《自動(dòng)控制理論》第七章線性離散系統(tǒng)的分析與校正

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1、第7章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正 ，重點(diǎn)與難點(diǎn) —、基本概念 1.脈沖傳遞函數(shù)及其特性 脈沖函數(shù)的定義：8。）= + 00 （t = 0） +00 0 。0） 脈沖函數(shù)的基本性質(zhì)：「/（，）d，= l J—00 /?-FX 脈沖函數(shù)的抽樣性質(zhì)：［x(r)S(t-t0)dt = x(t0) J—00 脈沖函數(shù)的頻率特性［5。）的頻譜］: ?+X) . —00 +00 時(shí)移脈沖$（，—U的頻譜：\ W — to）eWdt = e*° j- 一 ?f—oo oo 均勻脈沖序列：公Q）=Z$Q— 〃T） 7：=-00 f+oo . 2tt L如（'）e

2、=亍~冒貝?-〃刃0）=吒靖〉） 一 式中690 =—為采樣角頻率。 其頻譜為: 按照傅里葉反變換公式可得： 一、 1 1 r+oo . . 1 呂? X)=廠L氣&。㈣坤皈=3 w 乙兀 1 〃=-00 +oo 2 .信號(hào)的采樣及恢復(fù) 設(shè)連續(xù)信號(hào)尤。）的頻譜為X（口）="珂）尸仞由0,柏）的采樣信號(hào)為 J—oo oo x'（0 = x（t）3T（t） = Zx（nT）3（1 一 nT） n=0 故采樣信號(hào)的頻譜為:的Z反變換。 解一：用幕級(jí)數(shù)法求Z反變換 用長(zhǎng)除法將E(z)展為 1即"+0.73Z” +0.585Z-3 z2-0.9z +

3、 0.08 z2 — 0.9z + 0.08 _ 0.9z —0.08 Q.9z-0.81 + 0.072zT -) 0.73 — 0.072zT %73 — 0.657zT +0.0584z-2 -0.585Z-1 -0.0584z-2 所以 E(z) = 1 + 0.9z_1 + 0.73 z~2 + 0.585 z-3+???,相應(yīng)的脈沖序列為 e * Q) = 5。)+ 0. W - T) + 0.735。- 2T) + 0.5858(，— 37) + … e*Q)代表的脈沖序列如圖7-1所示。 相應(yīng)采樣時(shí)刻的值為： 。(0) = 1, e(T) = 0.9, e

4、(2T) = 0.73, e(3T) = 0.585,… 解二：將E(s)展開成部分分式求z反變換 為了能在Z變換表中得到相應(yīng)的E(s)的形式，需將E(s)表示為如下形式: 8/7 1/7 E(z)二 z — 0.1 圖7-1 z (z — 0.8)(z — 0.1) z — 0.8 所以 E(z) = §*—-——L*—^― 7 z —0.8 7 z-0.1 得： Q 1 e(nT) = - (0.8)" — — (0.1)〃/ = 0,1,2,… 7 7 采樣時(shí)刻的值為 e(0) = 1, e(T) = 0.9, e(27) = 0.73, e(3T) = 0

5、.585,??. 所以 00 e*Q) = ?(〃7W_M) n=0

6、z2 z"】 z — 0.1 勺=蜿(2-。.眼⑵尸=yz-o.8)5F『 Q =一(0.8)〃 7 z=().8 c2 = lim(z —0.1)E(z)z〃t =二1(0.1)〃 z—0.1 7 所以 Q 1 W)十0.8)=(0"〃 = 0』,2,... 采樣時(shí)刻的e。)值為 e(0) = 1, e(T) = 0.9, e(2T) = 0.73, e(3T) = 0.585,… 所求Z的反變換為 co e^(t) = ^e(nT)S(t-nT) n=0 8 R 1 = ZU(°?8)"—尋(0」)"齡(，一 n=0 7 / =+ 0.93(t-

7、T) + 0.733(t- 2T) + 0.585$(— 3T) + … 可以看出，三種反變換的方法結(jié)果是一致的。 例 7-4 求 G(s) = "1 - / ) (7為采樣周期)的脈沖傳遞函數(shù)。 S(S + Q) 解: G(s) = ^= = (l-建)({- s (s + 3) s Ma Ma、 一+——) s~ s s + a ]=[ Z[G(s)] = (1?)Z[± 一 里 + 里]=—[廠與 % s s s + a z(z-l) Q(Z-1) + 】(Z-頊廣 七一”+ iT — l)z + (1 — /t — a7 建) a{z -V)(z - e

8、~al) 例7-5巳知E(z)=2z〈z _ 試求z反變換e(〃T)。 (z +1) 解：E(z) = ",有兩個(gè)二重極點(diǎn)，即 E(z)z〃t 2zZ7(z2-1) (z2+l)2 EQ"在z = /點(diǎn)的留數(shù) -Zf dz 「2[(〃 + 2)z" hm ZTi —W(z + i)2-2zn(z2 -l)x2(z + z) (Z + Z)4 2[(h + 2)z,7+1 — nzn 1 ](z + z) — 4z,? (z2 — 1) nm ； = m i (Z +，)3 Res[E(z)z,T] Tim 尹了怎疽)]= ZTT dz (z 一 z) 臨

