02第二章 平面向量

第二章 平面向量 §2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念 班級(jí)___________姓名____________學(xué)號(hào)____________得分____________ 一、選擇題 1．下列物理量中，不能稱為向量的是 （ ） A．質(zhì)量 B．速度 C．位移 D．力 2．設(shè)O是正方形ABCD的中心，向量是 （ ） A．平行向量 B．有相同終點(diǎn)的向量 C．相等向量 D．模相等的向量 3．下列命題中，正確的是 （ ） A．|a| = |b|a = b B．|a|> |b|a > b C．a(chǎn) = ba與b共線 D．|a| = 0a = 0 4．在下列說法中，正確的是 （ ） A．兩個(gè)有公共起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同; B．模為0的向量與任一非零向量平行; C．向量就是有向線段; D．若|a|=|b|，則a=b 5．下列各說法中，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為 （ ） （1）向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等;（2）兩個(gè)非零向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反;（3）兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量;（4）共線向量是可以移動(dòng)到同一條直線上的向量;（5）平行向量就是向量所在直線平行 A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) *6．△ABC中，D、E、F分別為BC、CA、AB的中點(diǎn)，在以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線段所表示的向量中，與共線的向量有 （ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè) 二、填空題 7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共線向量一定相等；(4)相等向量一定共線；(5)長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量中，說法錯(cuò)誤的是_______________________． 8．如圖，O是正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED、OCFB是正方形，在圖中所示的向量中， （1）與相等的向量有_________________________； （2）與共線的向量有_________________________； （3）與模相等的向量有_______________________； （4）向量與是否相等？答：_______________． 9．O是正六邊形ABCDEF的中心，且a，b，c，在以A、B、C、D、E、F、O為端點(diǎn)的向量中： （1）與a相等的向量有 ； （2）與b相等的向量有 ； （3）與c相等的向量有 ． *10．下列說法中正確是_______________（寫序號(hào)） （1）若a與b是平行向量，則a與b方向相同或相反； （2）若與共線，則點(diǎn)A、B、C、D共線； （3）四邊形ABCD為平行四邊形，則=； （4）若a = b，b = c，則a = c ； （5）四邊形ABCD中，且，則四邊形ABCD為正方形； （6）a與b方向相同且|a| = |b|與a = b是一致的； 三、解答題 11．如圖，以1×3方格紙中兩個(gè)不同的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，有多少種大小不同的模？有多少種不同的方向？ 12．在如圖所示的向量a、b、c、d、e中（小正方形邊長(zhǎng)為1）是否存在共線向量？相等向量？模相等的向量？若存在，請(qǐng)一一舉出． 13．某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了200m達(dá)到B點(diǎn)，然后改變方向向西偏北600走了450m到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向向東走了200m到達(dá)D點(diǎn) （1）作出向量、、（1cm表示200m）； （2）求的模． *14．如圖，中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤上有一只“馬”，開始下棋時(shí)它位于A點(diǎn)，這只“馬”第一步有幾種可能的走法？試在圖中畫出來；若它位于圖中的P點(diǎn)，則這只“馬”第一步有幾種可能的走法？它能否走若干步從A點(diǎn)走到與它相鄰的B點(diǎn)處？ §2.2. 1 向量加減運(yùn)算及幾何意義 班級(jí)___________姓名____________學(xué)號(hào)____________得分____________ 一、選擇題 1．化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是 （ ） A． B． C．0 D． 2．設(shè)a，b且|a|=| b|=6，∠AOB=120，則|a－b|等于 （ ） A．36 B．12 C．6 D． 3．a(chǎn)，b為非零向量，且|a+ b|=| a|+| b|，則 （ ） A．a(chǎn)與b方向相同 B．a(chǎn) = b C．a(chǎn) =－b D．a(chǎn)與b方向相反 4．在平行四邊形ABCD中，若，則必有 （ ） A．ABCD為菱形 B．ABCD為矩形 C．ABCD為正方形 D．以上皆錯(cuò) 5．已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，=a，=b，=c，則|a+b+c|等于 （ ） A．