專題48 代入驗證法判斷三角函數(shù)的對稱軸和對稱中心(解析版)

專題48 代入驗證法判斷三角函數(shù)的對稱軸和對稱中心 一、單選題 1．己知函數(shù)的最小正周期為π，且圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則下列說法錯誤的有（ ） A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于直線對稱 C．在單調(diào)遞增 D．在單調(diào)遞減 【答案】ABD 【分析】 由周期可求出，再由平移后為偶函數(shù)求出，即得，求出可判斷A；求出可判斷B；令求出單調(diào)遞增區(qū)間可判斷C；由C選項可判斷D. 【詳解】 的最小正周期為π，，， 向右平移個單位后得到為偶函數(shù)， ，即， ，，， 對于A，，故不關(guān)于點對稱，故A錯誤； 對于B，，故B錯誤； 對于C，令，解得， 當時，，故在單調(diào)遞增，故C正確； 對于D，由C選項可知，在單調(diào)遞增，故D錯誤. 故選：ABD. 【點睛】 本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可通過代入驗證的方法判斷對稱軸和對稱中心，利用整體換元可求單調(diào)區(qū)間. 2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ） ①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 ②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 ③函數(shù)在單調(diào)遞減 ④該圖象向右平移個單位可得的圖象 A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】 根據(jù)的圖象及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，解得函數(shù)的解析式，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐一判定即可. 【詳解】 由函數(shù)的圖象可得，周期 所以， 當時函數(shù)取得最大值，即， 所以，則， 又，得 ， 故函數(shù)， 對于①，當時，，正確； 對于②，當時，，正確； 對于③，令得， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以不正確； 對于④，向右平移個單位，，所以不正確； 故選：A. 【點睛】 求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法: （1）代換法:就是將比較復雜的三角函數(shù)處理后的整體當作一個角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）圖象法:函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖象上是從左到右，圖象上升趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，圖象下降趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象易求它的單調(diào)區(qū)間. 3．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則下列判斷正確的是（ ） A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱 C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)圖象關(guān)于點對稱 【答案】B 【分析】 首先利用平移變換規(guī)律得到，再通過整體代入法判斷函數(shù)性質(zhì)，得到選項. 【詳解】 由題易得， A.函數(shù)的周期，故A不正確； B.當時， 取得最小值.故B正確； C.，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，此時， 當時， 時，函數(shù)單調(diào)遞增，故C不正確； D.當時，，所以D不正確. 故選：B 【點睛】 思路點睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對于函數(shù)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點，因此判斷直線或點是否是函數(shù)的對稱軸和對稱中心時，可通過驗證的值進行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也可以求的范圍，驗證次區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間. 4．已知函數(shù)，則（ ） A．的最小正周期為 B．的單調(diào)遞增區(qū)間為 C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱 【答案】B 【分析】 對A，根據(jù)解析式可直接求出最小正周期；對B，令可求出單調(diào)遞增區(qū)間；對C，計算可判斷； 對D，計算可判斷. 【詳解】 對于A，，的最小正周期為，故A錯誤； 對于B，令，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故B正確； 對于C，，的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤； 對于D，，的圖象不關(guān)于點對稱. 故選B. 【點睛】 方法點睛：判斷正弦型函數(shù)對稱軸或?qū)ΨQ中心的方法： （1）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸或?qū)ΨQ中心，令可求得對稱軸，令可求得對稱中心； （2）代入求值判斷，若，則是對稱軸；若，則是對稱中心. 5．已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且直線是其中一條對稱軸，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A．