高考新坐標高考數學總復習 第八章 第9節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關系課件

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1、啟啟智智慧慧高高考考研研析析課課后后限限時時自自測測固固基基礎礎自自主主落落實實提提知知能能典典例例探探究究第九節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系考綱傳真1 掌握解決直線與橢圓、 拋物線的位置關系的思想方法 2.了解圓錐曲線的簡單應用3.理解數形結合的思想1直線與圓錐曲線的位置關系將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立， 消去一個變量得到關于x(或 y)的一元方程：ax2bxc0(或 ay2byc0)(1)當 a0，可考慮一元二次方程的判別式，有0直線與圓錐曲線；0直線與圓錐曲線；0直線與圓錐曲線 相交相切相離(2)當 a0，b0 時，即得到一個一元一次方程，則直線 l與圓錐曲線 E 相交，且只有一個交點若 E

2、 為雙曲線，則直線 l 與雙曲線的漸近線的位置關系是；若 E 為拋物線，則直線 l 與拋物線的對稱軸的位置關系是2圓錐曲線的弦長設斜率為 k(k0)的直線 l 與圓錐曲線 C 相交于 A、 B 兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|11k2|y2y1|.平行平行平行或重合平行或重合1(夯基釋疑)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)直線 l 與橢圓 C 相切的充要條件是： 直線 l 與橢圓 C 只有一個公共點()(2)直線 l 與雙曲線 C 相切的充要條件是：直線l 與雙曲線 C只有一個公共點()解析由直線與圓錐曲線的位置關系知(1)，(4)正確，(2)， (3)

3、不正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)直線 yk(x1)1 與橢圓x29y241 的位置關系是()A相交B相切C相離D不確定解析 直線 yk(x1)1 恒過定點(1，1)，又點(1，1)在橢圓內部，故直線與橢圓相交答案A3已知傾斜角為 60的直線 l 通過拋物線 x24y 的焦點，且與拋物線相交于 A、B 兩點，則弦 AB 的長為_解析直線 l 的方程為 y 3x1，由y 3x1，x24y，得 y214y10.設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1y214，|AB|y1y2p14216.答案164(2015青島質檢)已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦點為F，橢

4、圓 C 與過原點的直線相交于A，B 兩點，連結 AF，BF.若|AB|10，|BF|8，|AF|6，則橢圓 C 的離心率 e_解析由|AB|2|BF|2|AF|2，知AFB90，由橢圓定義，知 2a|AF|BF|14，a7.在 RtABF 中，c|OF|12|AB|5，故 eca57.答案575 (2014課標全國卷改編)設 F 為拋物線 C： y23x 的焦點，過 F 且傾斜角為 30的直線交 C 于 A，B 兩點，O 為坐標原點，則OAB 的面積為_解析由 y23x 知焦點 F34，0，直線 AB 的方程為 y33x34 .代入 y23x，消去 x，得 4y212 3y90.設 A(x1，

5、y1)，B(x2，y2)，則 y1y23 3，y1y294.因此 SOAB12|OF|y1y2|1234（y1y2）24y1y294.答案94考向 1直線與圓錐曲線的位置關系【典例 1】(2015濟南質檢)在平面直角坐標系 xOy 中，已知橢圓 C1：x2a2y2b21(ab0)的左焦點為 F1(1，0)，且點 P(0，1)在 C1上(1)求橢圓 C1的方程；(2)設直線 l 同時與橢圓 C1和拋物線 C2：y24x 相切，求直線l 的方程解(1)橢圓 C1的左焦點為 F1(1，0)，c1，又點 P(0，1)在曲線 C1上，0a21b21，得 b1，則 a2b2c22，所以橢圓 C1的方程為x

