2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 2.6對(duì)數(shù)函數(shù)

2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：2.6對(duì)數(shù)函數(shù) 一、對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值的基本思路 （1） 利用換底公式及，盡量地轉(zhuǎn)化為同底的和、差、積、商運(yùn)算； （2） 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，將對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算； （3） 約分、合并同類項(xiàng)，盡量求出具體值。 對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路[ (1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并. (2)將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算. 〖例1〗計(jì)算 （1）；（2）； （3） 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）分子=； 分母=； 原式=。 二、比較大小 2 / 11 1、相關(guān)鏈接 （1）比較同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，可利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,則logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0; ②0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,則logaf(x)>logag(x) 0<f(x)<g(x) （2）比較兩個(gè)同真數(shù)對(duì)數(shù)值的大小，可先確定其底數(shù)，然后再比較。 ①若a>b>1，如圖1. 當(dāng)f(x)>1時(shí)，logbf(x)>logaf(x); 當(dāng)0<f(x)<1時(shí)，logaf(x)> logbf(x). ②若1>a>b>0,如圖2。 當(dāng)f(x)>1時(shí)，logbf(x)> logaf(x); 當(dāng)1>f(x)>0時(shí)，logaf(x)> logbf(x). ③若a>1>b>0。 當(dāng)f(x)>1時(shí)，則logaf(x)> logbf(x); 當(dāng)0<f(x)<時(shí)，則logaf(x)<logbf(x). （3）比較大小常用的方法 ①作差（商）法；②利用函數(shù)的單調(diào)性；③特殊值法（特別是1和0為中間值） 2、例題解析 〖例〗對(duì)于，給出下列四個(gè)不等式： ① ②； ③ ④其中成立的是（ ） （）①與③（）①與④（）②與③（）②與④ 分析：從題設(shè)可知，該題主要考查與兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，故可先考慮函數(shù)的單調(diào)性，再比較大小。 解答：選?！?<a<1,∴a<,1+a<1+,∴,即②④正確。 注：（1）畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 共有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： （2）解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)需注意兩點(diǎn) ①務(wù)必先研究函數(shù)的定義域； ②注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍。 （3）比較對(duì)數(shù)式的大小 ①當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較； ②當(dāng)?shù)讛?shù)不同，真數(shù)相同時(shí)，可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）或利用函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合解決； ③當(dāng)不同底，不同真數(shù)時(shí)，則可利用中間量進(jìn)行比較。 三、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì) 1、相關(guān)鏈接 （1）對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是每年高考必考內(nèi)容之一，其中單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是熱點(diǎn)問題。其單調(diào)性取決于底數(shù)與“1”的大小關(guān)系。 （2）利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”。即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決。 （3）與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解步驟 ①確定定義域； ②弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y=f(u),u=g(x) ③分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； ④若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則y=f(g(x))為增函數(shù)，若一增一減，則y=f(g(x))為減函數(shù)，即“同增異減”。 2、例題解析 〖例1〗已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1) (1)求f(x)的定義域； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 思路解析：(1)本題求f(x)的定義域，但由于在條件中已知函數(shù)的解析式，所以，在求解方法上，可以考慮函數(shù)的真數(shù)大于零，解不等式.(2)本題求f(x)的單調(diào)性，但由于在條件中已知函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，所以在解題方法上，可用復(fù)合函數(shù)求其單調(diào)性. 解析：(1)使f(x)=loga(ax-1)有意義，則ax-1>0，即ax>1， 當(dāng)a>1時(shí)，x>0；當(dāng)0<a<1時(shí)，x<0； ∴當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?{x|x>0}； 當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?{x|x<0}. (2)當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)0<x1<x2，則 ∴ ∴， ∴f(x1)<f(x2)， ∴當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)； 當(dāng)0<a<1時(shí)，設(shè)x1<x2<0，則， ∴ ， ∴∴f(x1)<f(x2)， ∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù)； 綜上可知：函數(shù)f(x)=loga(ax-1)在其定義域上為增函數(shù). 