函數(shù)的最小正周期為 B． C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心 【答案】B 【分析】 利用對稱軸之間距離和函數(shù)對稱軸可求得圖像；利用余弦型函數(shù)最小正周期求解可知A正確；根據(jù)解析式求得可知B錯誤；利用代入檢驗法可知C，D正確. 【詳解】 相鄰兩條對稱軸之間的距離為，的最小正周期， 解得：， 是的一條對稱軸，，解得：， 又，，. 對于A，由上述求解可知，A正確； 對于B，，B錯誤； 對于C，當時，，在上單調(diào)遞增，C正確； 對于D，當時，，且，是的一個對稱中心. 故選：B. 【點睛】 方法點睛：對于判斷正弦型或余弦型函數(shù)的對稱軸、對稱中心和單調(diào)性的問題，通常采用代入檢驗法，即判斷整體是否對應正弦函數(shù)或余弦函數(shù)所對應的對稱軸、對稱中心和單調(diào)性. 6．下列函數(shù)中最小正周期是且圖象關(guān)于直線對稱的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 確定函數(shù)的周期，再判斷對稱性．可得結(jié)論． 【詳解】 由三角函數(shù)周期性知，C中函數(shù)最小正周期是，其他三個函數(shù)的最小正周期都是， 把代入A有是最大值，因此是函數(shù)圖象的對稱軸； 代入B中有不是最值，因此不是函數(shù)圖象的對稱軸； 代入D中有，不是最值，是函數(shù)圖象的對稱軸；． 故選：A． 【點睛】 關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的周期性與對稱性．對于三角函數(shù)，可以結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸和對稱中心，如利用求得對稱軸，利用求得對稱中心坐標，再判斷，也可用代入法，即若是函數(shù)的最值（最大值或最小值），則是對稱軸，若，則是對稱中心． 7．關(guān)于有以下命題：①若，則；②圖象與圖象相同；③在區(qū)間是減函數(shù)；④圖象關(guān)于點對稱.其中正確的命題序號是（ ） A．②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 【答案】A 【分析】 結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐個驗證即可得解. 【詳解】 對于①，因為函數(shù)的最小正周期，且， 所以，故①錯誤； 對于②，，則， 所以圖象與圖象相同，故②正確； 對于③，當時，， 所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故③正確； 對于④，當時，，所以，故④正確. 故選：A. 8．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，對于函數(shù)有以下四個判斷： ①該函數(shù)的解析式為； ②該函數(shù)圖象關(guān)于點對稱； ③該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增； ④該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 其中，正確判斷的序號是（ ） A．②③ B．①② C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】 根據(jù)函數(shù)平移變換得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)依次討論即可得答案. 【詳解】 解：由函數(shù)的圖象平移變換的性質(zhì)可知： 將的圖象向右平移個單位長度之后 解析式為，選項①錯誤； 令，，求得，， 故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱， 令，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，選項②正確； 則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：， 即， 令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，選項③正確，④錯誤. 故選:A. 【點睛】 本題考查三角函數(shù)平移變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對稱中心等，考查運算求解能力，解題的易錯點在于平移變換時，當時，須將提出，平移只針對進行平移，具體的在本題中，的圖象向右平移個單位長度之后得，而不是，是中檔題. 9．設(shè)函數(shù)的圖象為，下面結(jié)論中正確的是（ ） A．函數(shù)的最小正周期是 B．圖象關(guān)于點對稱 C．圖象向右平移個單位后關(guān)于原點對稱 D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 【答案】B 【分析】 利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項的正誤；利用代入檢驗法可判斷B選項的正誤；求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項的正誤；由可求出的取值范圍，可判斷D選項的正誤. 【詳解】 對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A選項錯誤； 對于B選項，，所以，圖象關(guān)于點對稱，B選項正確； 對于C選項，將圖象向右平移個單位后所得函數(shù)的解析式為， ，函數(shù)不是奇函數(shù)，C選項錯誤； 對于D選項，當時，， 所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，D選項錯誤. 故選：B. 【點睛】 對于正弦型函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，一般先由計算出的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性來進行判斷. 