2014年蘇錫常鎮(zhèn)高三數(shù)學(xué)一模試卷及參考答案(純word版)

2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一） 數(shù)學(xué)Ⅰ試題 注 意 事 項(xiàng) 考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求 1．本試卷共4頁(yè)包含填空題（第1題——第14題）、解答題（第15題——第20題）．本卷滿(mǎn)分160分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后請(qǐng)將答題卡交回． 2．答題前請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置． 3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答在其他位置作答一律無(wú)效．作答必須用0．5毫米黑色墨水的簽字筆．請(qǐng)注意字體工整筆跡清楚． 4．如需作圖須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚線條、符號(hào)等須加黑、加粗． 5．請(qǐng)保持答題卡卡面清潔不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆． 參考公式： 柱體的體積公式：V柱體=，其中S是柱體的底面積，h是高． 直棱柱的側(cè)面積公式：S直棱柱側(cè)=ch，其中c是直棱柱的底面周長(zhǎng)，h是高． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上． 1．已知集合，，若，則 ▲ ． 結(jié)束 開(kāi)始 x ← 1 y ← 1 y ← 2y + 1 輸出y N Y （第5題） x≤5 x ← x + 1 Y 2．若復(fù)數(shù)z =（為虛數(shù)單位），則 | z | = ▲ ． 3．已知雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m的值為 ▲ ． 4．一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)分組后，分組與頻數(shù)分別如下：，2； ，3；，4；，5；，4；，2．則樣本在上的頻率是 ▲ ． 5．執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，則最后輸出的等于 ▲ ． 6．設(shè)函數(shù)，若，則的值為 ▲ ． 7． 四棱錐P - ABCD 的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥底面ABCD 且PA = 4，則PC與底面ABCD所成角的正切值為 ▲ ． 8．從甲，乙，丙，丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，則甲乙兩人中有且只有一個(gè)被選取的概率為 ▲ ． 9．已知，，則的值為 ▲ ． 10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則正整數(shù)= ▲ ． 11．已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為 ▲ ． （第12題） 12．如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，，設(shè)∥，若，則的值為 ▲ ． 13．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ▲ ． 14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在圓內(nèi)，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)且交圓于兩點(diǎn)，若△ABC的面積的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ▲ ． 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15．（本小題滿(mǎn)分14分） 設(shè)函數(shù)． （1）求的最小正周期和值域； （2）在銳角△中，角的對(duì)邊分別為，若且，，求和． （第16題） 16．（本小題滿(mǎn)分14分） 如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形， 且，，是的中點(diǎn)． （1）求證：平面平面； （2）求證：∥平面． 17．（本小題滿(mǎn)分14分） 一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m，長(zhǎng)為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分．現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁，長(zhǎng)度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設(shè)，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）． （1）求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式； （2）求的值，使體積V最大； （3）問(wèn)當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S是否也最大？請(qǐng)說(shuō)明理由． （第17題） 18．（本小題滿(mǎn)分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上． （第18題） （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)； （3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值． 19．（本小題滿(mǎn)分16分） 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知，且對(duì)一切都成立． （1）若λ = 1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列． 20．（本小題滿(mǎn)分16分） 已知函數(shù)，其中m，a均為實(shí)數(shù)． （1）求的極值； （2）設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求的最小值； （3）設(shè)，若對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得 成立，求的取值范圍． 數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題） 21．【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． （第21-A題） A．選修4—1：幾何證明選講 如圖，⊙為四邊形的外接圓，且，是延 長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線與圓相切． 求證：． B．選修4—2：矩陣與變換 已知矩陣，，計(jì)算． C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．求： （1）圓的直角坐標(biāo)方程； （2）圓的極坐標(biāo)方程． D．選修4—5：不等式選講 已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象恒在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 22．（本小題滿(mǎn)分10分） 甲乙兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為，且各次投籃的結(jié)果互不影響．甲同學(xué)決定投5次，乙同學(xué)決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過(guò)5次． （1）求甲同學(xué)至少有4次投中的概率； （2）求乙同學(xué)投籃次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望． 