6、22y21.(2)由題意可知，直線 l 的斜率顯然存在且不等于 0，設直線 l的方程為 ykxm，由x22y21，ykxm，消去 y 得(12k2)x24kmx2m220.因為直線 l 與橢圓 C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得 2k2m210.由y24x，ykxm，消去 y 得 k2x2(2km4)xm20.因為直線 l 與拋物線 C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得 km1.綜合，解得k22，m 2或k22，m 2.所以直線 l 的方程為 y22x 2或 y22x 2.【規(guī)律方法】1判定直線與圓錐曲線的位置關系，一般是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消

7、去 x(或 y)，判定該方程組解的個數，方程組有幾組解，直線與圓錐曲線就有幾個交點但應注意兩點：(1)消元后需要討論含 x2(或 y2)項的系數是否為 0；(2)重視“判別式”起的限制作用2對于選擇題、填空題，要充分利用幾何條件，借助數形結合的思想方法直觀求解，優(yōu)化解題過程【變式訓練 1】(2014湖北高考改編)在平面直角坐標系 xOy中，點 M 到點 F(1，0)的距離比它到 y 軸的距離多 1.記點 M 的軌跡為 C.(1)求軌跡 C 的方程；(2)設斜率為 k 的直線 l 過定點 P(2，1)，若直線 l 與軌跡 C恰好有一個公共點，求實數 k 的取值范圍解(1)設點 M(x，y)，依題

8、意|MF|x|1， （x1）2y2|x|1，化簡得 y22(|x|x)，故軌跡 C 的方程為 y24x（x0） ，0（x0）.(2)在點 M 的軌跡 C 中，記 C1：y24x；C2：y0(x0)依題意，可設直線 l 的方程為 y1k(x2)由方程組y1k（x2） ，y24x，可得 ky24y4(2k1)0.(1)當 k0 時，此時 y1.把 y1 代入軌跡 C 的方程，得 x14.故此時直線 l：y1 與軌跡 C 恰好有一個公共點14，1.(2)當 k0 時，方程的16(2k2k1)16(2k1)(k1)，設直線 l 與 x 軸的交點為(x0，0)，則由 y1k(x2)，令 y0，得 x02

9、k1k.若0，x00，由解得 k12.所以當 k12時， 直線 l 與曲線 C1沒有公共點， 與曲線C2有一個公共點，故此時直線 l 與軌跡 C 恰好有一個公共點若0，x00，即2k2k10，2k1k0，解集為.綜上可知，當 k12或 k0 時，直線 l 與軌跡 C 恰有一個公共點考向 2中點弦與弦長問題【典例 2】平面直角坐標系 xOy 中，過橢圓 M：x2a2y2b21(ab0)右焦點的直線 xy 30 交 M 于 A，B 兩點，P 為 AB的中點，且 OP 的斜率為12.(1)求 M 的方程；(2)C， D 為 M 上的兩點， 若四邊形 ACBD 的對角線 CDAB，求四邊形 ACBD

10、面積的最大值解(1)設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則x12a2y12b21，x22a2y22b21，y2y1x2x11，由此可得b2（x2x1）a2（y2y1）y2y1x2x11.因為 x1x22x0，y1y22y0，y0 x012，所以 a22b2.又由題意知，M 的右焦點為( 3，0)，故 a2b23.因此 a26，b23.所以 M 的方程為x26y231.(2)由xy 30，x26y231，解得x4 33，y33或x0，y 3.因此|AB|4 63.由題意可設直線 CD 的方程為 yxn5 33n 3，設C(x3，y3)，D(x4，y4)由yxn，x26y23

11、1，得 3x24nx2n260.于是 x3，42n 2（9n2）3.因為直線 CD 的斜率為 1，所以|CD| 2|x4x3|439n2.由已知，四邊形 ACBD 的面積S12|CD|AB|8 699n2，當 n0 時，S 取得最大值，最大值為8 63.所以四邊形 ACBD 面積的最大值為8 63.【規(guī)律方法】1本題第(1)問主要考查直線與圓錐曲線相交的中點弦問題，解題關鍵是用點差法和設而不求的方法；第(2)問關鍵是設出直線CD 的方程與 M 的方程，聯(lián)立方程組，利用弦長公式求出|CD|，轉化為關于參數的函數問題2涉及弦的中點與直線的斜率問題，可考慮“點差法”，構造出 kABy1y2x1x2和