9、 2[(- + 2)z〃+i -〃z〃 i](z_/)_4z〃(z2 _1) _(_])〃—ii zT_i , ' (Z —i)3 00 00 00 00 7T e(nT) = ￡ Re s[E(z)z〃t ] = ￡ 河?[1 + ( 1) 〃T] = ￡(_1)〃 2(2〃 +1) = ￡ 2〃 sin 77=0 n=0 〃=0 〃=0 2 例7-6試求圖7-2所示系統(tǒng)的輸出Z變換C ( z)o > 2 昧 5 ? s + 2 5 + 5 (1) R 怎)— ~~2H 」~~ s) / ? z 1.2 —? s + 2 2s+ 1

10、 (2) 圖7-2 2 5 解:⑴g=z(云由施=02 f 10/3 10/3、“、 )R(z) T 二戶 ~ ⑵=l- (z-e-2r)(z-e-5T) *⑵ (2) 2 1 2 C(z) = Z(--—-)Z(-^-)

11、^(z) 10s+ 1 2s+ 1 _ 0.2z 0.6z 0.12z2 =Z —z —e一司”) /一 八-。"、/一 八―0.57<*(2) (z —e )(z-e ) 例7-7 求圖7-3所示米樣系統(tǒng)輸出C ( z )表達(dá)式。 解: E(z) = R(z) —C(z)G3(z) D(z) = E(z)Gl G2(z)- D(z)Gl G2 (z) 因此 S"⑵ G(z)")G ⑵= ⑵ R (s) Gi (s) D(s) C (s) G2 (s)

12、 G3 (s) 圖7-3 所以 %)=莒焉-3&52) g = G⑵施__ 1 + G02(z) + G(z)G3(z) 例7-8 試求下列函數(shù)的初值和終值。 z2(z2 +Z + 1) (1) E(z)—(z2—o.8z + i)(z2+z + o.8) (2)期=1一旗?二6：*；" (提示：應(yīng)用終值定理是有條件的，即函數(shù)E(z)在單位圓上和單位圓外解析。) 解:(1)由初值定理得 e(0) = lim e * (，)= lim E(z) t—>0 z—>co 4 3 2 Z + Z + Z z4 + 0.2z3 +z2 + 0.36

13、z + 0.8 ~ 1 由于E(z)有四個(gè)極點(diǎn)，且都位于單位圓內(nèi)，故由終值定理得 * z — 1 e(oc) = lim e (t) = lim E(z) is ztI z 4 3 2 Z + Z + Z = lim * ~ ~ ~ = 0 zti z z4 + 0.2z3 + z2 + 0.36z + 0.8 (2)由初值定理得 e(0) = lim E(z) = lim z—>oo z—>co l + 0.3z—】+0.彩一2 1 —4.2z—i +5.6z_之一2.4z_3 =1 由于E(z)三個(gè)極點(diǎn)中，有兩個(gè)極點(diǎn)zi = 1.2和Z2=2在單位圓外，故不能

14、直接用終值 定理求解。可用綜合除法判斷其終值。 例7-9試用z變換法求解下列差分方程: e(k + 2)- 3e(k + 1) + 2e(k) = r(k) 已知r(t) = 3( 1)以及當(dāng)k%0時(shí),e(k) = 0 解：因尸。)=5(1),于是有 r(k)= 令Z[e(幻]= E(z),且Z[,Q)] = l,由z變換的實(shí)位移定理得 Z[e(k + 2)] = z2E(z) — z2e(O) — ze(l) Z[e(k +1)] = ze(z) - ze(O) 對(duì)差分方程兩邊取z變換，經(jīng)整理后有 (z2-3z + 2)E(z) = l + (z2 + 3z

15、)e(O) + ze(l) 本例中的初值e(0)和e(l)可根據(jù)題設(shè)條件：e(k) = 0當(dāng)k<0,來確定。 確定。(0)：由題設(shè)可直接定出c(0) = e(#)h=o = 0; 確定e(l)：以k = -l代入原方程得 知)—3e(0) + 2e(—1)=尸(―1) 由題設(shè)可知，。(_1) = 0,尸(_1) = 0 ,代入上式后可得四1) = 0。將所求的初值 g(O) = e(l) = O代入z變換方程中，得 (z2 — 3z + 2)頊 z) = l 所以 E(z) = 1 z1 —3z + 2 (z —l)(z - 2) 求E(z)的z反變換方法