23．（本小題滿(mǎn)分10分） 設(shè)，且，其中當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，． （1）證明：當(dāng)，時(shí)，； （2）記，求的值． 2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一） 數(shù)學(xué)Ⅰ試題參考答案 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分． 1． 2． 3. 4 4. 5．63 6．2 7． 8. 9． 10．13 11．9 12． 13. 14. 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15. 解：（1）= =． …………………3分 所以的最小正周期為， …………………4分 值域?yàn)椋? …………………6分 （2）由，得． 為銳角，∴，，∴． …………………9分 ∵，，∴． …………………10分 在△ABC中，由正弦定理得． …………………12分 ∴． …………………14分 16．（1）證明：∵ 為菱形，且， ∴△為正三角形． …………………2分 是的中點(diǎn)，∴． ∵，是的中點(diǎn)，∴ ． …………………4分 ，∴平面． …………………6分 ∵平面，∴平面平面． …………………8分 （2）證明：連結(jié)，設(shè)，連結(jié)． ∵三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，∴為中點(diǎn)． …………………10分 在△中，又∵是的中點(diǎn)，∴∥． …………………12分 ∵平面，平面，∴ ∥平面． …………………14分 17．解：（1）梯形的面積 =，． …………………2分 體積． …………………3分 （2）． 令，得，或（舍）． ∵，∴． …………………5分 當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)． …………………7分 ∴當(dāng)時(shí)，體積V最大． …………………8分 （3）木梁的側(cè)面積=，． =，．…………………10分 設(shè)，．∵， ∴當(dāng)，即時(shí)，最大． …………………12分 又由（2）知時(shí)，取得最大值， 所以時(shí)，木梁的表面積S最大． …………………13分 綜上，當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S也最大． …………………14分 18．解：（1）由已知，得 解得 …………………2分 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． …………………3分 （2）設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)為． 由已知，求得直線的方程為，從而．① 又∵點(diǎn)在橢圓上，∴．② 由①②，解得（舍），，從而． …………………5分 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為． …………………6分 （3）設(shè)，，． ∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．…………………8分 ∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．…………………10分 ∵點(diǎn)在橢圓上，∴，． 從而． …………………14分 所以． …………………15分 ∴為定值，定值為． …………………16分 19．解：（1）若λ = 1，則，． 又∵， ∴， ………………… 2分 ∴， 化簡(jiǎn)，得．① ………………… 4分 ∴當(dāng)時(shí)，．② ② - ①，得， ∴（）． ………………… 6分 ∵當(dāng)n = 1時(shí)， ，∴n = 1時(shí)上式也成立， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列， an = 2n-1（）． …………………8分 （2）令n = 1，得．令n = 2，得． ………………… 10分 要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得λ = 0． ………………… 11分 當(dāng)λ = 0時(shí)，，且． 當(dāng)n≥2時(shí)，， 整理，得，， ………………… 13分 從而， 化簡(jiǎn)，得，所以． ……………… 15分 綜上所述，（）， 所以λ = 0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列． ………………… 16分 20．解：（1），令，得x = 1． ………………… 1分 列表如下： x （-∞，1） 1 （1，+∞） + 0 - g(x) ↗ 極大值 ↘ ∵g(1) = 1，∴y =的極大值為1，無(wú)極小值． …………………3分 （2）當(dāng)時(shí)，，． ∵在恒成立，∴在上為增函數(shù)． …………………4分 設(shè)，∵> 0在恒成立， ∴在上為增函數(shù)． …………………5分 設(shè)，則等價(jià)于， 即． 設(shè)，則u(x)在為減函數(shù)． ∴在（3，4）上恒成立． …………………6分 ∴恒成立． 設(shè)，∵=，xÎ[3，4]， ∴，∴< 0，為減函數(shù)． ∴在[3，4]上的最大值為v(3) = 3 -． ………………… 8分 ∴a≥3 -，∴的最小值為3 -． …………………9分 （3）由（1）知在上的值域?yàn)椋? …………………10分 ∵，， 當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，不合題意． ………………… 11分 當(dāng)時(shí)，，由題意知在不單調(diào)， 所以，即．① …………………12分 此時(shí)在上遞減，在上遞增， ∴，即，解得．② 由①②，得． …………………13分 ∵，∴成立． …………………14分 下證存在，使得≥1． 取，先證，即證．③ 設(shè)，則在時(shí)恒成立． ∴在時(shí)為增函數(shù)．∴，∴③成立． 再證≥1． ∵，∴時(shí)，命題成立． 綜上所述，的取值范圍為． …………………16分 21、【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分． A．選修4—1：幾何證明選講 證明：連結(jié)．是圓的切線，∴． …………………2分 ，∴． ∴． …………………4分 圓是四邊形的外接圓，∴． …………………6分 ∴∽． …………………8分 ∴， ，∴． …………………10分 B．選修4—2：矩陣與變換 解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為． 令，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為，． …5分 令，得． ．……………10分 C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：（1）圓的直角坐標(biāo)方程為． …………………5分 （2）把代入上述方程，得圓的極坐標(biāo)方程為．…………………10分 D．選修4—5：不等式選講 解：的最小值為， …………………5分 由題設(shè)，得，解得． …………………10分 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分． 22．解：（1）設(shè)甲同學(xué)在5次投籃中，有次投中，“至少有4次投中”的概率為，則 …………………2分 ==． …………………4分 （2）由題意． ，，，， ． 的分布表為 1 2 3 4 5 …………………8分 的數(shù)學(xué)期望． …………………10分 23．解：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，為偶數(shù)， ∵，， ， ∴ =． ∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，成立． …………………5分 同理可證，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 也成立． …………………6分 （2）由，得 = = =． …………………9分 又由，得， 所以，． …………………10分 高三數(shù)學(xué)Ⅰ 第14頁(yè)（共14頁(yè)）