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1、第第7講解三角形應用舉例講解三角形應用舉例 【2014年高考會這樣考】 考查利用正、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題考點梳理考點梳理 測量距離問題、高度問題、角度問題、航海問題等 (1)仰角和俯角 在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線_時叫仰角，目標視線在水平視線_時叫俯角(如圖(a)1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型2實際問題中常見的角實際問題中常見的角上方上方下方下方 (2)方位角 從某點的指北方向線起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角如B點的方位角為(如圖(b) (3)方向角：正北
2、或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)度 (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù) 一個步驟 解三角形應用題的一般步驟： (1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系 (2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型 (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解 (4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等【助學助學微博微博】 兩種情形 解三角形應用題常有以下兩種情形： (1)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 (2)實際問題經抽象概括后，
3、已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解 A北偏東10 B北偏西10 C南偏東10 D南偏西10考點自測考點自測1兩座燈塔兩座燈塔A和和B與海岸觀察站與海岸觀察站C的距離相等，燈塔的距離相等，燈塔A在在觀察站北偏東觀察站北偏東40，燈塔，燈塔B在觀察站南偏東在觀察站南偏東60，則，則燈塔燈塔A在燈塔在燈塔B的的 ()解析解析燈塔燈塔A，B的相對位置如圖所的相對位置如圖所示，由已知得示，由已知得ACB80，CABCBA50，則，則605010，即北偏西，
4、即北偏西10.答案答案B2. 如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點的距離為 () 答案A3. 要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為 () 答案D4一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速度是每小時 () 答案C5甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望
5、乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是_考向一考向一測量距離問題測量距離問題 審題視點 在BDC中求BC，然后在ABC中求AB. 解在ACD中， ADC30，ACD120， (1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學模型的解【訓練訓練1】 如圖，為了測量河的寬如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點度，在一岸邊選定兩點A，B望對望對岸的標記物岸的標記物C，測得，測得CAB30，CBA75，AB120 m，則這條河的寬度為，則這條河的寬度為 答案答案60 m_【例2】 如圖，某人在塔的正東方向上的C處在
6、與塔垂直的水平面內沿南偏西60的方向以每小時6千米的速度步行了1分鐘以后，在點D處望見塔的底端B在東北考向二考向二測量高度問題測量高度問題(1)求該人沿南偏西求該人沿南偏西60的方向走到仰角的方向走到仰角最大時，走最大時，走了幾分鐘；了幾分鐘；(2)求塔的高求塔的高AB.方向上，已知沿途塔的仰角方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值的最大值為為60. 審題視點 (1)在DBC中用正弦定理求BC，在RtABE中，確定最大值的條件，再求EC. (2)在RtBEC中，求BE，再在RtABE中求AB. 解(1)依題意知，在DBC中，BCD30，DBC180DBF18045135， (1)在處理有關高
7、度問題時，要理解仰角、俯角是一個關鍵 (2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯 【訓練2】 如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB. 審題視點 根據(jù)題意畫出示意圖，分清已知和未知條件，將問題集中到一個三角形中，利用正、余弦定理解決考向三考向三測量角度問題測量角度問題 故緝私船沿北偏東60方向，需14.7分鐘才能追上走私船 根據(jù)示意圖，把所求量放在有關三角形中，有根據(jù)示意圖，把所求量放在
8、有關三角形中，有時直接解此三角形解不出來，需要先在其他三角形中求解時直接解此三角形解不出來，需要先在其他三角形中求解相關量相關量 (1)求漁船甲的速度； (2)求sin 的值【訓練訓練3】 如圖，漁船甲位于島嶼如圖，漁船甲位于島嶼A的的南偏西南偏西60方向的方向的B處，且與島嶼處，且與島嶼A相距相距12海里，漁船乙以海里，漁船乙以10海里海里/時時的速度從島嶼的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北處出發(fā)沿北偏東偏東的方向追趕漁船乙，剛好用的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上，此時到達小時追上，此時到達C處處 解(1)依題意知，BAC120，
9、AB12海里，AC10220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784. 解得BC28(海里)【命題研究】 通過近三年的高考試題分析，對用正、余弦定理解決實際問題的考查有所減少預計在今后的高考中會有加大考查力度的趨勢，主要考查測量距離和高度問題，屬于中檔題目方法優(yōu)化方法優(yōu)化5正、余弦定理在解決實際問題中的應用技巧正、余弦定理在解決實際問題中的應用技巧 教你審題 思路1 連接B1A2(復雜) 思路2 連接A1B2(簡單) 反思 結合圖形分析，確定所給條件及所求的結論，選擇適當?shù)娜切螘o解題帶來事半功倍的效果【試一試】 2012年8月2日，強臺風“達維”在江蘇省鹽城市登陸，臺風中心最大風力達到10級以上，大風、降雨給災區(qū)帶來嚴重的災害，不少大樹因大風折斷某路邊一樹干被臺風吹斷后，折成與地面成45角，樹干也傾斜為與地面成75角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點與樹干底部的距離是_米
高考數(shù)學一輪總復習 第四篇 第7講 解三角形應用舉例課件 理 湘教版