16、很多，下面僅用部分分式法求解: E(z) = - J_ > % (z_l)(z —2) z (z-l)(z-2) 所以 E(z) = =勺 + 土 + (z —l)(z —2) z z-1 z-2 = —，故 3 2 Z Z 1 Z 1——. 1 Z 1 Z 1——? z-1 2 z-2 2 z-1 2 z-2 可得E(z)的反變換為 心=18(幻一(1)* + ： (2)*』=0,1,2,... 故可得e(*)各個(gè)時(shí)刻的值為g(0) = 0, Kl) = 0, e(2) = 1, e(3) = 3, e(4) = 7, e(5)

17、 = 15 . 例7-10設(shè)有圖7-4 (q), 3)所示系統(tǒng)，均采用單速同步采樣周期T。試求各系 統(tǒng)的輸出C (z)表達(dá)式。 R (s) 5 s + 5 C (s) 解：對(duì)于圖7-4 (。)所示系統(tǒng), C(z) = Z R(z) = Z(1°/3 I。" 10 z ~3z-e'2T 三*) 0(z) 對(duì)于圖7-4 3)所示系統(tǒng), C(Z)~ 1 + G,(z)G3(z) + G]G2(z) 例7-11采樣系統(tǒng)如圖7-5所示，采樣周期T=0.2s。當(dāng)R (s) =0時(shí)，求在擾動(dòng)信 N (s) 號(hào)〃 (t)單位階躍函數(shù)作用下，系統(tǒng)輸出的脈沖序

18、列C (z)及C (?)(注：利用長(zhǎng)除最 少計(jì)算兩項(xiàng))。 解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖直接可得，當(dāng)R (s) =0, N (s) =l/s時(shí) ze* -Ts C(Z)= . -75—j — = j (1-g-* 0.18頊 ~ z4 ~(\ + e~T)z3 +z2 +(e~T —l)z 一 z4 -1.819z3 +z2 -0.181z 用驀級(jí)數(shù)法將C (z)展成下式 C(z) = 0.181 z_1 +0.329z—⑦ + … 故 C* ⑺=0.1813(t - T) + 0.329 5(— 27) + ??? 例7-12設(shè)圖7-6所示各系

19、統(tǒng)均采用單速同步采樣，其采樣周期為T。試求各采樣 系統(tǒng)的輸出C(z)表示式。 (c) (d) 圖7-6采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解：①圖7-6 (a)：為了便于分析，在該系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一理想采樣開關(guān)S2,如圖 7-7中虛線所示，它與輸入采樣開關(guān)們同步工作，具有同樣的采樣周期T，這樣，在， 和52兩個(gè)采樣開關(guān)之間可以定義脈沖傳遞函數(shù)G(z)為 G(z) = Z =z s+2 s+5 10/3 10/31 _ 10# z(產(chǎn)—L) s + 2 s + 5_ 3 (z —g ~')(z —e 所以，采樣系統(tǒng)的輸出C(z)為 C(z) = G(z)R(z)= .R(z) 10.

20、 z(產(chǎn)—產(chǎn)) 3 (z — e~2T)(z — e~5T) 圖7-7開關(guān)采樣系統(tǒng) ② 圖7-6 (b)：因閉環(huán)采樣系統(tǒng)的前向通路有采樣開關(guān)存在，故計(jì)算C(z)是有定義 的，且根據(jù)C(z)的計(jì)算公式有 C(z) = G/(z) 1 + G°(z) 其中 G°(z) = G】(z)G2(z)H(z);G/.(z) = 0(z)G2⑵R(z) o 故所求系統(tǒng)的輸出 C(z) 的表達(dá)式為 =G(z)G2(z)R(z) Z)~1 + G,(z)G2(z)H(z) 圖7-8閉環(huán)采樣系統(tǒng) ③ 圖7-6 (c)：因所示系統(tǒng)可等效為7-8所示的 形式，由圖可以看出，

21、在內(nèi)回路和外回路的前向通路 中均有采樣開關(guān)存在，故計(jì)算C(z)是由意義的。由圖 可求得內(nèi)回路的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 1 1 + G°2(z) 由C(z)的計(jì)算公式有 1 + G°(z) 其中 G3(z) G°(z)=①](z)G3(z) = G(z) ° 1 3 1 + 0G2(z) Gf (z) = Q (z)R(z) = R(z) ' 1 + GG2 ⑵ 故所求系統(tǒng)輸出C(z)的表達(dá)式為 ?、Gf(z) 0(z)R(z) C(z)= = 1 + G° (z) 1 + G G2 (z) + G} (z)G3 (z) ④ 圖7-6 (d)：由于所示閉環(huán)采樣系

22、統(tǒng)中有兩條前向通路，因此在求G/z)時(shí)需要 將這兩條通路都考慮進(jìn)去。由圖得(z)和Gf (z)分別為 G0(z) = GhG3G4(z) Gf (z) = RG2G4(z) + RG (z) ? G.G3G4 (z) 故所求系統(tǒng)輸出C(z)的表達(dá)式為： 廠,、RG,G4(z) + R0(gG3G4(z) 1 + G/?G3G4(z) 例7-13如圖7-9所示的離散時(shí)間系統(tǒng)，試求其單位階躍響應(yīng)。采樣周期T=1 s 0 R (s) E (s) 1-e" —4 1 A S s(s + 1) 圖7-9 解：閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 +00 1 00