二、多選題 10．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的為（ ） A．函數(shù)的值域為 B．函數(shù)的一條對稱軸為 C．函數(shù)的一個對稱中心為 D．函數(shù)為奇函數(shù) 【答案】ABC 【分析】 求出函數(shù)的值域可知A正確；代入檢驗可知B C正確；根據(jù)特值法可知D不正確. 【詳解】 對于A，因為，所以，故A正確； 對于B，因為，所以函數(shù)的一條對稱軸為，故B正確； 對于C，因為，所以函數(shù)的一個對稱中心為，故C正確； 對于D，因為，，，， 所以不是奇函數(shù)，即函數(shù)不為奇函數(shù)，故D不正確. 故選：ABC 【點睛】 關(guān)鍵點點睛：熟練掌握三角函數(shù)的值域、對稱軸、對稱中心、奇偶性是解題關(guān)鍵. 11．函數(shù)的圖象的一條對稱軸可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 利用正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)求解. 【詳解】 對稱軸：， 解得， 當時，，故C選項正確； 當時，，故D選項正確； 故選：CD. 12．已知函數(shù)，則下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)說法正確的有（ ） A．的一個周期是 B．的值域是 C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減 【答案】AD 【分析】 根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可. 【詳解】 A：因為， 所以是函數(shù)的周期，故本選項說法正確； B：因為，， 所以， 故本選項說法不正確； C：因為， 所以的圖象不關(guān)于點對稱， 故本選項說法不正確； D：因為，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)， 因此有，而，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減， 故本選項說法正確. 故選：AD 13．已知函數(shù)，則下列四個結(jié)論中正確的是（ ） A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 B．函數(shù)的最小正周期為 C．的值域為 D．設(shè)函數(shù)的奇偶性與函數(shù)相同，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最小值為2 【答案】BC 【分析】 首先利用函數(shù)的奇偶性的應用判定A的結(jié)論，利用函數(shù)的關(guān)系式的變換求出函數(shù)的最小正周期，進一步判斷B的結(jié)論，利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進一步判定C的結(jié)論，利用函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，進一步判定D的結(jié)論. 【詳解】 解：對于A：由于函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)， 所以， 所以函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故A錯誤； 對于B：由于， 則函數(shù)的最小正周期為，故B正確； 對于C：當時，函數(shù)， 由于，故，故C正確； 對于D：函數(shù)為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)， 所以，故， 由于，所以，所以，即， 由于，， 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得，故D錯誤. 故選：BC. 14．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則（ ） A．實數(shù)a的取值范圍為 B．實數(shù)a的取值范圍為 C．點為曲線的對稱中心 D．直線為曲線的對稱軸 【答案】ACD 【分析】 化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解. 【詳解】 由題意，函數(shù) ， 令，可得，所以，所以A正確，B不正確； 令，可得， 所以點為曲線的對稱中心，所以C正確； 令，可得，所以為曲線的對稱軸，所以D正確. 故選：ACD 【點睛】 解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本方法： 1、根據(jù)已知條件化簡得出三角函數(shù)的解析式為的形式； 2、熟練應用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性與最值等），進而加深理解函數(shù)的極值點、最值點、零點及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯解. 15．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ） A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 C．函數(shù)在單調(diào)遞減 D．該圖象向右平移個單位可得的圖象 【答案】BD 【分析】 由圖象求出函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項． 【詳解】 由函數(shù)的圖象可得，周期，所以， 當時，函數(shù)取得最大值，即， 所以，則，又，得， 故函數(shù). 對于A，，故A不正確； 對于B，當時，， 即直線是函數(shù)的一條對稱軸，故B正確； 對于C，當時，， 所以，函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，故C錯誤； 對于D，將的圖象向右平移個單位后， 得到的圖象，即D正確. 故選：BD． 