高一數(shù)學 人教版必修3：第四章 線性回歸方程 含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學教學資料 重點列表： 重點 名稱 重要指數(shù) 重點1 相關關系的判斷 ★★★★ 重點2 線性回歸方程有關概念 ★★★ 重點3 散點圖 ★★★★ 重點詳解： 1．變量間的相關關系 常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是確定性的函數(shù)關系，另一類是________；與函數(shù)關系不同，相關關系是一種________關系，帶有隨機性． 2．兩個變量的線性相關 (1)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有____________，這條直線叫________． (2)從散點圖上看，如果點分布在從左下角到右上角的區(qū)

2、域內(nèi)，那么兩個變量的這種相關關系稱為________；如果點分布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，那么兩個變量的這種相關關系稱為________. ※ (3)相關系數(shù) r＝，當r＞0時，表示兩個變量正相關；當r＜0時，表示兩個變量負相關．r的絕對值越接近________，表示兩個變量的線性相關性越強；r的絕對值越接近________，表示兩個變量的線性相關性越弱．通常當r的絕對值大于0.75時，認為兩個變量具有很強的線性相關關系． 3．回歸直線方程 (1)通過求Q＝的最小值而得出回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做____________．該式取最小值時

3、的α，β的值即分別為，. (2)兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為，則 【答案】 1．相關關系　非確定性 2．(1)線性相關關系　回歸直線　 (2)正相關　負相關 (3)1　0　 3．最小二乘法 重點1：相關關系的判斷 【要點解讀】 在研究兩個變量之間是否存在某種關系時，必須從散點圖入手．對于散點圖，可以做出如下判斷： (1)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關系，即變量之間具有函數(shù)關系． (2)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關關系． (3

4、)如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系． 【考向1】確定性關系與隨機關系 【例題】下列變量之間的關系不是相關關系的是(　　) A．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是這個函數(shù)的判別式Δ＝b2－4ac B．光照時間和果樹畝產(chǎn)量 C．降雪量和交通事故發(fā)生率 D．每畝施用肥料量和糧食畝產(chǎn)量 解：由函數(shù)關系和相關關系的定義可知，A中Δ＝b2－4ac，因為a，c是已知常數(shù)，b為自變量，所以給定一個b的值，就有唯一確定的Δ與之對應，所以Δ與b之間是一種確定的關系，是函數(shù)關系．B，C，D中兩個變量之間的關系都是相關關系．故選A.

5、 【評析】要注意函數(shù)關系與相關關系的區(qū)別：函數(shù)關系是確定性關系，而相關關系是隨機的、不確定的． 重點2：線性回歸方程有關概念 【要點解讀】 樣本中心點一定在回歸直線上 【考向1】樣本中心點 【例題】為了考查兩個變量x和y之間的線性關系，甲、乙兩位同學各自獨立做了10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1，l2，已知兩人得到的試驗數(shù)據(jù)中，變量x的平均值都等于s，變量y的平均值都等于t，那么下列說法正確的是(　　) A．直線l1和l2一定有公共點(s，t) B．直線l1和l2相交，但交點不一定是(s，t) C．必有直線l1∥l2 D．直線l1和l2必定重合

6、 【評析】回歸方程一定通過樣本點的中心(，)；中心相同的樣本點的回歸方程不一定相同． 【考向2】線性回歸直線的理解 【例題】由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到回歸直線方程，那么下面說法錯誤的是(　　) A．直線必經(jīng)過點(，) B．直線至少經(jīng)過點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點 C．直線的斜率＝ D．直線和各點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的 重點3：散點圖 【要點解讀】 根據(jù)散點圖可以直觀判斷正負相關以及數(shù)據(jù)所對應的函數(shù)模型 【考向1】正相

7、關與負相關 【例題】(1)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷(　　) 圖1 圖2 A．變量x與y正相關，u與v正相關 B．變量x與y正相關，u與v負相關 C．變量x與y負相關，u與v正相關 D．變量x與y負相關，u與v負相關 解：由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關，故選C. 【評析】點分布在從左下角到右上角的區(qū)域時，兩個變量的相關關系為正相關；點分布在從左上角到右下角的區(qū)域時，兩個變量的相關關系為負相關． (2)