23、 [00 co — n— T ) X*(/) = LF(t)e-jMdt = 〒￡x(/ 一脆°)=亍 Zx 丈 〃=-00 丈 〃=T)0 即連續(xù)信號(hào)經(jīng)采樣后，頻譜產(chǎn)生周期性延拓。 如果要使采樣信號(hào)X (0不失真地復(fù)顯出x(t),采樣頻率刃0 (或采樣周期T)與頻 譜X(/)必須滿足以下條件： X(co)當(dāng)有載止頻率％，即|如〉q時(shí)X(/) = 0 為了避免高于O)CH頻率的干擾頻譜進(jìn)入采樣，造成頻譜混淆，可以在采樣信號(hào)后 加一低通濾波器。最簡(jiǎn)單的低通濾波器是零階保持器，它能把某一時(shí)刻〃T的采樣值，恒 值地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(乃+ 1)T,其傳遞函數(shù)為 [ 八—Ts

24、 G“(s)=— 頻率特性為 3.Z變換 離散函數(shù)x(〃)的Z變換定義為 00 X(z) = Z[x(〃)] = ￡x(〃)zF n=0 Z變換存在的條件是 00 Zl'(〃)|z-〃 <8 n=Q 離散函數(shù)的Z變換方法有級(jí)數(shù)求和法、部分分式法和留數(shù)計(jì)算法等。 Z反變換的方法有長(zhǎng)除法、部分分式法、留數(shù)計(jì)算法等。 4.離散控制系統(tǒng)的數(shù)字描述 差分方程表達(dá)了系統(tǒng)輸出在采樣時(shí)刻的性能。對(duì)于完全是離散的系統(tǒng)，其輸入、輸 出信號(hào)均為離散信號(hào)的線性系統(tǒng)，可用N階線性差方程來描述： 〃 n y(〃)= Z E" 一')- ?頂〃 -0 Z=0 z=l g(t)

25、W) 如圖7. 1所示的開環(huán)系統(tǒng)，g。)為 八 系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間脈沖響應(yīng)。根據(jù)卷積和 / - 公式，t =比7"時(shí)系統(tǒng)的輸出為: 工*(，) 圖7.1開環(huán)采樣系統(tǒng) 所以 中（z） = C(z) R(z) G(z) 1 + G(z) Si* z z z 廠廠7+二^ /z + l-2 疽 z2 — (l + /)z + e—i R(z) = Z[-]= s C(z) = G(z)R(z) 1 + G(z) 0.368z +0.264 z1 -l.368z +0.368 z I+ 0.368z + 0.264 z-l z2 -1.368z +0

26、.368 _ 0.368z + 0.264 z z? - z + 0.632 z -1 _ 0.368 z 2 +0.264z -z3 -2z2 + 1.632z-0.632 =0.368 +z" +1.34z"3 +1.34z"4 +1.147 z~5 + 0.894z"6 +0.802z-7 +0.866z"8 + … 對(duì)C ( z)進(jìn)行反變換，就可以得到各采樣時(shí)刻的輸出值。 c(0)=0 c(T)=0.368 c(2T)= 1.000 c(3T)= 1.340 c(4T)= 1.340 c(5T)=1.147 c(6T)=0.894 c(7T)=0.802 c（8T）

27、=0.866 例7-14已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-10所示，試畫出參數(shù)K-T穩(wěn)定域曲線（T為采樣 周期）。 解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 G(z) = Z s(s +1) Kz(l-e-T) =(z_l)(z —e”) 閉環(huán)特征方程為: 圖7-10閉環(huán)采樣系統(tǒng) D(Z) = (z-l)(z-尸)+ Kz(l - e~T) =z2 +[k(l-e-T)-(l + e-T)]z + e~T =0 解一：用勞斯判據(jù)求解 令z=^±l，代入方程化簡(jiǎn)后得 CD-\ Kco^ + 2^9 + W—K =。 列出勞斯表如下 CD2 K CD}

28、 2 coQ 2(1 + / 1 -T 2(1 + /)火 l-e~T 0 行數(shù) 1 根據(jù)朱利判據(jù)穩(wěn)定性要求: 圖7-11采樣周期T與放大系數(shù)K 根據(jù)勞斯判據(jù)得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為 k〉0及 Kv*） l-e-T 由上式可找出采樣周期T與放大系數(shù)K之間的關(guān)系。畫出穩(wěn)定邊界曲線，即K-T曲 線如圖7-11所示。 由圖可看出，采樣周期增大，即采樣頻率減小，臨界K值減小，從而降低了系統(tǒng)的 穩(wěn)定性。 解二：用朱利判據(jù)求解在閉環(huán)特征方程中，因〃 =2故2〃 —3 = 1,即本例中的朱利 陣列只有一行。故所求陣列為 z° zl z2 e_T [