【點睛】 思路點睛：本題考查由圖象求三角函數(shù)的解析式，考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)．解題思路是圖象中最高點或最低點求得，由零點或最值點求出周期從而得，再由點的坐標求得，得函數(shù)解析式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解． 16．設(shè)函數(shù)(，)，，，且在上單調(diào)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．是的一個對稱中心 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 C．函數(shù)在區(qū)間上的值域為 D．先將的圖象的橫坐標縮短為原來的，然后向左平移個單位得到的圖象 【答案】ABD 【分析】 先由在上單調(diào)，判斷，再由，，可計算得，得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷. 【詳解】 因為在上單調(diào)，所以，因為，，所以，所以，得，由， 得，，令，得，所以， 令，得，故A項正確； 令，得，故B項正確； 當時，，，故C項錯誤； 先將的圖象的橫坐標縮短為原來的，然后向左平移個單位得的圖象，故D項正確. 故選：ABD 【點睛】 方法點睛：對于函數(shù)的對稱軸與對稱中心的求解，可將看成一個整體，利用正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心計算求得. 17．已知函數(shù)，則（ ） A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱 C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上有兩個零點 【答案】CD 【分析】 求出， ，即可判定AB錯誤，得到C正確，解方程即可得到D選項正確. 【詳解】 ，所以A選項錯誤； ，所以B選項錯誤； ，是正弦函數(shù)的增區(qū)間的子區(qū)間， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以C選項正確； 令，，， 所以在區(qū)間上有兩個零點，所以D選項正確. 【點睛】 此題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷，求對稱軸和對稱中心以及零點問題，關(guān)鍵在于熟練掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì). 18．對于函數(shù)（其中），下列結(jié)論正確的是（ ） A．若恒成立，則的最小值為 B．當時，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù) C．當時，的圖象可由的圖象向右移個單位長度得到 D．當時，的圖象關(guān)于點中心對稱 【答案】AC 【分析】 由題意可知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，可得，可判斷A選項的正誤；由可計算得出，可判斷B選項的正誤；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷C選項的正誤；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷D選項的正誤. 【詳解】 對于A選項，由于恒成立， 則函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，所以，， 解得，當時，正數(shù)取最小值，A選項正確； 對于B選項，當時，， 當時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B選項錯誤； 對于C選項，當時，， 將函數(shù)的圖象向右移個單位長度可得到， C選項正確； 對于D選項，當時，， ， 所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于點成中心對稱，D選項錯誤. 故選：AC. 【點睛】 思路點睛：求解正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)問題，一般將三角函數(shù)的解析式化為的形式，然后利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)來進行求解. 19．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．的一個周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱 C．與軸的一個交點坐標為 D．在上單調(diào)遞減 【答案】ABC 【分析】 由最小正周期公式可判斷A，由可判斷B，由可判斷C，由可得，進而可判斷D. 【詳解】 對于A，函數(shù)最小正周期，所以A正確； 對于B，， 所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確； 對于C，，故C正確； 對于D，當時，，所以函數(shù)在上不單調(diào)， 故D錯誤. 故選：ABC. 20．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù) B．直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸 C．函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個單位得到 D．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱 【答案】AB 【分析】 先將函數(shù)變形為的形式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷． 【詳解】 解：， 對于A選項，當時，，函數(shù)為增函數(shù)，A正確； 令，，得，，當時，，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，B正確； 函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)圖象，C錯誤； ，故函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，D錯誤， 故選：AB. 21．