高考數(shù)學(xué)文大一輪復(fù)習(xí)檢測：第八章 平面解析幾何 課時作業(yè)53 Word版含答案

課時作業(yè)53　雙曲線 一、選擇題 1．雙曲線－x2＝1的漸近線方程為(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝2x D．y＝x 解析：由－x2＝1，得＝，漸近線方程為y＝x. 答案：A 2．橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，則實數(shù)a的值是(　　) A. B．1或－2 C．1或 D．1 解析：由已知得?a＝1. 答案：D 3．(2016新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) 解析：由題意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由該雙曲線兩焦點間的距離為4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<n<3. 答案：A 4．已知l是雙曲線C：－＝1的一條漸近線，P是l上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若＝0，則P到x軸的距離為(　　) A. B. C．2 D. 解析：F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為y＝x，則可設(shè)P(x0，x0)，由＝(－－x0，－x0)(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝，故P到x軸的距離為|x0|＝2，故選C. 答案：C 5．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點，若△OAB的面積為，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝c＝，整理得＝，即e＝，故選D. 答案：D 6．設(shè)雙曲線－＝1的兩條漸近線與直線x＝分別交于A，B兩點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點．若60<∠AFB<90，則該雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A．(1，) B．(，2) C．(1,2) D．(，＋∞) 解析：雙曲線－＝1的兩條漸近線方程為y＝x，x＝時，y＝，不妨設(shè)A，B，∵60<∠AFB<90，∴<kFB<1，∴<<1，∴<<1，∴<<1，∴1<e2－1<3，∴<e<2.故選B. 答案：B 二、填空題 7．若雙曲線的漸近線方程為x2y＝0，焦距為10，則該雙曲線的方程為__________________________． 解析：設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)，焦距2c＝10，c2＝25， 當(dāng)λ>0時，－＝1，λ＋＝25， ∴λ＝20； 當(dāng)λ<0時，－＝1，－λ＋＝25，∴λ＝－20. 故該雙曲線的方程為 －＝1或－＝1. 答案：－＝1或－＝1 8．(2016浙江卷)設(shè)雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________． 解析：由題意不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，現(xiàn)考慮兩種極限情況：當(dāng)PF2⊥x軸時，|PF1|＋|PF2|有最大值8；當(dāng)∠P為直角時，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因為△F1PF2為銳角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范圍為(2，8)． 答案：(2，8) 9．(2016北京卷)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a＝________. 解析：雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，由已知可得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性可得＝1.又正方形OABC的邊長為2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2. 答案：2 三、解答題 10．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，A1，A2分別是雙曲線的左、右頂點，M(x0，y0)是雙曲線上除兩頂點外的一點，直線MA1與直線MA2的斜率之積是. (1)求雙曲線的離心率； (2)若該雙曲線的焦點到漸近線的距離是12，求雙曲線的方程． 解：(1)易知A1(－a,0)，A2(a,0)，∵M(jìn)(x0，y0)在雙曲線上，∴－＝1，變形得＝.∵kMA1kMA2＝＝＝＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴e＝. (2)雙曲線的一條漸近線為y＝x，即bx－ay＝0，右焦點(c,0)到漸近線的距離d＝＝b＝12，由(1)得＝＝，∴a2＝25，∴雙曲線的方程為－＝1. 11．設(shè)A，B分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為. (1)求雙曲線的方程； (2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t，求t的值及點D的坐標(biāo)． 解：(1)由題意知a＝2，∴一條漸近線為y＝x，即bx－2y＝0，∴＝.∴b2＝3，∴雙曲線的方程為－＝1. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 將直線方程代入雙曲線方程得x2－16x＋84＝0，則x1＋x2＝16，y1＋y2＝12. ∴∴ 由＋＝t，得(16，12)＝(4t，3t)，∴t＝4，點D的坐標(biāo)為(4，3)． 1．(2017河北石家莊模擬)已知直線l與雙曲線C：x2－y2＝2的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若AB的中點在該雙曲線上，O為坐標(biāo)原點，則△AOB的面積為(　　) A. B．1 C．2 D．4 解析：由題意得，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝x，設(shè)A(x1，x1)，B(x2，－x2)，則OA⊥OB，AB的中點為，又因為AB的中點在雙曲線上，所以2－2＝2，化簡得x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA||OB|＝|x1||x2|＝|x1x2|＝2，故選C. 答案：C 2．(2017福建漳州八校聯(lián)考)已知橢圓C1：＋＝1(a1>b1>0)與雙曲線C2：－＝1(a2>0，b2>0)有相同的焦點F1，F(xiàn)2，點P是兩曲線的一個公共點，e1，e2又分別是兩曲線的離心率，若PF1⊥PF2，則4e＋e的最小值為(　　) A. B．4 C. D．9 解析：由題意設(shè)焦距為2c，令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a2，① 由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a1，② 又∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③ ①2＋②2，得|PF1|2＋|PF2|2＝2a＋2a，④ 將④代入③，得a＋a＝2c2， ∴4e＋e＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2a時，取等號．故選C. 答案：C 3．設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，左、右頂點分別為A1、A2，過點F且與雙曲線C的一條漸近線平行的直線l與另一條漸近線相交于點P，若點P恰好在以A1A2為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為________． 解析：由題意知，雙曲線的漸近線的斜率為或－，點F的坐標(biāo)為(c,0)，不妨設(shè)直線l的方程為y＝(x－c)，聯(lián)立方程，解得.因為點P恰好在以A1A2為直徑的圓上，所以()2＋(－)2＝a2，化簡得c2(a2＋b2)＝4a4，又c2＝a2＋b2，故()4＝4，即e＝＝. 答案： 4．已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1. (1)若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍； (2)若l與C交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，且△AOB的面積為，求實數(shù)k的值． 解：(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點，則方程組有兩個不同的實數(shù)根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∴ 解得－<k<且k≠1. 雙曲線C與直線l有兩個不同的交點時，k的取值范圍是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)． (2)設(shè)交點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線l與y軸交于點D(0，－1)， 由(1)知，C與l聯(lián)立的方程為(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∴ 當(dāng)A，B在雙曲線的一支上且|x1|>|x2|時， S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|) ＝|x1－x2|； 當(dāng)A，B在雙曲線的兩支上且x1>x2時，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|. ∴S△OAB＝|x1－x2|＝， ∴(x1－x2)2＝(2)2， 即2＋＝8， 解得k＝0或k＝. 又∵－<k<，且k≠1， ∴當(dāng)k＝0或k＝時，△AOB的面積為.