2020版高中數(shù)學人教A版必修4-導學案《平面幾何中的向量方法》-學生版(共7頁)

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 2.5.1　平面幾何中的向量方法 學習目標　 1.學習用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及其他一些實際問題的過程. 2.體會向量是一種處理幾何問題的有力工具. 3.培養(yǎng)運算能力、分析和解決實際問題的能力. 向量是數(shù)學中證明幾何命題的有效工具之一.在證明幾何命題時，可先把已知條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算就很容易得出結(jié)論.一般地，利用實數(shù)與向量的積可以解決共線、平行、長度等問題，利用向量的數(shù)量積可解決長度、角度、垂直等問題. 向量的坐標表示把點與數(shù)聯(lián)系了起來，這樣就可以用代數(shù)方程研究幾何問題，同時也可以用向量來研究某些代數(shù)問題

2、. 向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長度與三角函數(shù)間的關(guān)系，把向量的數(shù)量積應用到三角形中，就能解決三角形的邊角之間的有關(guān)問題. 知識點一　幾何性質(zhì)及幾何與向量的關(guān)系 設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a，b的夾角為θ. 思考1　證明線段平行、點共線及相似問題，可用向量的哪些知識？ 答案為：可用向量共線的相關(guān)知識： a∥b?a=λb?x1y2－x2y1=0(b≠0). 思考2　證明垂直問題，可用向量的哪些知識？ 答案為：可用向量垂直的相關(guān)知識： a⊥b?a·b=0?x1x2＋y1y2=0. 梳理　平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及

3、數(shù)量積表示出來. 知識點二　向量方法解決平面幾何問題的步驟 1.建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題. 2.通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題. 3.把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系. 類型一　用平面向量求解直線方程 例1.已知△ABC的三個頂點A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點. (1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程； (2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程. 反思與感悟 利用向量法解決解析：幾何

4、問題，首先將線段看成向量，再把坐標利用向量法則進行運算. 跟蹤訓練1　 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分線所在的直線方程. 類型二　用平面向量求解平面幾何問題 例2.已知在正方形ABCD中，E、F分別是CD、AD的中點，BE、CF交于點P. 求證：(1)BE⊥CF；(2)AP=AB. 反思與感悟　 用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路： (1)向量的線性運算法的四個步驟： ①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運算或數(shù)量積找出相應關(guān)系；④把幾何問題向量化. (2)向量的坐標運算法的四個

5、步驟： ①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；②把相關(guān)向量坐標化；③用向量的坐標運算找出相應關(guān)系；④把幾何問題向量化. 跟蹤訓練2　 如圖，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DP⊥EF. 1.已知在△ABC中，若=a，=b，且a·b<0，則△ABC的形狀為(　　) A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定 2.過點A(2，3)，且垂直于向量a=(2，1)的直線方程為(　　) A.2x＋y－7=0 B.2x＋y＋7=0

6、 C.x－2y＋4=0 D.x－2y－4=0 3.在四邊形ABCD中，若＋=0，·=0，則四邊形ABCD為(　　) A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 4.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2， 則·的值是________. 5.如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若=m，=n，則m＋n的值為________. 利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題.利用向量解決平面幾何問題時，有兩

7、種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；另一種思路是建立坐標系，求出題目中涉及的向量的坐標. 課時作業(yè) 一、選擇題 1.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長是(　　) A.2 B. C.3 D. 2.點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足·=·=·， 則點O是△ABC的(　　) A.三個內(nèi)角的角平分線的交點 B.三條邊的垂直平分線的交點 C.三條中線的交點 D.三條高的交點 3.已知非零向量與滿足·

8、=0且·=， 則△ABC的形狀是(　　) A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰(非等邊)三角形 D.等邊三角形 4.在四邊形ABCD中，若=(1，2)，=(－4，2)，則該四邊形的面積為(　　) A. B.2 C.5 D.10 5.已知點A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，則△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，若=λ＋，

9、其中λ∈R，則點P一定在(　　) A.△ABC的內(nèi)部 B.AC邊所在的直線上 C.AB邊所在的直線上 D.BC邊所在的直線上 7.在?ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點，若·=1，則AB的長為(　　) A.1 B. C. D. 二、填空題 8.已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點， 則(＋)·=________. 9.已知直線ax＋by＋c=0與圓x2＋y2=1相交于A，B兩點，若|AB|=，則·=________. 10.若點M是△ABC所

10、在平面內(nèi)的一點，且滿足3－－=0， 則△ABM與△ABC的面積之比為________. 三、解答題 11.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，動點E和F分別在線段BC和DC上，且=λ，=，求·的最小值. 12.如圖所示，在正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個三等分點，且分別靠近點A、點B，且AE、CD交于點P.求證：BP⊥DC. 13.如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點A(0，0)，B(4，1)，C(6，8). (1)求頂點D的坐標； (2)若=2，F(xiàn)為AD的中點，求AE與BF的交點I的坐標. 四、探究與拓展 14.在△ABC中，AB=3，AC邊上的中線BD=，·=5，則AC的長為________. 15.已知點A(2，－1).求過點A與向量a=(5，1)平行的直線方程. 專心---專注---專業(yè)