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)在[，]上有4個零點 C．函數(shù)的圖象關(guān)于(，)對稱 D．函數(shù)的最大值為 【答案】ACD 【分析】 由選項的問題逐一計算，A選項，代入周期的公式驗證即可；B選項，求導求函數(shù)的單調(diào)性以及極值和端點值，從而判斷函數(shù)的零點個數(shù)；C選項，代入，計算的值驗證；D選項，由B選項可知結(jié)果. 【詳解】 A：由于，所以函數(shù)是周期函數(shù)，A正確； B：，研究[，]情況，發(fā)現(xiàn)在(，)，(，)單調(diào)遞增，在(，)單調(diào)遞減，求得，，，，所以函數(shù)在[，]上有2個零點，故B錯誤； C：由于， 所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于(，)對稱； D：由B選項的過程可知，的最大值為，D正確. 故選：ACD. 【點睛】 本題考查含三角函數(shù)的復合型函數(shù)的周期性，零點個數(shù)以及對稱性，屬于中檔題. 易錯點睛：（1）含三角函數(shù)的復合型函數(shù)求導時的解為增區(qū)間；的解為減區(qū)間；不考慮三角函數(shù)本身的增減性. （2）正弦型、余弦型復合函數(shù)的單調(diào)性要看內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性. 22．已知函數(shù)（，）的最小正周期為，且圖象過點，則（ ） A．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸 B．的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到 C．在上的值域為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減 【答案】AC 【分析】 先利用兩角和的正弦公式化簡，利用已知條件求出，得到，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可. 【詳解】 ， 由， 解得， 又函數(shù)的圖象過點， 所以， 結(jié)合， 得， 所以. 當時，， 故直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，選項A正確； ， 將其圖象向左平移個單位長度后， 得到函數(shù)的圖象， 該解析式不能化為，故選項B錯誤； 當時，， 此時，選項C正確； 當時，， 結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知， 在該區(qū)間上有增有減，故選項D錯誤. 故選：AC. 【點睛】 關(guān)鍵點睛：熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵. 23．將函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ） A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點中心對稱 C．在上單調(diào)遞增 D．若存在，使成立，則 【答案】ACD 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換得到函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的周期性、對稱性、單調(diào)性等逐一分析各個選項，從而得解． 【詳解】 將的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，所以． 的最小正周期，所以A正確； 對于，令，得，所以的圖象不關(guān)于點中心對稱，B錯誤； 當時，，此時函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以C正確； ，，由，，得，， 所以，，又，所以，D正確． 故選：ACD． 【點睛】 判斷某個點是否為函數(shù)圖象的對稱中心或某條直線是否為函數(shù)圖象的對稱軸，只需把相應自變量的值代入函數(shù)解析式進行驗證即可，對稱軸對應函數(shù)的最值，對稱中心對應函數(shù)的零點；單調(diào)性的判斷可以利用正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性進行判斷． 24．在現(xiàn)代社會中，信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，我們通過每天都在使用的電話或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到．而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)．函數(shù)的圖象就可以近似的模擬某種信號的波形，則（ ） A．函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)的導函數(shù)的最大值為4 【答案】BCD 【分析】 利用周期的定義可判斷A選項的正誤；根據(jù) 可判斷B選項的正誤；利用函數(shù)的對稱性可判斷C選項的正誤；求得函數(shù)的導數(shù)，求出的最大值，可判斷D選項的正誤. 【詳解】 ， ， 所以，不是函數(shù)的最小正周期，A選項錯誤； ， ， 所以，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，B選項正確； ， 所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C選項正確； ， ，，，， 則，又， 所以函數(shù)的最大值為，D選項正確. 故選：BCD. 【點睛】 本題考查正弦、余弦型函數(shù)基本性質(zhì)的判斷，涉及正弦型函數(shù)的周期性、對稱性以及余弦型函數(shù)最值的判斷，考查計算能力，屬于中等題. 