8、下面是一塊田的水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測數(shù)據(jù)(單位：kg)： 施化肥量15　 20　　25　　30　35　 40　45 水稻產(chǎn)量 320 330 360 410 460 470 480 (Ⅰ)將上述數(shù)據(jù)制成散點圖； (Ⅱ)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關系嗎？水稻產(chǎn)量會一直隨施化肥量的增加而增長嗎？ 解：(Ⅰ)散點圖如下： (Ⅱ)從圖中可以發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量具有線性相關關系，當施化肥量由小到大變化時，水稻產(chǎn)量由小變大．圖中的數(shù)據(jù)點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似成線性相關關系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而

9、增長，不會一直隨化肥施用量的增加而增長． 【評析】任何一組數(shù)據(jù)(二元數(shù)據(jù))都可以作出散點圖，散點圖可以直觀地觀察兩個變量間的關系． 【考向2】散點圖的畫法及相關關系識別 【例題】(1)從左至右，觀察下列三個散點圖，變量x與y的關系依次為________(正相關記作①；負相關記作②；不相關記作③)． (2)科研人員為了全面掌握棉花新品種的生產(chǎn)情況，查看了氣象局對該地區(qū)年降雨量與年平均氣溫的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位分別是mm，℃)，并作了統(tǒng)計： 年平均氣溫 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降 雨量 748 542

10、 507 813 574 701 432 (Ⅰ)試畫出散點圖； (Ⅱ)判斷兩個變量是否具有線性相關關系． 解：(Ⅰ)作出散點圖如圖所示． (Ⅱ)由散點圖可知，各點并不在一條直線附近，所以兩個變量不具有線性相關關系． 難點列表： 難點 名稱 難度指數(shù) 難點1 求回歸方程及用回歸方程進行估計 ★★★★ 難點2 復數(shù)的模與共軛復數(shù) ★★★★★ 難點詳解： 求線性回歸直線方程的步驟 (1)用散點圖或進行相關性檢驗判斷兩個變量是否具有線性相關關系； (2)求系數(shù)：公式有兩種形式，＝＝，根據(jù)題目具體情況靈活選用； (3)求：＝－； (4)寫出回歸直線方程

11、． 說明：當數(shù)據(jù)較復雜時，題目一般會給出部分中間結(jié)果，觀察這些中間結(jié)果可確定選用公式的哪種形式求. 難點1：求回歸方程及用回歸方程進行估計 【要點解讀】 (1)回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則無意義． (2)根據(jù)回歸方程進行的估計僅是一個預測值，而不是真實發(fā)生的值． (3)用最小二乘法求回歸方程，關鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計算量大，計算時應仔細小心，分層進行(最好列出表格)，避免因計算而產(chǎn)生錯誤． 【考向1】求線性回歸方程 【例題】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量

12、x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程； (3)已知該廠技術改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標準煤，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低多少噸標準煤？ (參考值32.5＋43＋54＋64.5＝66.5) 解：(1)散點圖如下： (2)由系數(shù)公式可知，＝4.5，＝3.5， ＝＝0.7， ＝3.5－0.74.5＝0.35， 所以線性回歸方程為＝0.7x

13、＋0.35. (3)x＝100時，＝0.7x＋0.35＝70.35，所以預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低19.65噸標準煤． 【評析】牢記求線性回歸方程的步驟：(1)列表；(2)計算，，，;(3)代入公式求，再利用求，（4）寫出回歸方程. 【考向2】利用線性回歸方程進行預測 【例題】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲蓄yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得=80, =20,=184,=720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關； (3)若該居民區(qū)某家庭月

14、收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中， b＝，， 其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝x＋. 解：(1)由題意知n＝10，＝＝＝8， ＝＝＝2，又- n2 =720 -1082=80， -n＝184－1082＝24， 由此得b＝＝0.3， a＝－b＝2－0.38＝－0.4， 故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關． (3)將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y＝0.37－0.4＝1.7(千元)． 難點2：非線性相關轉(zhuǎn)化為線性相關 【要點解讀】

15、通過觀察散點圖，分析其函數(shù)模型，然后轉(zhuǎn)化成線性相關 【考向1】非線性相關轉(zhuǎn)化為線性相關 【例題】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． (1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程． (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0

