2020版高中數(shù)學(xué)人教A版必修4-導(dǎo)學(xué)案《平面幾何中的向量方法》-學(xué)生版(共7頁)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 2.5.1　平面幾何中的向量方法 學(xué)習(xí)目標(biāo)　 1.學(xué)習(xí)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及其他一些實(shí)際問題的過程. 2.體會(huì)向量是一種處理幾何問題的有力工具. 3.培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實(shí)際問題的能力. 向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一.在證明幾何命題時(shí)，可先把已知條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算就很容易得出結(jié)論.一般地，利用實(shí)數(shù)與向量的積可以解決共線、平行、長度等問題，利用向量的數(shù)量積可解決長度、角度、垂直等問題. 向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，這樣就可以用代數(shù)方程研究幾何問題，同時(shí)也可以用向量來研究某些代數(shù)問題. 向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長度與三角函數(shù)間的關(guān)系，把向量的數(shù)量積應(yīng)用到三角形中，就能解決三角形的邊角之間的有關(guān)問題. 知識點(diǎn)一　幾何性質(zhì)及幾何與向量的關(guān)系 設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a，b的夾角為θ. 思考1　證明線段平行、點(diǎn)共線及相似問題，可用向量的哪些知識？ 答案為：可用向量共線的相關(guān)知識： a∥b?a=λb?x1y2－x2y1=0(b≠0). 思考2　證明垂直問題，可用向量的哪些知識？ 答案為：可用向量垂直的相關(guān)知識： a⊥b?a·b=0?x1x2＋y1y2=0. 梳理　平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來. 知識點(diǎn)二　向量方法解決平面幾何問題的步驟 1.建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題. 2.通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題. 3.把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系. 類型一　用平面向量求解直線方程 例1.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn). (1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程； (2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程. 反思與感悟 利用向量法解決解析：幾何問題，首先將線段看成向量，再把坐標(biāo)利用向量法則進(jìn)行運(yùn)算. 跟蹤訓(xùn)練1　 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分線所在的直線方程. 類型二　用平面向量求解平面幾何問題 例2.已知在正方形ABCD中，E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)P. 求證：(1)BE⊥CF；(2)AP=AB. 反思與感悟　 用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路： (1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟： ①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化. (2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟： ①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化. 跟蹤訓(xùn)練2　 如圖，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DP⊥EF. 1.已知在△ABC中，若=a，=b，且a·b<0，則△ABC的形狀為(　　) A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定 2.過點(diǎn)A(2，3)，且垂直于向量a=(2，1)的直線方程為(　　) A.2x＋y－7=0 B.2x＋y＋7=0 C.x－2y＋4=0 D.x－2y－4=0 3.在四邊形ABCD中，若＋=0，·=0，則四邊形ABCD為(　　) A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 4.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2， 則·的值是________. 5.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若=m，=n，則m＋n的值為________. 利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題.利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；另一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo). 課時(shí)作業(yè) 一、選擇題 1.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長是(　　) A.2 B. C.3 D. 2.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·=·=·， 則點(diǎn)O是△ABC的(　　) A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C.三條中線的交點(diǎn) D.三條高的交點(diǎn) 3.已知非零向量與滿足·=0且·=， 則△ABC的形狀是(　　) A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰(非等邊)三角形 D.等邊三角形 4.在四邊形ABCD中，若=(1，2)，=(－4，2)，則該四邊形的面積為(　　) A. B.2 C.5 D.10 5.已知點(diǎn)A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，則△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若=λ＋，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在(　　) A.△ABC的內(nèi)部 B.AC邊所在的直線上 C.AB邊所在的直線上 D.BC邊所在的直線上 7.在?ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)，若·=1，則AB的長為(　　) A.1 B. C. D. 二、填空題 8.已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)， 則(＋)·=________. 9.已知直線ax＋by＋c=0與圓x2＋y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=，則·=________. 10.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足3－－=0， 則△ABM與△ABC的面積之比為________. 三、解答題 11.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且=λ，=，求·的最小值. 12.如圖所示，在正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AE、CD交于點(diǎn)P.求證：BP⊥DC. 13.如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0，0)，B(4，1)，C(6，8). (1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)若=2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，求AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo). 四、探究與拓展 14.在△ABC中，AB=3，AC邊上的中線BD=，·=5，則AC的長為________. 15.已知點(diǎn)A(2，－1).求過點(diǎn)A與向量a=(5，1)平行的直線方程. 專心---專注---專業(yè)