12、 x1x2，y1y2，整體代換，求出中點或斜率，體現(xiàn)“設而不求”的思想【變式訓練 2】 橢圓 ax2by21 與直線 xy10 相交于A，B 兩點，C 是 AB 的中點，若 AB2 2，O 為坐標原點，OC的斜率為22，求橢圓的方程解由ax2by21，xy10得(ab)x22bxb10，設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，依題意得ax12by121，且 ax22by221，兩式相減，得 a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，又y1y2x1x21，y1y2x1x2kOC22，代入上式可得 b 2a.再由|AB| 1k2|x2x1| 2|x2x1|2 2，得(x1x2)24x

13、1x24，其中 x1、x2是方程(ab)x22bxb10 的兩根，故2bab24b1ab4，將 b 2a 代入得 a13，b23.所求橢圓的方程是x232y231.考向 3定點(定直線)與定值問題【典例 3】(2014江西高考)如圖 891， 已知拋物線 C： x24y，過點 M(0，2)任作一直線與 C 相交于 A，B 兩點，過點 B 作 y 軸的平行線與直線 AO 相交于點 D(O 為坐標原點)(1)證明：動點 D 在定直線上；(2)作 C 的任意一條切線 l(不含 x 軸)，與直線 y2 相交于點N1，與(1)中的定直線相交于點N2.證明：|MN2|2|MN1|2為定值，并求此定值解(1

14、)依題意可設 AB 方程為 ykx2，代入 x24y，得 x24(kx2)，即 x24kx80.設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有 x1x28.直線 AO 的方程為 yy1x1x；BD 的方程為 xx2.聯(lián)立兩方程，得交點 D 的坐標為x2，x2y1x1，注意到 x1x28 及 x124y1，則有 yy1x1x2x128y14y12.因此 D 點在定直線 y2 上(x0)(2)依題設，切線 l 的斜率存在且不等于 0，設切線 l 的方程為yaxb(a0)，代入 x24y 得 x24(axb)，即 x24ax4b0.由0 得(4a)216b0，化簡整理得 ba2.故切線 l 的方程可寫

15、為 yaxa2.分別令 y2，y2 得 N1，N2的坐標為N12aa，2，N22aa，2，則|MN2|2|MN1|22aa2422aa28，即|MN2|2|MN1|2為定值 8.【規(guī)律方法】1求解本題的關鍵是利用方程思想， 求點 D、N1、 N2的坐標：(1)證明直線 AO 與直線 BD 的交點縱坐標是一個常數；(2)將切線 l與直線 y2 及由(1)求得的直線 y2 聯(lián)立求出點 N1， N2的坐標，通過計算證明|MN2|2|MN1|2是一個與參數無關的常數 、2對于直線過定點問題，常借助直線系的思想尋找定點；或從特殊位置入手，先求出定點，再加以驗證3求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入

16、手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值【變式訓練 3】(2015日照調研)橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率 e32，ab3.(1)求橢圓 C 的方程；(2)如圖 892 所示，A，B，D 是橢圓 C 的頂點，P 是橢圓 C 上除頂點外的任意一點，直線 DP 交 x 軸于點 N，直線 AD 交 BP 于點 M，設 BP 的斜率為 k，MN 的斜率為 m，證明：2mk 為定值圖 892解(1)因為 e32ca，所以 a23c，b13c.代入 ab3，得 c 3，a2，b1.故橢圓 C 的方程為x24y21.(2)由(1)知

