同步優(yōu)化探究文數(shù)北師大版練習：第六章 第三節(jié)　二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題 Word版含解析

課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點練 1．(2018武漢市模擬)若實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值是(　　) A．2　　　　　　　　 B．1 C．0 D．－4 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線x－2y＝0，平移該直線，當直線經(jīng)過點A(1,0)時，z取得最大值，此時zmax＝1，故選B. 答案：B 2．已知實數(shù)x，y滿足不等式|x|＋|2y|≤4，記Z＝x＋y，則Z的最小值為(　　) A．－2 B．－6 C．－4 D．－8 解析：|x|＋|2y|≤4表示的平面區(qū)域為如圖所示的四邊形ABCD內(nèi)部及其邊界，由圖可知當直線y＝－x＋Z經(jīng)過點C(－4,0)時，Z取得最小值，所以Zmin＝0＋(－4)＝－4. 答案：C 3．(2018長沙市模擬)已知變量x，y滿足則z＝8x2y的最大值是(　　) A．33 B．32 C．35 D．34 解析：z＝8x2y＝23x＋y，求z的最大值就是求3x＋y的最大值，設(shè)t＝3x＋y，作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線3x＋y＝0，平移該直線，當直線經(jīng)過點B(1,2)時，t取得最大值，tmax＝3＋2＝5，則zmax＝25＝32. 答案：B 4．已知實數(shù)x，y滿足則z＝2|x－2|＋|y|的最小值是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：畫出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1,3)，∴x∈[1,2]，y∈[3,5]． ∴z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，當直線y＝2x－4＋z過點A(2,4)時，直線在y軸上的截距最小，此時z有最小值，∴zmin＝－22＋4＋4＝4，故選C. 答案：C 5．(2018蘭州實戰(zhàn)模擬)已知M(－4,0)，N(0，－3)，P(x，y)的坐標x，y滿足，則△PMN面積的取值范圍是(　　) A．[12,24] B．[12,25] C．[6,12] D．[6，] 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．又過點M(－4,0)，N(0，－3)的直線的方程為3x＋4y＋12＝0，而它與直線3x＋4y＝12平行，其距離d＝＝，所以當P點在原點O處時，△PMN的面積最小， 其面積為△OMN的面積，此時S△OMN＝34＝6；當P點在線段AB上時，△PMN的面積最大，為＝12，故選C. 答案：C 6．(2018太原市模擬)已知D＝{(x，y)|，給出下列四個命題：p1：任意(x，y)∈D，x＋y＋1≥0；p2：任意(x，y)∈D,2x－y＋2≤0；p3：存在(x，y)∈D，≤－4；p4：存在(x，y)∈D，x2＋y2≤2.其中真命題的是(　　) A．p1，p2 B．p2，p3 C．p2，p4 D．p3，p4 解析：因為D＝{(x，y)|}表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，所以z1＝x＋y的最小值為－2，z2＝2x－y的最大值為－2，z3＝的最小值為－3，z4＝x2＋y2的最小值為2，所以命題p1為假命題，命題p2為真命題，命題p3為假命題，命題p4為真命題，故選C. 答案：C 7．若實數(shù)x，y滿足：|x|≤y≤1，則x2＋y2＋2x的最小值為(　　) A. B．－ C. D.－1 解析：作出不等式|x|≤y≤1表示的可行域，如圖． x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1，(x＋1)2＋y2表示可行域內(nèi)的點(x，y)到點(－1,0)距離的平方，由圖可知，(x＋1)2＋y2的最小值為2＝，所以x2＋y2＋2x的最小值為－1＝－.選B. 答案：B 8．(2018洛陽市統(tǒng)考)已知實數(shù)x，y滿足條件，若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，則實數(shù)a的取值集合為(　　) A．{2，－1} B．{a∈R|a≠2} C．{a∈R|a≠－1} D．{a∈R|a≠2且a≠－1} 解析：不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由z＝－ax＋y得y＝ax＋z，若a＝0，直線y＝ax＋z＝z，此時最大的最優(yōu)解只有一個，滿足條件．若a>0，則直線y＝ax＋z的縱截距最大時，z取得最大值，若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，則a≠2.若a<0，則直線y＝ax＋z的縱截距最大時，z取得最大值，若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，則a≠－1.選D. 答案：D 9．(2018沈陽質(zhì)量監(jiān)測)實數(shù)x，y滿足則z＝|x－y|的最大值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析： 依題意畫出可行域如圖中陰影部分所示，令m＝y(tǒng)－x，則m為直線l：y＝x＋m在y軸上的截距，由圖知在點A(2,6)處m取最大值4，在C(2,0)處取最小值－2，所以m∈[－2,4]，所以z的最大值是4，故選B. 答案：B 10．(2018武昌區(qū)調(diào)研)設(shè)x，y滿足約束條件，且z＝x＋ay的最小值為7，則a＝(　　) A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3 解析：根據(jù)約束條件畫出可行域如圖1中陰影部分所示： 可知可行域為開口向上的V字型．