0 B．3 C． D． *6．設(shè)a，而b是一非零向量，則下列個(gè)結(jié)論：(1) a與b共線；（2）a + b = a；(3) a + b = b；(4)| a + b|<|a |+|b|中正確的是 （ ） A．(1) (2) B．(3) (4) C．(2) (4) D．(1) (3) 二、填空題 7．在平行四邊形ABCD中，a， b，則__________，_______． 8．在a =“向北走20km”，b =“向西走20km”，則a + b表示______________． 9．若8，5，則的取值范圍為_____________． *10．一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以km/h的速度向垂直于河岸的方向行駛，而船實(shí)際行駛速度的大小為4km/h，則河水的流速的大小為___________． 三、解答題 11．如圖，O是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，用表示． 12．如圖，在任意四邊形ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，求證：． 13．飛機(jī)從甲地按南偏東100方向飛行2000km到達(dá)乙地，再?gòu)囊业匕幢逼?00方向飛行2000km到達(dá)丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距離甲地多遠(yuǎn)？ C A B F E D *14．點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、CA上的中點(diǎn)， 求證：（1）； （2）0． §2. 2. 2 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 班級(jí)___________姓名____________學(xué)號(hào)____________得分____________ 一、選擇題 1．已知向量a= e1-2 e2，b=2 e1+e2, 其中e1、e2不共線，則a+b與c=6 e1-2 e2的關(guān)系為（ ） A．不共線 B．共線 C．相等 D．無法確定 2．已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,則x－y的值等于 （ ） A．3 B．-3 C．0 D．2 3．若=3a, =－5a ,且,則四邊形ABCD是 （ ） A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰梯形 4．AD、BE分別為△ABC的邊BC、AC上的中線，且=a ,=b ,那么為（ ） A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)－b C．a(chǎn)－b D． －a＋b 5．已知向量a ,b是兩非零向量，在下列四個(gè)條件中，能使a ,b共線的條件是 （ ） ①2a -3b=4e且a+2b= -3e ②存在相異實(shí)數(shù)λ ，μ，使λa -μb=0 ③xa+yb=0 (其中實(shí)數(shù)x, y滿足x+y=0) ④已知梯形ABCD，其中=a ,=b A．①② B．①③ C．② D．③④ *6．已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，若，則（ ） A．P在△ABC 內(nèi)部 B．P在△ABC 外部 C．P在AB邊所在直線上 D．P在線段BC上 二、填空題 7．若|a|=3,b與a方向相反,且|b|=5,則a= b 8．已知向量e1 ,e2不共線，若λe1－e2與e1－λe2共線,則實(shí)數(shù)λ= 9．a(chǎn),b是兩個(gè)不共線的向量，且=2a＋kb ,=a＋3b ,=2a－b ,若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值可為 *10．已知四邊形ABCD中，=a－2c,=5a＋6b－8c對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)為E、F，則向量 三、解答題 11．計(jì)算：⑴(－7)×6a= ⑵4(a＋b)－3(a－b)－8a= ⑶(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)= 12．如圖，設(shè)AM是△ABC的中線，=a , =b ,求 13．設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線, ⑴若=a＋b ,=2a＋8b ,=3(a－b) ,求證：A、B、D三點(diǎn)共線; ⑵試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線. *14．設(shè),不共線,P點(diǎn)在AB上,求證:=λ+μ且λ+μ=1(λ, μ∈R). §2. 3. 1平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（1） 班級(jí)___________姓名____________學(xué)號(hào)____________得分____________ 一、選擇題 1．下列向量給中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 （ ） A．e1=(0,0), e2 =(1,－2) ; B．e1=(-1,2),e2 =(5,7); C．e1=(3,5),e2 =(6,10); D．e1=(2,-3) ,e2 = 2．已知向量a、b，且=a+2b ,= -5a+6b ,=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是 （ ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C 、D D．A、C、D 3．