25．已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ） A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于直線對稱 C．的圖像向左平移個單位長度后可得到的圖像 D．的圖像向右平移個單位長度后可得到的圖像 【答案】ABD 【分析】 代入求解即可判斷AB；求出平移后的解析式即可判斷CD. 【詳解】 對于A，，關(guān)于點對稱，故A正確； 對于B，，關(guān)于直線對稱，故B正確； 對于C，的圖像向左平移個單位長度后得，故C錯誤； 對于D，的圖像向右平移個單位長度后得，故D正確. 故選：ABD. 26．已知函數(shù)，則（ ） A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象的一條對稱軸是 C．在上遞減 D．在值域為 【答案】BC 【分析】 首先根據(jù)求導公式得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項即可. 【詳解】 ，所以. 對選項A，，故A錯誤； 對選項B，，所以為圖象的一條對稱軸， 故B正確. 對選項C，因為，所以， 所以函數(shù)在為增函數(shù)， 即在為減函數(shù)，故C正確. 對選項D，，所以， 所以，，故D錯誤. 故選：BC 27．已知函數(shù)的最小正周期是，若其圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上有2個零點 【答案】CD 【分析】 先根據(jù)題意求解析式，然后用整體代入的思想求出函數(shù)的所有對稱軸、對稱中心、單調(diào)遞減區(qū)間及零點，逐一判斷各選項，即可得出結(jié)論. 【詳解】 函數(shù)的最小正周期是. ∴，解得. ∴， 若其圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)， ∴，可得， ∴，，取，可得. ∴， 驗證：，，因此A，B不正確. 若，則， 因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.C正確. 若，則， 因此函數(shù)在區(qū)間上只有兩個零點，D正確. 故選：CD. 【點睛】 本題解題關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)（單調(diào)性、對稱性、零點等），整理代入研究的圖像性質(zhì)，即突破難點. 28．函數(shù)的圖象過點，若把函數(shù)圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．直線是的一條對稱軸 B．函數(shù)的最小正周期是 C．函數(shù)的值域是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】 將點代入表達式中，可求出，則，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)對每一選項進行判斷，得出答案. 【詳解】 由函數(shù)的圖象過點，可得， 即， 故， 當時，，故A不正確； 的最小正周期為，故B正確； ，故C正確； 而 ，故D正確 故選：BCD 【點睛】 易錯點睛：本題考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，解答中利用最小正周期公式求函數(shù)的最小正周期時，公式中的是函數(shù) 中的系數(shù)，在函數(shù)圖象左、右平移時，遵循“左加，又減”，一定是在自變量上進行加減，這是很容易錯的地方，屬于中檔題. 29．若函數(shù)的部分圖像，如圖所示，則下列說法正確的是（ ） A． B．函數(shù)的圖像關(guān)于對稱 C．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱 D．時，的值域為 【答案】ABD 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的圖像求出函數(shù)的解析式，再由三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出選項. 【詳解】 由圖像可知，，即， 因為，所以， ， ， ， 周期，，即， ， 對于A，，正確； 對于B，，故圖像關(guān)于對稱，正確； 對于C，，錯誤； 對于D，時，，所以，正確； 故選：ABD. 30．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．與圖象的所有交點的橫坐標之和為 【答案】BCD 【分析】 根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，再判斷各選項． 【詳解】 由題意，，∴，又，，又，∴， ∴． ∵，∴不是對稱軸，A錯； ，∴是對稱中心，B正確； 時，，∴在上單調(diào)遞增，C正確； ，，或， 即或，，又，∴，和為，D正確． 故選：BCD． 【點睛】 關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握“五點法”，通過五點法求出函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)的性質(zhì)．本題方法是代入法，整體思想，即由已知求出的值或范圍，然后結(jié)合正弦函數(shù)得出結(jié)論． 31．已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，則下列說法正確的有（ ） A．函數(shù)的最小正周期為 B．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱 C．當時，函數(shù)的值域為 D．當函數(shù)取得最值時， 【答案】ABD 【分析】 先利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡變形得，，由于函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，從而得，則，然后利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)對選項逐個分析判斷 【詳解】 由題意得， ． 