29、K(l-e-T)-(l + e-r)] 1 D(l) = 1 + [K(l -e~T)-(l + e~T)] + >0 0(-1) = 1 + [K(l - e”) - (1 + 尸)](-!) + e'T >0 e'T <0 (約束條件) 得系統(tǒng)穩(wěn)定條件為 k〉0 及 K〈2（l + e；） 1-g" 可以看出，由勞斯判據(jù)和朱利判據(jù)得到的系統(tǒng)穩(wěn)定條件是一樣的。但利用朱利判據(jù) 比較簡(jiǎn)單。 例7-15設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖7-12所示，采樣周期T=ls。設(shè)K=10,試分析系統(tǒng)的 穩(wěn)定性，并求系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。 圖 7-12 解：(1)由圖7-12得: G(s) =竺 $

30、2(s + l) s2(s + l) 其對(duì)應(yīng)脈沖傳遞函數(shù) ?、10(0.368z+ 0.264) G ⑵=二1.368Z + 0.368 從而求得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 中(Z) _ G(z) _ 3.68z + 2.64 —1 + G(z) — z2 +2.31Z + 3 由此得系統(tǒng)的特征式為 z2+2.31z + 3 = 0 求解上述方程可得一對(duì)共扼復(fù)根 4 =-1.156 + J1.29 % =-1.156-J1.29 分布在單位圓外，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 (2)由系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 八/、 K(0.368z +0.264) G(z)=— z2 -1.36

31、8z + 0.368 求得系統(tǒng)的特征方程為 z2 -(1.368 - 0.368 K)z + (0.368 + 0.264 K) = 0 進(jìn)行W變換得到 (2.736 - 0.104K)W2 +(1.264 -0.528K)W + 0.632K = 0 列勞斯表計(jì)算 W2 2.736-0.104K 0.632K W1 1.264-0.528K 0 W。 0.632K 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有勞斯表第一列各項(xiàng)系數(shù)為正的條件，即必有 '0.632K > 0 < 1.264 —0.528K>0 2.736-0.104/^ >0 得到系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)為 &=2.4 例7-16

32、試分別用靜態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法計(jì)算圖7-13所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤 差。 (1) 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-13所示，其中K = 10,T = 0.2, r(r) = 1(f) + t + -t\ (2) 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-14所示，其中K = 10 = O.1,?) = 1Q) + , 0.5s < 圖 7-13 圖 7-14 解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 G(z) = Z S 10(l + 0.5s) s2 =y)zT =(1 — z T)Z =(i?) 10(1 + 0.5s) 53 5T2z(z + 1) (Z —I)，

33、 令T = 0.2，代入上式簡(jiǎn)化后得 G(z) = 1 .2z — 0.8 (Z 一預(yù) 1 .2z — 0.8 (Z 一乎 =00 解一:靜態(tài)誤差系數(shù)法 可以看出開環(huán)系統(tǒng)為II型。因此 位置誤差系數(shù) Kn =lim[l + G(z)] = lim 1 + P ZTl ZT1 速度誤差系數(shù) 腭卿 2G(z) =娜 加速度誤差系數(shù) = lim(z —頂G(z) = lim(z —頂 技一一= 0.4 ZT1 ZT1 (Z—1)2 故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 T2 1 T 1 F A Kv Ka 解二：動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法 因系統(tǒng)的誤差脈沖傳

34、遞函數(shù)為 1 色⑵= 1 + G(z) l.2z-0.8 (Z —1)2 (Z-1)2 z~ — 0.8z + 0.2 z=? e2Ts -O.SeTs +0.2 誤差系數(shù)為 G *(s) s=0=° 夕De*(s) | 1 5=0 =(* 1)2 (2此2萬—0.87^) 27(/—1) — )(疽△—0.8/+0.2)2 凌及 一0.8/+0 2 =0 s=0 c2=^2| ds 5=0 4注凌七_(dá)2決及+6.2e彌一7.88疽萬+5.36疽萬一2.08疽萬+0.44。萬一一0.04） （疽及一0.8/+0.2）4 4T2

35、e3Ts (-2e5Ts + 6Ae4Ts — 7.84疽后 +4.64疽萬—1.36/ +0.16) (產(chǎn)—0.8/ +0.2)4 舟 _0.8/ +0.2)4 + 0.ST2eTs(3e6Ts -S.Se5Ts +10.52e4Ts -6.72e3Ts +2A4e2Ts -0.48^ + 0.04) 1.6T2g2七2g5T，— 6.4疽及 +7.84疽長(zhǎng)一4.64凌云 +1.36泌，一0.16) (e2Ts -O.SeTs +0.2)4 72泌，(_2疽及舊/ _1.2)] (^-0.8^+0.2)2 L = 5T2 =0.2 又r（0 = 1 + ., 了⑴=L所