如果e1、 e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么在下列各說法中錯(cuò)誤的有 （ ）①λe1＋μe2(λ, μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量； ②對(duì)于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ, μ有無數(shù)多對(duì)； ③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)； ④若實(shí)數(shù)λ, μ使λe1＋μe2=0，則λ=μ=0. A．①② B．②③ C．③④ D．僅② 4．過△ABC的重心任作一直線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，若=x,=y,xy≠0，則的值為 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,則c= ( ) A．-a+3b B．3a-b C．a(chǎn)-3b D．-3a+b *6．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C(x, y)滿足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，則x, y所滿足的關(guān)系式為 （ ） A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0 二、填空題 7．作用于原點(diǎn)的兩力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,為使得它們平衡，需加力F3= ; 8．若A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且=2,則x= ，y= ; 9．已知A(2,3),B(1,4)且=(sinα,cosβ), α,β∈(-,),則α+β= *10．已知a=(1,2) ,b=(-3,2),若ka+b與a-3b平行，則實(shí)數(shù)k的值為 三、解答題 11.已知向量b與向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b 12．如果向量=i-2j ,=i+mj ,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)m的值使A、B、C三點(diǎn)共線。 13．已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,-1)、(1,2）, 求證： *14．已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若，試求λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？ §2.3.2 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示(2) 班級(jí)___________姓名____________學(xué)號(hào)____________得分____________ 一、選擇題 1．三點(diǎn)A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3)共線的充要條件是 ( ) A．x1y2－x2y1=0 B．x1y3－x3y1=0 C．( x2－x1)(y3－y1)=(x3－x1)(y2－y1) D．(x2－x1) (x3－x1) = (y2－y1) (y3－y1) 2．已知A, B, C三點(diǎn)共線,且A (3,-6),B(-5,2),若點(diǎn)C橫坐標(biāo)為6,則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ( ) A．-13 B．9 C．－9 D．13 3．若三點(diǎn)P(1,1)，A(2,－4)，B(x,－9)共線，則 ( ) A．x =－1 B．x=3 C．x= D．51 4．下列各組的兩個(gè)向量，共線的是　　　　　　　 　　　　　　　( ) A．a(chǎn)1=(－2,3), b1=(4,6) B．a(chǎn)2=(2,3), b2=(3,2) C．a(chǎn)3=(1, -2), b3=(7, －14) D．a(chǎn)4=(－3, 2), b4=(6, －5) 5．設(shè)a=(,sinα)，b=(cosα,)，且a// b，則銳角α為 ( ) A．30o B．60o C．45o D．75o *6．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(3,7)和B(-2,5)，若AC的中點(diǎn)在x軸上，BC的中點(diǎn)在y軸上，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ( ) A．(2,－7) B．(－7,2) C．(－3,－5) D．(5,3) 二.填空題 7．△ABC的三條邊的中點(diǎn)分別為(2,1)和(-3,4),(-1,-1)，則△ABC的重心坐標(biāo)為_________． 8．已知向量a=(2x,7), b=(6,x+4)，當(dāng)x=________時(shí)，a//b． 9．若|a|=2，b =(－1,3)，且a//b，則a =________． *10．設(shè)點(diǎn)M1(2,－2), M2(－2,6)，點(diǎn)M在M2M1的延長(zhǎng)線上，且| M1M|=|M M2|，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是________． 三.解答題 11．設(shè)向量=(k,12),=(4,5),=(10,k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線？ 12．已知點(diǎn)Ｂ(1,0)是向量a的終點(diǎn)，向量b, c均以原點(diǎn)Ｏ為起點(diǎn)，且b=(－3,－4), c=(1,1)與向量a的關(guān)系為a=3b－2c，求向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)． 