因為函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合， 所以．因為， 所以函數(shù)的最小正周期，故A正確． 將的圖象向左平移個單位長度， 得到曲線， 其圖象關(guān)于y軸對稱，故B正確． 當時，， ，即的值域為， 故C錯誤． 令，解得， 所以當取得最值時，，故D正確． 故選：ABD 【點睛】 關(guān)鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應用，解題的關(guān)鍵是將利用三角恒等變換公式化為，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題 32．已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B．的圖象關(guān)于點對稱 C．的圖象關(guān)于對稱 D．在上的最大值是1 【答案】ABC 【分析】 先由最小正周期求出，再根據(jù)函數(shù)的變換求出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷. 【詳解】 因為最小正周期為，，解得， ， 將的圖象向左平移個單位長度得， 再將各點的橫坐標伸長到原來的2倍得，即， 則，故A正確； ，的圖象關(guān)于點對稱，故B正確； ，的圖象關(guān)于對稱，故C正確； 當時，，則，即，故在上的最大值為，故D錯誤. 故選：ABC. 【點睛】 結(jié)論點睛：判斷對稱軸和對稱中心的方法：對于，若函數(shù)滿足，則關(guān)于點對稱；若函數(shù)滿足，則關(guān)于對稱. 33．函數(shù)的最小正周期為，，下列說法正確的是（ ） A．的一個零點為 B．是偶函數(shù) C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的一條對稱軸為 【答案】ABD 【分析】 利用周期公式可求，由恒成立，結(jié)合的范圍，可求，求得函數(shù)的解析式，比較各個選項即可得答案. 【詳解】 由函數(shù)的最小正周期為， 得，得， 又， ， 即， 得， 故， 因為， 故選項A正確； 又， 故選項B正確； 當， 所以在區(qū)間不單調(diào)； 故選項C不正確； 由， 故選項D正確； 故選：ABD. 34．已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個不同的滿足，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，點和直線分別為圖象的一個對稱中心和一條對稱軸，則下列命題中正確的是（ ） A．在區(qū)間上的單調(diào)性無法判斷 B．圖象的一個對稱中心為 C．在區(qū)間上的最大值與最小值的和為 D．將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位得到的圖象，則 【答案】BC 【分析】 根據(jù)條件求出，然后利用正弦型函數(shù)的圖象及其性質(zhì)逐一判斷即可. 【詳解】 由題意得，即， 又在區(qū)間上至少存在兩個最大值或最小值，且在區(qū)間上具有單調(diào)性， 所以，所以 所以只有時滿足，此時，即， 因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A錯誤； 由，所以為圖象的一個對稱中心，故B正確； 因為，所以 ，所以最大值與最小值之和為，故C正確； 將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象，再向左平移個單位，得到的圖象， 即，故D錯誤. 綜上，BC正確 故選：BC 【點睛】 關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，細心計算即可得解. 35．已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，為函數(shù)的導函數(shù)，函數(shù)，則下列說法正確的是（ ） A．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸 B．的最小正周期為 C．是函數(shù)圖象的一個對稱中心 D．的最大值為 【答案】BD 【分析】 根據(jù)題意可得，再結(jié)合，可求出，從而得出函數(shù)的解析式為，進而得到，即可判斷各選項的真假． 【詳解】 因為的圖象的一條對稱軸為直線， 所以，，所以，， 又，所以，所以，所以， 所以 ，可取，顯然，且且，易知的最大值為，最小正周期為，故A、C錯誤，B、D正確. 故選：BD． 【點睛】 本題主要考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式，利用解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，以及復合函數(shù)的導數(shù)公式的應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于中檔題． 36．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，)的部分圖像如圖所示，則（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 利用三角函數(shù)的圖像求出周期，進而求出解析式，再利用誘導公式、三角函數(shù)的對稱性即可求解. 【詳解】 由函數(shù)圖像可得，解得， 由，解得， 所以， 又， 所以， 解得， 因為，所以， 所以，故A正確； ，故B正確； 由，點為中心對稱點， 故C不正確，D正確； 故選：ABD 【點睛】 本題考查了由圖像求三角函數(shù)解析式，同時考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題. 37．關(guān)于函數(shù)有下列命題，其中正確的是（ ） A．是以為最小正周期的周期函數(shù) B．的表達式可改寫為 C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱 【答案】BD 【分析】 根據(jù)周期公式求出周期，不正確；根據(jù)誘導公式可知正確；根據(jù)可知不正確；根據(jù)可知正確. 