在頂點處z有最小值，頂點為(，)，則＋a()＝7，解得a＝3或a＝－5.當a＝－5時，如圖2， 虛線向上移動時z減小，故z→－∞，沒有最小值，故只有a＝3滿足題意．選B. 答案：B 11．若變量x、y滿足約束條件則(x－2)2＋y2的最小值為(　　) A. B. C. D．5 解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖， 設(shè)z＝(x－2)2＋y2，則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到定點D(2,0)的距離的平方， 由圖知C、D間的距離最小，此時z最?。? 由，得即C(0,1)， 此時zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，故選D. 答案：D 12．若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 解析：約束條件對應的平面區(qū)域是以點(1，)、(0,1)和(－2，－1)為頂點的三角形，當目標函數(shù)y＝－x＋z經(jīng)過點(1，)時，z取得最大值. 答案： 13．若x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最小值為________． 解析： 作出可行域，如圖中陰影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直線y＝x并平移，觀察可知，當直線經(jīng)過點A(3,4)時，zmin＝3－24＝－5. 答案：－5 14．已知x，y滿足若使得z＝ax＋y取最大值的點(x，y)有無數(shù)個，則a的值等于__________． 解析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，當直線z＝ax＋y能和直線AB重合時， z取得最大值的點(x，y)有無數(shù)個，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1. 答案：－1 15．對任意k∈[1,5]，直線l：y＝kx－k－1都與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)a的最大值是________． 解：作出不等式組的可行域如圖中陰影部分所示． 而直線l：y＝kx－k－1過定點P(1，－1)，對任意k∈[1,5]，直線l：y＝kx－k－1都與可行域有公共點，當k＝5時，直線l：y＝5x－6經(jīng)過可行域的點A，聯(lián)立，得解得所以A(2,4)，點A是直線x＝a上的點，可得a的最大值是2. 答案：2 B組——能力提升練 1．在平面直角坐標系中，不等式組(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，若x、y滿足上述約束條件，則z＝的最小值為(　　) A．－1 B．－ C. D．－ 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知πr2＝π，解得r＝2，z＝＝1＋，易知表示可行域內(nèi)的點(x，y)與點P(－3,2)的連線的斜率，由圖可知當點(x，y)與點P的連線與圓x2＋y2＝r2相切時斜率最?。O(shè)切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有＝2，解得k＝－或k＝0(舍)，所以zmin＝1－＝－，故選D. 答案：D 2．已知區(qū)域D：的面積為S，點集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐標系中對應區(qū)域的面積為S，則k的值為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：作出不等式組對應的區(qū)域，如圖中陰影部分所示． 直線y＝kx＋1過定點A(0,1)，點集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐標系中對應區(qū)域的面積為S，則直線y＝kx＋1過BC中點E.由解得即B(2,3)． 又C(1,0)，∴BC的中點為E，則＝k＋1，解得k＝，故選A. 答案：A 3．(2018合肥市質(zhì)檢)設(shè)x， y滿足若z＝2x＋y的最大值為，則a的值為(　　) A．－ B．0 C．1 D．－或1 解析：由z＝2x＋y存在最大值，可知a>－1，顯然a＝0不符合題意．作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖1或圖2中陰影部分所示，作直線2x＋y＝0，平移該直線，易知，當平移到過直線x＋y－2＝0與ax－y－a＝0的交點時，z取得最大值，由得，把代入2x＋y＝得a＝1，故選C. 答案：C 4．已知實數(shù)x，y滿足條件若x2＋2y2≥m恒成立，則實數(shù)m的最大值為(　　) A．5 B. C. D. 解析： 設(shè)t＝y(tǒng)，則y＝t，因為實數(shù)x，y滿足條件且x2＋2y2≥m恒成立，所以實數(shù)x，t滿足條件且x2＋t2≥m恒成立，表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，過點O向AB作垂線，垂足為D，則x2＋t2的最小值為|OD|2＝，所以m≤，所以m的最大值為，故選D. 答案：D 5．已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則 a2＋b2的最大值為 (　　) A．5 B．29 C．37 D．49 解析： 平面區(qū)域Ω為如圖所示的陰影部分，因為圓心C(a，b)∈Ω，且圓C與x軸相切，所以點C在如圖所示的線段MN上，線段MN的方程為y＝1(－2≤x≤6)，由圖形得，當點C在點N(6,1)處時，a2＋b2取得最大值62＋12＝37，故選C. 答案：C 6．設(shè)變量x，y滿足z＝a2x＋y(0<a<)的最大值為5，則a＝(　　) A．1 B. C. D. 解析：如圖，畫出可行域，∵z＝a2x＋y，∴y＝－a2x＋z，求z的最大值，即求直線y＝－a2x＋z在y軸上的最大截距，顯然當直線y＝－a2x＋z過點A時，在y軸上的截距取得最大值．由，解得A(2,3)，則2a2＋3＝5，可得a＝1.故選A. 答案：A 7．