（浙江專版）2018年高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)學案 新人教A版選修2-2.doc

1．3.1　函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 預習課本P22～26，思考并完成下列問題 (1)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負有什么關系？ 　 　 (2)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么？ 　 (3)怎樣求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？ 　 　　　　 1．函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系 在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；如果恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)． [點睛]　對函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系的兩點說明 (1)若在某區(qū)間上有有限個點使f′(x)＝0，在其余的點恒有f′(x)>0，則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)． (2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0. 2．函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)值大小的關系 如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么這個函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，其圖象比較陡峭．即|f′(x)|越大，則函數(shù)f(x)的切線的斜率越大，函數(shù)f(x)的變化率就越大． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增．(　　) (2)函數(shù)在某一點的導數(shù)越大，函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”．(　　) (3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導數(shù)的絕對值越大．(　　) 答案：(1)　(2)　(3)√ 2．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，2)　　　　　　　　　 　B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 答案：D 3．函數(shù)f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上(　　) A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)上單調(diào)遞減 D．在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞增 答案：A 4. 函數(shù)y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的圖象是________(填“上升”或“下降”)的． 答案：上升 判斷或討論函數(shù)的單調(diào)性 [典例]　已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1－，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． [解]　 由題設知a≠0. f′(x)＝3ax2－6x＝3ax， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝. 當a>0時，若x∈(－∞，0)，則f′(x)>0. ∴f(x)在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)． 若x∈，則f′(x)<0， ∴f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)． 若x∈，則f′(x)>0， ∴f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)． 當a<0時，若x∈，則f′(x)<0. ∴f(x)在上是減函數(shù)． 若x∈，則f′(x)>0. ∴f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)． 若x∈(0，＋∞)，則f′(x)<0. ∴f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)． 　　 利用導數(shù)證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的思路 [活學活用] 判斷函數(shù)y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性． 解：∵y′＝(ax3－1)′＝3ax2. ①當a＞0時，y′≥0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增； ②當a＜0時，y′≤0，函數(shù)在R上單調(diào)遞減； ③當a＝0時，y′＝0，函數(shù)在R上不具備單調(diào)性. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 [典例]　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝x＋(b＞0)． [解]　(1)函數(shù)f(x)的定義域為R， f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，則3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令f′(x)＜0，則3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1. ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1)． (2)函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝′＝1－， 令f′(x)＞0，則(x＋)(x－)＞0， ∴x＞，或x＜－. ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)． 令f′(x)＜0，則(x＋)(x－)＜0， ∴－＜x＜，且x≠0. ∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－，0)和(0，)． (1)利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為： ①確定函數(shù)f(x)的定義域； ②求導數(shù)f′(x)； ③在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； ④根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． (2)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字隔開．　　　　　　 [活學活用] 1．設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是(　　) A．b2－4ac＞0　　　　　　 　B．b＞0，c＞0 C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac＜0 解析：選D　∵a＞0，f(x)為增函數(shù)， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＞0恒成立， ∴Δ＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac＜0， ∴b2－3ac＜0. 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的圖象過點P(1,2)，且在點P處的切線斜率為8. (1)求a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解：(1)∵函數(shù)f(x)的圖象過點P(1,2)，∴f(1)＝2. ∴a＋b＝1.① 又函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8， ∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ∴2a＋b＝5.② 解由①②組成的方程組，可得a＝4，b＝－3. (2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3＝(3x－1)(x＋3)， 令f′(x)>0，可得x<－3或x>； 令f′(x)<0，可得－3<x<. ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－3)，， 單調(diào)減區(qū)間為. 利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍 [典例]　若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，在(6，＋∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　[法一　直接法] f′(x)＝x2－ax＋a－1， 令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1. 當a－1≤1，即a≤2時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意． 當a－1>1，即a>2時，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，a－1)上單調(diào)遞減， 由題意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7. 故實數(shù)a的取值范圍為[5,7]． [法二　數(shù)形結(jié)合法] 如圖所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]． ∵在(1,4)內(nèi)f′(x)≤0， 在(6，＋∞)內(nèi)f′(x)≥0， 且f′(x)＝0有一根為1， ∴另一根在[4,6]上． ∴ 即∴5≤a≤7. 故實數(shù)a的取值范圍為[5,7] [法三　轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題] f′(x)＝x2－ax＋a－1. 因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立． 即a(x－1)≥x2－1在(1, 4)上恒成立，所以a≥x＋1，因為2<x＋1<5，所以當a≥5時，f′(x)≤0在(1, 4)上恒成立，又因為f(x)在(6，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立， 所以a≤x＋1，因為x＋1>7，所以a≤7時，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．綜上知5≤a≤7. 故實數(shù)a的取值范圍為[5,7]． 1．利用導數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路 (1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意． (2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意． 2．恒成立問題的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max. (2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.　　　　　　 [活學活用] 若f(x)＝(x∈R)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)，則a∈________. 解析：f′(x)＝2， ∵f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)， ∴f′(x)＝2≥0. ∵(x2＋2)2＞0， ∴x2－ax－2≤0對x∈[－1,1]恒成立． 令g(x)＝x2－ax－2， 則 即　 ∴－1≤a≤1. 即a的取值范圍是[－1,1]． 答案：[－1,1] 層級一　學業(yè)水平達標 1．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是(　　) A．y＝sin x　　　　　　　 　B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 解析：選B　B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上為增函數(shù)．對于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情況． 2．若函數(shù)y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　y′＝3x2＋2x＋m，由條件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥. 3．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析：選D　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，故選D. 4.已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，下面四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是(　　) 解析：選C　當0＜x＜1時，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故y＝f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，排除A，B.當x＞1時，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，排除D，故選C. 5．若函數(shù)y＝a(x3－x)的單調(diào)減區(qū)間為，則a的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解析：選A　y′＝a(3x2－1)＝3a. 當－＜x＜時，＜0， 要使y＝a(x3－x)在上單調(diào)遞減， 只需y′＜0，即a＞0. 6．函數(shù)f(x)＝cos x＋x的單調(diào)遞增區(qū)間是________． 解析：因為f′(x)＝－sin x＋＞0，所以f(x)在R上為增函數(shù)． 答案：(－∞，＋∞) 7．若函數(shù)y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上為增函數(shù)，則a∈________. 解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0， ∵當x∈(－1,2)時，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0. 答案：(－∞，0) 8．若函數(shù)y＝－x3＋ax有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是　　　　. 解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三個單調(diào)區(qū)間， ∴方程y′＝－4x2＋a＝0有兩個不等的實根， ∴Δ＝02－4(－4)a>0，∴a>0. 答案：(0，＋∞) 9．設函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3bx的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(1，－11)． (1)求a，b的值； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 解：(1)求導得f′(x)＝3x2－6ax＋3b. 由于f(x)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(1，－11)， 所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12， 即解得a＝1，b＝－3. (2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞3； 又令f′(x)＜0，解得－1＜x＜3. 所以當x∈(－∞，－1)時，f(x)是增函數(shù)； 當x∈(－1,3)時，f(x)是減函數(shù)； 當x∈(3，＋∞)時，f(x)也是增函數(shù)． 10．已知a≥0，函數(shù)f(x)＝(x2－2ax)ex.設f(x)在區(qū)間[－1,1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍． 解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex ＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]． 令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0. 解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋， 令f′(x)＞0，得x＞x2或x＜x1， 令f′(x)＜0，得x1＜x＜x2. ∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0. 由此可得f(x)在[－1,1]上是單調(diào)函數(shù)的充要條件為x2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥. 故所求a的取值范圍為. 層級二　應試能力達標 1.已知函數(shù)f(x)＝＋ln x，則有(　　) A．f(2)<f(e)<f(3)　　　 　B．f(e)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2) 解析：選A　在(0，＋∞)內(nèi)，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以有f(2)<f(e)<f(3)． 2.設f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能的是(　　) 解析：選C　由f′(x)的圖象知，x∈(－∞，0)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)．只有C符合題意，故選C. 3．函數(shù)y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的單調(diào)增區(qū)間是(　　) A.和 B.和 C.和 D.和 解析：選A　y′＝xcos x，當－π＜x＜－時，cos x＜0，∴y′＝xcos x＞0，當0＜x＜時，cos x＞0，∴y′＝xcos x＞0. 4．設函數(shù)F(x)＝是定義在R上的函數(shù)，其中f(x)的導函數(shù)f′(x)滿足f′(x)<f(x)對于x∈R恒成立，則(　　) A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0) B．f(2)<e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0) C．f(2)<e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0) D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0) 解析：選C　∵函數(shù)F(x)＝的導數(shù)F′(x)＝＝<0， ∴函數(shù)F(x)＝是定義在R上的減函數(shù)， ∴F(2)<F(0)，即<，故有f(2)<e2f(0)． 同理可得f(2 016)<e2 016f(0)．故選C. 5．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍為________________． 解析：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，則Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由題意知，b＜－1或b＞2. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 6．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是_____________． 解析：∵f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)， ∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0， ∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立， g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1， ∴g(x)min＝－1，∴b≤－1. 答案：(－∞，－1] 7．設函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2. (1)若a＝，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍． 解：(1)a＝時，f(x)＝x(ex－1)－x2， f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 當x∈(－∞，－1)時，f′(x)＞0； 當x∈(－1,0)時，f′(x)＜0； 當x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞0. 故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)，(0，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(－1,0)． (2)f(x)＝x(ex－1－ax)． 令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a. ①若a≤1，則當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)， 而g(0)＝0，從而當x≥0時，g(x)≥0，即f(x)≥0. ②當a＞1，則當x∈(0，ln a)時，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)， 而g(0)＝0，從而當x∈(0，ln a)時，g(x)＜0，即f(x)＜0，不符合題意， 綜上得a的取值范圍為(－∞，1]． 8．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1. (1)是否存在實數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由． (2)證明：f(x)＝x3－ax－1的圖象不可能總在直線y＝a的上方． 解：(1)已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1， ∴f′(x)＝3x2－a， 由題意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立． 但當x∈(－1,1)時，0＜3x2＜3，∴a≥3， 即當a≥3時，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減． (2)證明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a， 即存在點(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的圖象上，且在直線y＝a的下方． 即f(x)的圖象不可能總在直線y＝a的上方．