【詳解】 對于，根據(jù)周期公式可得，故不正確； 對于，，故正確； 對于，因為，故不正確； 對于，因為，故正確. 故選：BD. 【點睛】 本題考查了正弦型函數(shù)的周期、對稱軸、對稱中心，考查了誘導公式，屬于基礎(chǔ)題. 38．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ） A．的最小周期為 B． C．是函數(shù)圖象的一條對稱軸 D．在上的最大值為 【答案】AC 【分析】 根據(jù)題意得，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)依次討論即可得答案. 【詳解】 解：由題知，故選項B錯誤； 故函數(shù)的最小正周期為，故A選項正確； 對于C選項，令，解得：， 所以函數(shù)的對稱軸方程為， 當時，，故C選項正確； 對于D選項，當，， 所以，故D選項錯誤. 故選：AC. 【點睛】 本題考查了三角函數(shù)圖像的變換、正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性和對稱軸等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，是中檔題. 三、解答題 39．已知函數(shù) （I）求的最小正周期及對稱軸方程； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最值． 【答案】（I）；，．（Ⅱ）最大值為，最小值為 【分析】 （I）利用輔助角公式化為一個角的三角函數(shù)，即的形式，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求解． （Ⅱ）由，求得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得最值即可． 【詳解】 （I）由， 得的最小正周期； 的對稱軸方程， 即，． 所以的最小正周期為， 對稱軸方程為：，． （Ⅱ）， ， ， ∴ 當時， 即時， ， 當時， 即時， ； 所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為. 【點睛】 方法點睛：三角函數(shù)問題一般都要利用兩角和與差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、誘導公式等化為一個角的三角函數(shù)，即的形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解． 40．函數(shù). （1）求函數(shù)的定義域； （2）求的值； （3）求函數(shù)的最小正周期及其圖象的所有對稱軸的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）最小正周期；對稱軸的方程為. 【分析】 （1）解不等式即得函數(shù)的定義域； （2）直接代入求值得解； （3）化簡得，即得函數(shù)的最小正周期及其圖象的所有對稱軸的方程. 【詳解】 （1）由得所以，， 所以函數(shù)的定義域為. （2）. （3）因為， 所以的最小正周期. 因為函數(shù)的對稱軸為，， 又由，，得， 所以的對稱軸的方程為. 【點睛】 關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是化簡，三角函數(shù)的化簡有“三看（看角看名看式）”和“三變（變角變名變式）”.本題從變角開始，比較方便. 四、填空題 41．關(guān)于函數(shù)有如下命題，其中正確的有______ ①的表達式可改寫為 ②是以為最小正周期的周期函數(shù)； ③的圖象關(guān)于點對稱； ④的圖象關(guān)于直線對稱. 【答案】①③ 【分析】 ①利用誘導公式變形，判斷選項；②利用周期公式，判斷選項；③代入函數(shù)判斷是否為0，判斷選項；④代入選項，是否取得最值，判斷選項. 【詳解】 ①，故①正確； ②的最小正周期，故②不正確； ③當時，，此時函數(shù)值為0，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故③正確； ④當時，，此時函數(shù)值是0，不是函數(shù)的對稱軸，故④不正確. 故答案為：①③ 【點睛】 思路點睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對于函數(shù)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點，因此判斷直線或點是否是函數(shù)的對稱軸和對稱中心時，可通過驗證的值進行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也可以求的范圍，驗證次區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間. 42．函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，則下列函數(shù)的結(jié)論：①一條對稱軸方程為；②點是對稱中心；③在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)；④函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.其中所有正確的結(jié)論為______.（寫出正確結(jié)論的序號） 【答案】②③④ 【分析】 先求得，然后利用代入法判斷①②，根據(jù)單調(diào)區(qū)間和最值的求法判斷③④. 【詳解】 函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)， ，所以①錯誤. ，所以②正確. 由，解得，. 令得，所以在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，即③正確. 由得，所以當時，有最小值為，所以④正確. 故答案為：②③④ 【點睛】 解決有關(guān)三角函數(shù)對稱軸、對稱中心的問題，可以考慮代入驗證法.考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題，可以考慮整體代入法.