Y)． 解：(1)由圖可知，健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)5＝0.155＝0.75， ∴健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是40(1－0.75)＝400.25＝10. (2)隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0,1,2. P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P ∴E(Y)＝0＋1＋2＝. 熱點(diǎn)二 事件的相互獨(dú)立性 [例2]　(20xx陜西高考)在一場娛樂晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手． (1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率； (2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． [自主解答]　(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”，則P(A)＝＝，P(B)＝＝. ∵事件A與B相互獨(dú)立， ∴觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝＝. (2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”，則P(C)＝＝. ∵X可能的取值為0,1,2,3，則P(X＝0)＝P( )＝＝， P(X＝1)＝P(A )＋P( B )＋P( C)＝＋＋＝， P(X＝2)＝P(AB )＋P(A C)＋P( B C)＝＋＋＝， P(X＝3)＝P(ABC)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1＋2＋3＝＝. ——————————規(guī)律總結(jié)———————————— (1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解． (2)一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解．對(duì)于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解． 2．某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，回答問題正確者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響． (1)求該選手被淘汰的概率； (2)記該選手在考核中回答問題的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望． 解：記“該選手能正確回答第i輪的問題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝. ∴該選手被淘汰的概率P＝1－P(A1A2A3)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－＝. (2)ξ的所有可能取值為1,2,3. 則P(ξ＝1)＝P(1)＝， P(ξ＝2)＝P(A12)＝P(A1)P(2)＝＝， P(ξ＝3)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝＝， ∴ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ∴E(ξ)＝1＋2＋3＝. 熱點(diǎn)三 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 [例3]　(20xx遼寧高考)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答． (1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率； (2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立．用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [自主解答]　(1)設(shè)事件A＝“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，則有＝“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”． 因?yàn)镻()＝＝， 所以P(A)＝1－P()＝. (2)X所有的可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝C02＝； P(X＝1)＝C11＋C02＝； P(X＝2)＝C20＋C11＝； P(X＝3)＝C20＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＝2. ——————————規(guī)律總結(jié)———————————— 1．注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征： (1)在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況； (2)在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同． 2．牢記公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含義． 3．甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)．現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，畫出莖葉圖如下： (1)指出學(xué)生乙成績的中位數(shù)，并說明如何確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)； (2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加，成績比較穩(wěn)定？ (3)若將頻率視為概率，對(duì)學(xué)生甲在今后三次數(shù)學(xué)競賽中的成績進(jìn)行預(yù)測，記這三次成績高于80分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解：(1)依題意得＝84，則學(xué)生乙成績的中位數(shù)是84.它是這組數(shù)據(jù)中最中間位置的一個(gè)數(shù)或最中間位置兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，中位數(shù)可能在所給的數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中． (2)派甲參加比較合適，理由如下： 甲＝(702＋804＋902＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85. 乙＝(701＋804＋903＋5＋3＋5＋2＋5)＝85. s＝35.5，s＝41，∴甲＝乙，且s<s， ∴甲的成績比較穩(wěn)定． (3)記“甲在一次數(shù)學(xué)競賽中成績高于80分”為事件A，則P(A)＝＝. 依題意，得ξ～B. ∴P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P ∴E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 熱點(diǎn)四 均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 [例4]　某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理． (1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． ①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差； ②若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由． [自主解答]　(1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí)，利潤y＝80. 當(dāng)日需求量n＜16時(shí)，利潤y＝10n－80. 所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為 y＝(n∈N)． (2)①X可能的取值為60,70,80，并且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列為 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝600.1＋700.2＋800.7＝76. X的方差為D(X)＝(60－76)20.1＋(70－76)20.2＋(80－76)20.7＝44. ②答案一： 花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝550.1＋650.2＋750.16＋850.54＝76.4. Y的方差為D(Y)＝(55－76.4)20.1＋(65－76.4)20.2＋(75－76.4)20.16＋(85－76.4)20.54＝112.04. 由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)＜D(Y)，即購進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤波動(dòng)相對(duì)較?。硗?，雖然E(X)＜E(Y)，但兩者相差不大．故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花． 答案二： 花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝550.1＋650.2＋750.16＋850.54＝76.4. 由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)<E(Y)，即購進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤大于購進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤．故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花． ——————————規(guī)律總結(jié)———————————— 求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的方法 先根據(jù)隨機(jī)變量的意義，確定隨機(jī)變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機(jī)變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計(jì)算．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則可以直接使用E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解． 4．根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X()對(duì)工期的影響如下表： 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差； (2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率． 解：(1)由已知條件和概率的加法公式有： P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列為 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝00.3＋20.4＋60.2＋100.1＝3， D(Y)＝(0－3)20.3＋(2－3)20.4＋(6－3)20.2＋(10－3)20.1＝9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. (2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7， 又因?yàn)镻(300≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝＝＝. 故在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率是.