17、，A(2，0)，B(2，0)，D(0，1)因為點 P 不是橢圓的頂點，則 BP 的斜率存在設直線 BP 的方程為 yk(x2)k0，k12 ，將代入x24y21，解得 P8k224k21，4k4k21 .直線 AD 的方程為 y12x1.與聯(lián)立解得 M4k22k1，4k2k1 .設 N 點坐標為(x，0)，由 D(0，1)，P8k224k21，4k4k21 ，N(x，0)三點共線知4k4k2118k224k21001x0，解得 N4k22k1，0.所以 MN 的斜率為m4k2k104k22k14k22k14k（2k1）2（2k1）22（2k1）22k14，則 2mk2k12k12(定值)考向

18、4圓錐曲線中最值、范圍問題(高頻考點)命題視角最值與范圍是圓錐曲線命題的熱點， 主要以解答題的一問呈現(xiàn)，命題的主要角度：(1)求弦長與相關距離的最值；(2)涉及相關面積的最值；(3)由直線與圓錐曲線的位置關系求參數的范圍、最值等【典例 4】(2014課標全國卷)已知點 A(0，2)，橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的離心率為32，F(xiàn) 是橢圓 E 的右焦點，直線 AF的斜率為2 33，O 為坐標原點(1)求 E 的方程；(2)設過點 A 的動直線 l 與 E 相交于 P，Q 兩點，當OPQ 的面積最大時，求 l 的方程思路點撥(1)由離心率及 AF 的斜率，求基本量確定橢圓 E的方程(2)

19、建立OPQ 面積的函數表達式，得出滿足 SOPQ取得最大值的條件，求得直線 l 的方程解(1)設 F(c，0)，kAF233，所以2c2 33，得 c 3.又ca32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程為x24y21.(2)當 lx 軸時不合題意，故設 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將 ykx2 代入x24y21 得(14k2)x216kx120.當16(4k23)0 時，則 k234，x1x216k14k2，x1x21214k2.|x1x2| （x1x2）24x1x24 4k234k21.從而|PQ| 1k2|x1x2|4 k21 4k234k21.又點 O 到直線

20、 PQ 的距離 d2k21，所以OPQ 的面積 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.設 4k23t，則 t0，SOPQ4tt244t4t.因為 t4t4，當且僅當 t2，即 k72時等號成立，且滿足0.所以，當OPQ 的面積最大時，l 的方程為 y72x2 或 y72x2【通關錦囊】1 求解第(2)問避免繁雜、 冗長的計算是解題的難點和關鍵 (1)巧用弦長公式，設而不求；(2)恰當換元，整體代換(等價轉化)，優(yōu)化解題過程2求解特定字母取值范圍(最值)的方法(1)幾何法， 若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決(2)代數法， 若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確

21、的函數關系，則可先建立起目標函數，再求這個函數的最值(值域)【變式訓練 4】(2014北京高考)已知橢圓 C 的方程為：x22y24.(1)求橢圓 C 的離心率；(2)設 O 為坐標原點，若點 A 在直線 y2 上，點 B 在橢圓 C上，且 OAOB，求線段 AB 長度的最小值解(1)由題意，橢圓 C 的標準方程為x24y221，所以 a24，b22，從而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故橢圓 C 的離心率 eca22.(2)設點 A，B 的坐標分別為(t，2)，(x0，y0)，其中 x00.因為 OAOB，則OAOB0所以 tx02y00，解得 t2y0 x0.又 x022y024，所

22、以|AB|2(x0t)2(y02)2x02y0 x02(y02)2x02y024y02x024x024x0222（4x02）x024x0228x024(0 x024)因為x0228x024(00(*)則 x1x24k，x1x24m.所以線段 AB 的中點 M 的坐標為(2k，2k2m)由于PF3FM，所以(x0，1y0)3(2k，2k2m1)解之得 x06k，且 y046k23m.又 4y0 x02，得 k2m5415.代入不等式(*)及 k20，得13m43.因為|AB| 1k2|x1x2|4 1k2 k2m，且點 F(0，1)到直線 AB 的距離 d|m1|1k2.所 以 SABF12|AB| d 2|m 1|k2m 4153m35m2m1設 f(m)3m35m2m113f43 .所以當 m19時，f(m)取到最大值256243.故ABF 面積的最大值為64 5135.