36、求之誤差級(jí)數(shù)為 e(nT) = cor(nT) + c{ r(nT) + — c2f(nT) =—c9 認(rèn) nT) = — x 0.2 x 1 = 0.1 2! 2 2 所以 g(GO)= 0.1 （2）系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 G(z) = (l-z-1)Z ] "(s + l) = (1 —Z—') Tz (l-e~T)z (z-1)2 ~ (z-l)(z-e-T) 令T = O.1,代入上式化簡(jiǎn)后得 ?、 0.005 (z +0.9) G(z)= (z_l)(z_ 0.905) 解一：靜態(tài)誤差系數(shù)法 顯然，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，因此 =lim[l +G(z

37、)] = lim 1 + z—>1 z—>l 0.005(z + 0.9) (z — l)(z —0.905) =00 速度誤差系數(shù) 0.005 (z +0.9) 八 1 = 0.1 ”鯽z*（z） =略。（。岫項(xiàng)耕） z—>l 故，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 心1 +二°」 匕Kv o.r1 解二：動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法 因系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為 ①(z) = ^—= 4)(三誠(chéng)5) ' 1 + G(z) z2-1.9z + 0.91 所以 誤差系數(shù)為 中° *3)= — 1)(。萬一0.905) (產(chǎn)—1.9/ +0.91) Co

38、 =Q*(s)|s=o =0 _ " *叫 勺=一 =(/—1) (疽及一1.9/+0.91)7/ —(/ —0.905)(2左2￡' —1.9//) (嚴(yán)-}.9eTs +0.91)2 / -0.905 。2云一1.9《及 +0.91 TeTs = 0.95 s=o 所求系統(tǒng)的誤差級(jí)數(shù)為 e(〃T) = c°(〃T) + c{r(nT) = 0.95 故 e(oo) = 0.95 例7-17已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-15

39、所示，K=10, 7M).2s, r (Q =1 (Q +什1/2產(chǎn)。 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 R (s) C (s) 0.5s  解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 京-gf 1。(1 + 0.5玖 G(z) = Z[ ?—] =(l_z-】)Z[些判 把T=0.2代入得 八 1 .2z — 0.8 G(z)= — (Z —1尸 可以求出：位置誤差系數(shù) Kn = lim[l + G(z)] = lim[l+ 技°°'] = oo P ZTl ZT1 (Z_l) 速度誤差系數(shù) Kt = lim(z — l)G(z) = lim(z —"。。爵= z

40、->l z->l (Z — 1) 加速度誤差系數(shù) ”的-13(2)=鯽I)：缶^ = 0.4 所以系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差為 1 T . g(oo) = e = 1 1 = 0.1 Kp Kr Ka 例7-18如圖7-16所示系統(tǒng)，已知G (s) = 一^,用根軌跡法確定K值的穩(wěn)定范 s(s +1) 圍。采樣周期T=0.5s。 圖 7-16 解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s) = s s(s + l) K(1 - e'Ts) $2(S + 1) 得到脈沖傳遞函數(shù) G(z) = ("+ T-1) + (1 —尸—Ta，Q KzT (g—爵―0.5)z

41、+ (l —1.5?！?) (z —l)(z 一產(chǎn)) v 0.1065Z +0.0902 K (z-l)(z-0.6065) 顯然根軌跡起始點(diǎn)為1和0.6065o 系統(tǒng)特征方程為 z2 -(1.6065 — 0.1065 K)z +(0.6065 +0.0902^) = 0 1.6065 _ 0.1065 K ± Jo.0113 (K 一 0.211)(K — 6.73) 其特征根 Z],2 = 當(dāng)OvKvO.221和K〉61.73時(shí)，zi, 2均為實(shí)根, 而當(dāng)0.221VKV61.73時(shí)，勾,2為共扼復(fù)根。 特別是 當(dāng)K=0時(shí)， 當(dāng) K=0.221

42、時(shí), 當(dāng)K=61.73時(shí), zi=l Z2=0.6065 zi, 2=0.7915 (重根) zi, 2=?2.485 (重根) 為求共扼復(fù)根軌跡，取z = a , j。代入特征 方程，并分別列出實(shí)部與虛部 次 * _(1 6065 - 0.1065K)。+ 0.6065 + 0.0902K = 0 j.Qa -1.6065 + 0.1065K) = 0 K _ 1.6065 - 2a 0.1065 0 + 0.8467)2 + "2 =i 6382 說明特征方程的共扼復(fù)根都位于上式所描述的圓上。所以可以做出如圖7-17所示根 軌跡。 在Z平面上作出單位圓，由圖上可