16、.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題： ①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ ②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋β u的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝ 解題指導]　切入點：回歸分析中對散點圖的理解，回歸方程的求法和應用；關鍵點：通過換元把非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程求解． 解]　(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型． (2)令w＝，先建立y關于w的線性回歸方程． ＝y(tǒng)－ w＝563－686.8＝100.6，

17、所以y關于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w， 因此y關于x的回歸方程為＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當x＝49時， 年銷售量y的預報值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預報值＝576.60.2－49＝66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預報值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當＝＝6.8，即x＝46.24時，取得最大值． 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大． 【趁熱打鐵】 1．兩個變量成負相關關系時，散點圖的特征是(　　) A．點分布在從左下角到右上角的區(qū)域 B．散點圖在某方形區(qū)域內(nèi)

18、 C．散點圖在某圓形區(qū)域內(nèi) D．點分布在從左上角到右下角的區(qū)域 2．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(　　) A．都可以分析出兩個變量的關系 B．都可以用一條直線通過近似表示兩者關系來估計總體的均值 C．都可以作出散點圖 D．都可以用確定的表達式表示兩者的關系 3．下列命題： ①任何兩個變量都具有相關關系； ②圓的周長與該圓的半徑具有相關關系； ③某商品的需求與該商品的價格是一種非確定性關系； ④根據(jù)散點圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的； ⑤兩個變量間的相關關系可以通過回歸直線把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進行研究． 其中正確的命題為(　　) A

19、．①③④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 4．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關于其相關系數(shù)比較，正確的是(　　) A．r2

20、據(jù)的值為(　　) A．67 B．68 C．69 D．70 6．變量X與Y相對應的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關系數(shù)，則(　　) A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 7．某市物價部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其價格進行調(diào)查，得到售價x(元)和銷售量y(件)之間的一

21、組數(shù)據(jù)如下表： 價格x 9 9.5 10 10.5 11 銷售量y 11 10 8 6 5 由散點圖可知，銷售量y與價格x之間有較好的線性相關關系，其線性回歸直線方程是：＝－3.2x＋a，則a＝______． 8．某數(shù)學老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________cm. 9．假設關于某種設備的使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5

22、 6.5 7.0 已知=90，＝112.3. (1)求，； (2)如果x與y具有線性相關關系，求出線性回歸方程； (3)估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？ 10．某班主任為了對本班學生的月考成績進行分析，決定從全班25名女同學，15名男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析． (1)如果按性別比例分層抽樣，應選男女生各多少人； (2)隨機抽取8位同學的數(shù)學、物理分數(shù)對應如表： 學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 數(shù)學分數(shù)x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分數(shù)y 72 77 80 84 8

23、8 90 93 95 根據(jù)上表數(shù)據(jù)用散點圖說明物理成績y與數(shù)學成績x之間是否具有線性相關性？如果具有線性相關性，求出線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；如果不具有線性相關性，請說明理由． 第四章 1解：正確的只有D選項．故選D. 2解：任兩個變量均可作出散點圖，從散點圖上看有相關關系的才具有分析的價值，無相關關系的則作不出什么結(jié)論．故選C. 4解：由相關系數(shù)定義及散點圖所表達含義可知r2

24、.9＝75，因此圖表中的模糊數(shù)據(jù)為755－(62＋75＋81＋89)＝68.故選B. 6解：對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關，故r2＜0＜r1.故選C. 7解：價格的平均數(shù)＝＝10，銷售量的平均數(shù)＝＝8，由＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝－b＝8＋3.210＝40.故填40. 8解：根據(jù)題中所提供的信息，可知父親與兒子的身高的對應數(shù)據(jù)可列表如下： 父親的身高(x) 173 170 176 兒子的身高(y) 170 176 182 ?。?73，＝176，∴＝＝＝1，＝－＝176－173＝3. ∴回歸直線方程為＝x＋3，從而可預測他孫子的身高為182＋3＝185(cm)．故填185. 10解：(1)按性別比例分層抽樣，應選男生15＝3(人)，選女生25＝5(人)． (2)以數(shù)學成績x為橫坐標，物理成績y為縱坐標作散點圖如圖所示． 從散點圖可以看出這些點大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理與數(shù)學成績線性正相關． 設y與x的線性回歸方程是＝bx＋a，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出≈0.65，≈34.5， 所以y與x的回歸方程是＝0.65x＋34.5.