13．已知三個(gè)力F1=(3,4), F2=(2,－5), F3=(x, y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐標(biāo)． *14．已知A(-1, -1),B(1,3),C(4, 9) (1)求證：A,B,C三點(diǎn)共線； (2)求λ1=和λ2=，并解釋?duì)?，λ2的幾何意義。. §2.4 平面向量的數(shù)量積 班級(jí)___________姓名____________學(xué)號(hào)____________得分____________ 一、選擇題： 1．已知|a|=，|b|=4，且a與b的夾角為，則a·b的值是 （ ） A．1 B．±1 C．2 D．±2 2．△ABC中， ,則△ABC是 （ ） A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a＝2i+3j,b=ki-4j,若 a⊥b，則k的值是 （ ） A．6 B．－6 C．3 D．－3 4．已知a，b，c為非零向量，t為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是 （ ） A．|a·b|=|a||b| B．(a·b)·c=a·(b·c) C．t a·b=t b·a D．a(chǎn)·b= a·c=b·c 5．已知兩個(gè)力F1,F2的夾角為900，它們的合力的大小為10N，合力與F1的夾角為600，則 F1的大小為 （ ） A． B．5N C．10N D． *6．已知a2＝1，b2＝2，（a－b）· a＝0，則a與b的夾角為 （ ） A．300 B．450 C．600 D．900 二．填空題： 7．已知下列各式：①|(zhì)a|2=a2②=③(a·b)2=a2·b2④（a＋b）2=a2+2a·b+b2,其中正確的等式的序號(hào)是___________ 8．已知|a|=2,|b|=4,a·b=3,則(2a－3b)·(2a+b)=____________ 9．已知向量(-1,2), (8,m),若,則m =____________ *10．若a=(λ,4),b=(-3,5),且a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是_____________ 三.解答題: 11．已知a,b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b的夾角. 12.已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,求a,b的夾角θ. 13.以原點(diǎn)和點(diǎn)A(3,1)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形△OAB,∠B=90o,,求點(diǎn)B的坐標(biāo). *14.已知向量a=(,－1),b=(,),若存在非零實(shí)數(shù)k,t使得x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且x⊥y,試求：的最小值. §2. 5平面向量應(yīng)用舉例 班級(jí)___________姓名____________學(xué)號(hào)____________得分____________ 一、選擇題 1.如果△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(4,6),B(-2,1),C(4,-1),則重心的坐標(biāo)是 ( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4) 2.人騎自行車的速度為v1,風(fēng)速為v2,則逆風(fēng)行駛的速度大小為 ( ) A. v1- v2 B. v1+ v2 C. |v1 |- |v2 | D. 3.在菱形ABCD中,下列關(guān)系中不正確的是 ( ) A. B. C. D. 4.某人在高為h米的樓上水平拋出一石塊，速度為v，則石塊落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)的水平位移的大小是 （ ） A．v B |v| C．v D．|v| 5.兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1、F2，當(dāng)它們間夾角為900時(shí)合力大小為20N，則當(dāng)他們的夾角為1200時(shí)，合力的大小為 （ ） A．40N B．N C．N D．N 二、填空題 7.某人以時(shí)速akm向東行走,此時(shí)正刮著時(shí)速akm的南風(fēng),那么此人感到的風(fēng)向是 ,風(fēng)速為 . 8.已知=a-b,=2a-b,|a|=3,|b|=4, a與b的夾角為600,則△ABC的三邊的長(zhǎng)分別是 , , . 9.一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為，則船實(shí)際航行的速度的大小和方向是 . 10.已知向量a=(x1，y1),b=(x2，y2),c=(x3，y3)，定義運(yùn)算“*”的意義為a * b=(x1y2，x2y1).則下列命題：①.若a=(1,2),b=(3,4)，則a * b=(6，4)；②.a * b=b * a；③. (a*b)*c=a*（b*c）；④.（a+b）*c=(a * c)+(b * c)中，正確的命題序號(hào)是__*___ 三、解答題 11.已知M為△ABC的邊BC的中點(diǎn),求證:AB2+AC2=2(AM2+BM2). 12.在等腰△ABC中,BD、CE是兩腰上的中線，且BD⊥CE，求頂角A的余弦值. 13.某一天,一船從南岸出發(fā),向北岸橫渡.根據(jù)測(cè)量,這一天水流速度為3km/h,方向正東,風(fēng)的方向?yàn)楸逼?00,受風(fēng)力影響,靜水中船的漂行速度為3km/h,若要使該船由南向北沿垂直與河岸的方向以km/h的速度橫渡,求船本身的速度大小及方向.