43、以看出，當(dāng)0〈K〈0.22時(shí)系統(tǒng)非振蕩穩(wěn)定，當(dāng)0.22 〈K <4.36時(shí)系統(tǒng)振蕩穩(wěn)定，當(dāng)K〉4.36時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 例7-19設(shè)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-18所示，其中k = 2,試在伯德圖上分析系統(tǒng) 的穩(wěn)定性。 解：由圖可的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s) = #(1 —廣) 52(5 + 1) 圖7-18閉環(huán)采樣系統(tǒng) 從而求得 G(z) = k /z + (l-2/) z2 -(1 + e~l)z + e~j k 0.37z + 0.26 z2 — 1.37z + 0.37 X + co 1-69 G(ty) = G(z) 0.37(上詁 + 0.26 1

44、 =k W (宜)2一1.37(些)+ 0.37 \-C0 1-CD 7 0.37(1 + 仞(1 —刃)+ 0.26(1 -刃尸 k y (1 + +尸-1.37(1 + 口)(1 —刃)+ 0.37(1-刃尸 7 —0.11(/2+0.47刃一5.7) k 69(2.7469 + 1.26) 《0.11x5.7.(/ —1)(0.175 刃+ 1) 以k=2代入得 G(口) (刃―1)(0.175刃 + 1) 刃(2.17 刃+ 1) (1 —刃)(0.175 刃+ 1) 刃(2.17 刃+ 1) 以刃=ja）p代入得 （1_加）（0.175

45、頂％+1） G（jg）d ）= 「 心 2.17"+1） ZG（，％） = -90。- arctan2.17% - arctan? +arctan0.175^ 對(duì)數(shù)頻率特性的交接頻率分別為 Wy = °?46,刃 〃2 =1，口 〃3 = 將對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別畫在圖7-19上，得 y(頃=2>(1心(成) n=0 當(dāng)系統(tǒng)給定時(shí)，g(，7)為常數(shù)。這樣根據(jù)上式就可寫出系統(tǒng)的差分方程。 系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)(又叫Z傳遞函數(shù))是指在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的Z變換 與輸入的Z變換之比，即 G⑵=也 X(z) 脈沖傳遞函數(shù)即可根據(jù)系統(tǒng)連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)或脈沖響應(yīng)g

46、(0求取，也可根據(jù)系 統(tǒng)的差分方程求取。 可以證明：當(dāng)若干個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，如果環(huán)節(jié)間均有同步采樣器，則系統(tǒng)總的z傳遞 函數(shù)等于各組成環(huán)節(jié)z傳遞函數(shù)的乘積，即 G(z) = 0 ⑵ G2(z)???G〃(z) 如果串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無同步采樣器，則系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)G(z)等于各組成環(huán)節(jié)的s傳 遞函數(shù)相乘后的Z變換，即 G(z) = GG? ??G〃(z) 閉環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)，根據(jù)采樣開關(guān)的位置不同有不同的形式。幾種典型閉環(huán)離 散系統(tǒng)的方框圖及其輸出的Z變換參見表7-1 o 表7-1幾種典型閉環(huán)離散系統(tǒng)的方框圖及其輸出的Z變換 序號(hào) 系統(tǒng)方框圖 輸出的z變換r(z)

47、 迫) * H(s) y(t) G(s) %)= G(z)R(z) l + G(z)H(z) %=。.6牛=7。 所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但穩(wěn)定裕度較小。 圖 7-19 例7-20昌散系統(tǒng)如圖7-20所示。試分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定K值的穩(wěn)定范 Ho 圖 7-20 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù): G(s) 1 - e~sT K K(1_L) ? = 對(duì)應(yīng)的Z變換: S 5 + 1 S(S + 1) 閉環(huán)特征方程: 即： d + ^P 二。 1 -e z l-e~Tz-} +K(l-e-T)z~} =0 l-(Ke-T +e~T

48、-K)z~] =0 z = Ke~T +e~T-K 若要求閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求|z|

49、-l)(z _ e~[) (z - l)(z _ 0.368) 特征方程為1+G (z) =0,經(jīng)化簡(jiǎn)后得 D(z) = z2 + (0.632 K -1.368 )z + 0.368 =0 1 + w 對(duì)。(z)進(jìn)行雙線性變換，令.= ，化簡(jiǎn)得 1-W (2.736-0.632K) w 2+1.264 w +0.632K=0 列出勞斯表如下 w2 2.736-0.632K 0.632K 1.264 0 W ° 0.632K 若系統(tǒng)要求穩(wěn)定，則2.736-0.632K〉。，K>0 即 0vK<4.329 例7-22已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-22所示，其中ZOH為零階保

50、持器，T=0.25s。 當(dāng)r(t)=2+t,欲使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1,試求K值。 解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)： G(z) = = ?z z 圖 7-22 z-1 KTz _2 KTz'2 = ? ?z = z (z-1)2 z-1 2z Tz R(z) = z[r(O] + z[2 + r] = — + -—— z-1 (z-1) =R[ (z) + R2 (z) 在階躍輸入R⑵下的穩(wěn)態(tài)誤差ess\ =0,而單位斜坡輸入R2(z)下的穩(wěn)態(tài)誤差練2為常 值，且： T =— K,, Kv=lim(z-l)G(z) = KT z—>l 故系統(tǒng)在r(t)=2+t作