若x，y滿足且z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，則k的值為(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 解析：作出線性約束條件的可行域．當k≥0時，如圖(1)所示，顯然此時z＝y(tǒng)－x無最小值．當k<－1時，z＝y(tǒng)－x取得最小值2；當k＝－1時，z＝y(tǒng)－x取得最小值－2，均不符合題意．當－1<k<0時，如圖(2)所示，此時可行域為點A(2,0)，B，C(0,2)所圍成的三角形區(qū)域，當直線z＝y(tǒng)－x經(jīng)過點B時，有最小值，即－＝－4，即k＝－.故選D. 答案：D 8．已知P(x，y)為區(qū)域內(nèi)的任意一點，當該區(qū)域的面積為4時，z＝2x－y的最大值是(　　) A．6 B．0 C．2 D．2 解析：由作出可行域如圖， 易求得A(a，－a)，B(a，a)， 由題意知S△OAB＝2aa＝4，得a＝2. ∴A(2，－2)， 當y＝2x－z過A點時，z最大，zmax＝22－(－2)＝6.故選A. 答案：A 9．若x，y滿足約束條件則z＝3x＋5y的取值范圍是(　　) A．[3，＋∞) B．[－8,3] C．(－∞，9] D．[－8,9] 解析：作出可行域，如圖所示的陰影部分，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋z，z表示直線y＝－x＋z在y軸上的截距，截距越大，z越大． 由圖可知，當z＝3x＋5y經(jīng)過點A時z最小；當z＝3x＋5y經(jīng)過點B時z最大，由可得B(3,0)，此時zmax＝9，由可得A(－1，－1)，此時zmin＝－8，所以z＝3x＋5y的取值范圍是[－8,9]． 答案：D 10．(2018貴陽監(jiān)測)已知O是坐標原點，點A(－1,2)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是(　　) A．[－1,0] B．[0,1] C．[1,3] D．[1,4] 解析： 作出點M(x，y)滿足的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易知當點M為點C(0,2)時，取得最大值，即為(－1)0＋22＝4，當點M為點B(1,1)時，取得最小值，即為(－1)1＋21＝1，所以的取值范圍為[1,4]，故選D. 答案：D 11．已知x，y滿足約束條件，目標函數(shù)z＝6x＋2y的最小值是10，則z的最大值是(　　) A．20 B．22 C．24 D．26 解析：由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋，由目標函數(shù)有最小值，得c>0，作出不等式組所表示的可行域的大致圖形如圖中陰影部分所示，由圖可知當直線y＝－3x＋經(jīng)過點C時，直線的縱截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由，解得，將其代入直線－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直線方程為－2x＋y＋5＝0，平移直線3x＋y＝0，當直線經(jīng)過點D時，直線的縱截距最大，此時z取最大值，由，得，即D(3,1)，將點D的坐標代入直線z＝6x＋2y，得zmax＝63＋2＝20，故選A. 答案：A 12．(2018石家莊質(zhì)檢)已知x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝y(tǒng)－mx(m>0)的最大值為1，則m的值是(　　) A．－ B．1 C．2 D．5 解析：作出可行域，如圖所示的陰影部分． ∵m>0，∴當z＝y(tǒng)－mx經(jīng)過點A時， z取最大值，由，解得即A(1,2)， ∴2－m＝1，解得m＝1.故選B. 答案：B 13．已知a>0，實數(shù)x，y滿足，若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝________. 解析： 根據(jù)題意，如圖，在坐標系中畫出相應的區(qū)域的邊界線x＝1，x＋y＝3，再畫出目標函數(shù)取得最小值時對應的直線2x＋y＝1，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，直線2x＋y＝1與直線x＝1的交點為(1，－1)，從而有點(1，－1)在直線y＝a(x－3)上，代入可得a＝. 答案： 14．(2018石家莊模擬)動點P(a，b)在區(qū)域內(nèi)運動，則ω＝的取值范圍是________． 解析：畫出可行域如圖，ω＝＝1＋， 設(shè)k＝，則k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以ω＝的取值范圍是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞) 15．(2018云南五市聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿足不等式組則z＝的最大值是________． 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)z＝＝的幾何意義是表示平面區(qū)域中的動點P(x，y)與定點Q(－1，－1)所在直線的斜率．由圖知，當點P運動到點A時，z取得最大值．因為A(0,1)，所以zmax＝＝2. 答案：2 16．已知x，y滿足若x2＋y2的最大值為m，最小值為n，則mx＋ny的最小值為________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，即△ABC及其內(nèi)部，其中A(1,2)，B(2,1)，C(2,3)．令u＝x2＋y2，其表示陰影部分的點到坐標原點的距離的平方．顯然在點C處x2＋y2取得最大值m，則m＝22＋32＝13.而原點到直線x＋y－3＝0的距離d＝＝，且|OA|＝|OB|＝，∴x2＋y2的最小值n＝()2＝.故mx＋ny＝13x＋y，令z＝13x＋y，可得y＝－x＋z，故當直線y＝－x＋z經(jīng)過點A(1,2)時，z取得最小值，最小值為z＝131＋2＝22. 答案：22