方法提示：利用復(fù)合函數(shù)（只限由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 （1） 找出已知函數(shù)是由哪兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的； （2） 當(dāng)外函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，找出內(nèi)函數(shù)的定義域； （3） 分別求出兩函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （4） 按照“同增異減”確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （5） 研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要在函數(shù)的定義域上進(jìn)行。 〖例2〗設(shè)函數(shù). (1)求的單調(diào)區(qū)間; (2)若當(dāng)時(shí),(其中)不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (3)試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù). 解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)? 1分 由得; 2分 由得, 3分 則增區(qū)間為,減區(qū)間為. 4分 (2)令得,由(1)知在上遞減,在上遞增, 6分 由,且, 8分 時(shí), 的最大值為,故時(shí),不等式恒成立. 9分 (3)方程即.記,則 .由得;由得. 所以g(x)在[0,1]上遞減，在[1，2]上遞增. 而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，當(dāng)a＞1時(shí)，方程無解； 當(dāng)3-2ln3＜a≤1時(shí)，方程有一個(gè)解， 當(dāng)2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3時(shí)，方程有兩個(gè)解； 當(dāng)a=2-2ln2時(shí)，方程有一個(gè)解； 當(dāng)a＜2-2ln2時(shí)，方程無解. 13分 字上所述，a時(shí)，方程無解； 或a=2-2ln2時(shí)，方程有唯一解； 時(shí)，方程有兩個(gè)不等的解. 14分 注：解決對(duì)數(shù)函數(shù)問題，首先要看函數(shù)的定義域，在函數(shù)的定義域內(nèi)再研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷時(shí)可利用定義，也可利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷。對(duì)于恒成立問題注意等價(jià)思想的應(yīng)用。 四、對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 〖例1〗已知函數(shù)f(x)=-x+. (1)求f()+f(-)的值； (2)當(dāng)x∈(-a,a］，其中a∈(0,1），a是常數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 思想解析:(1)本題是求函數(shù)值，而解析式中的兩個(gè)變量互為相反數(shù)，所以，在解題方法上，應(yīng)考慮函數(shù)的奇偶性；(2)本題探求f(x)的最值是否存在，由于已知函數(shù)的解析式，在解題方法上應(yīng)考慮函數(shù)的單調(diào)性. 解答: (1)由f(x)=-x+有意義得：>0， 解得：-1<x<1，即該函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1)， 又∵f(-x)=x+=x-=-f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，即f(-x)+f(x)=0， ∴f(-)+f()=0； (2)任取x1、x2∈(-1,1)且設(shè)x1<x2則 f(x1)-f(x2)=x2-x1+log2-log2＞0， 易知f(x)在(-1,1)上是減函數(shù)， 又x∈(-a,a］，且a∈(0,1）， ∴f(x)min=f(a)=-a+log2. 方法提示:（1）求f(a)+f(-a)的值，常常聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，因此，解此類問題一般先判斷奇偶性，再求值. （2）求形如f(2 012),f(2 011)的值往往與函數(shù)的周期性有關(guān)，求此類函數(shù)值一般先研究函數(shù)的周期性 （3）已知函數(shù)的最值或求函數(shù)的最值，往往探究函數(shù)的單調(diào)性 〖例2〗（12分）已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，分別過、作y，軸的平行線與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)。 （1） 證明點(diǎn)、和原點(diǎn)O在同一直線上； （2） 當(dāng)平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析：（1）證明三點(diǎn)在同一條直線上只需證明； （2）解方程組得，，代入解析式即可求解。 解答：（1）設(shè)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為、，由題設(shè)知>1，>1 則點(diǎn)、的縱坐標(biāo)分別為、。[ 因?yàn)?、在過點(diǎn)O的直線上，所以， 點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為（，）、（，） 由于 O的斜率為=， O的斜率為 由此可知，即O、、在同一直線上。 注：在解答過程中易出現(xiàn)三點(diǎn)共線不會(huì)證或找不到與關(guān)系無法進(jìn)行正確地轉(zhuǎn)化，并且求解坐標(biāo)進(jìn)忽略函數(shù)定義域的情況，導(dǎo)致此種錯(cuò)誤的原因是：沒有正確地理解題意，沒有熟練地掌握三點(diǎn)共線與斜率相等的關(guān)系，或?qū)Α⒌姆秶鷽]有搞清楚。 （2）由于平行于軸，知=， 即得=， 代入，得 由于，知故 考慮，解得， 于是點(diǎn)的坐標(biāo)為（，） 注：本題是典型的在知識(shí)交匯點(diǎn)處的命題，若用傳統(tǒng)方法設(shè)直線方程，解方程組求交點(diǎn)必然思路受阻，而充分利用函數(shù)圖象和性質(zhì)及解析幾何的思想方法會(huì)使問題迎刃而解。 方法提示: 解決對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問題的方法 無論討論函數(shù)的性質(zhì)，還是利用函數(shù)的性質(zhì) (1)要分清函數(shù)的底數(shù)a∈(0,1)，還是a∈(1,+∞)； (2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個(gè)性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行； (3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯(cuò)誤. (4)在處理與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)注意底數(shù)的取值范圍對(duì)解決問題的影響，以及真數(shù)為正的限制條件. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！