51、用下總的穩(wěn)態(tài)誤差為： 八 T T 1 + evv2 = 0 + = =— 山 溯 Kv KT K 若要求&sVO?l,艮m/K10。 例7-23某數(shù)字控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-23所示。己知r = aT,a為正整數(shù)，Gh(s) 為零階保持器，試設(shè)計(jì)數(shù)字校正器D(z),使系統(tǒng)在單位階躍輸入下輸出量c(〃7)滿足圖 7-24所示的波形。 圖7-23數(shù)字系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解：根據(jù)題意由 C(z) =(D(z)R(z)=—- 1 — z 其中中(Z)為系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，且中(Z)= Z*+D。由于 GhG()(z) = Z[G.(s)G°(s)] =

52、Z KN-/)/ s(" + l) = (l_zT)z"Z s(" + l)  K Ka =Z %_廣十 Ka (l-e~T/Ta)z-(a+1) - l-e~T/Taz~} 因此由 中(z)=。⑵/從⑵ =z*+i)可得 7-(。+1) * 匕 1-Z l + O(gG°(z) 中(z) l-e~T/Taz-} D(z) = = G’o ⑵[l-

53、當(dāng)r(t)=l⑴時(shí)，系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差，過渡過程在最少拍內(nèi)結(jié) s(s +1) 束的數(shù)字控制器D(z)o 解: G(z) = Z 1 s(s + 1) =Z---— s s +1 圖 7-25 0.632z z z z -1 z-e~} (z-l)(z-0.368) 依最小拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，當(dāng)r(t)=l(t)時(shí)，有

54、 例7-25已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-26所示，其中采樣周期T=lso若要求系統(tǒng)在 單位斜坡輸入時(shí)實(shí)現(xiàn)最少拍控制，試求數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)o 解：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù): G(s) = 10(1-建) 52(5 + 1) 圖 7-26 Tz $2(S + 1) (Z —I)? (l")z (z-l)(z-e-T) G(z) = Z 10(1 —丁及) $2(S + 1) = 10(1 —zT) Tz (1-e”)z (Z_l)2—(z_l)(z —g") _ 3.68zT(1 + 0.717zT) —(1 —zT)(l —0.368z—i) 依據(jù)

55、尸(t)=t,依最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù): (D(z) = 2zT(1 — 0.5zT) 誤差脈沖傳遞函數(shù): 0e(s) = (l-z~i)2 數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)： 中(z) ￡>(z) = G(z)色(z) 2z-】(l-0.5z-i) i r(1 _ z ) (1-zT)(1 — 0.368zT) _ 0.543(1 _ 0.368zT )(1 _ 0.5z-i) ~ (1 —zT)(1 + 0.717zT) 例7-26已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-27所示。采樣周期T=ls。要求設(shè)計(jì)一數(shù)字控制 器。(z),使系統(tǒng)單位斜坡函數(shù)t輸入時(shí)，系統(tǒng)無

56、波紋無穩(wěn)態(tài)誤差，且在最小拍結(jié)束過渡過程。 解：由題7-25可知： G(z) = Z 10(1-建) 尸($ + 1) 0.368zT(1 + 0.717zT) 圖 7-27 選取: (1 —z〈)(l —0.368z—i) 中(z) = zT(1 + 0.717zT)(q +

57、Z?zT) O (z) = z"1 (1 — z-1 )(1 + cz~]) 其中，S b, C為待定常數(shù)。 1 —①e (z) = (2 — C)Z~' + (2c -1)Z-2 — CZ-3 中(z) = z"1 (1 + 0.717 z"1 )(a + bzx) =azx +(/? + 0.717 a)z~2 + 0.717 z-3 對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等(因?yàn)?-Q,(z) = 0)⑵)，故解得: c = 0.592 a = 1.408 ; b = -0.826 ; 所以: 中(z) = z"1 (1 + 0.717 z_1 )(1.408 — 0.826 z"1) =

58、1.408 z_1 (1 + 0.717 z_i )(1 — 0.587 z"1) p,(z) = (l —z—' )(1 +0.592 z"1) 數(shù)字控制器: D(z) =——— G(g(z) _ 1.408zT (1 + 0.717z_i )(1 - 0.587z-i) = 3.68z：(l + 0.717z? "(1 + 0.59/) (1 — zT)(1 — 0.368zT) _ 0.383(1 — 0.368z-i )(1 — 0.587Z-】) (1 — zT)(1 + 0.592zT) 例7-27已知系統(tǒng)方框圖如圖7-28所示，且G(s) = —1一，采樣周期

59、T=\s試設(shè)計(jì) s(s +1) 系統(tǒng)使其對(duì),(Q =1 (?)的響應(yīng)穩(wěn)態(tài)偏差為0,并且在有限拍內(nèi)結(jié)束過渡過程。 R (s) C (s) 圖 7-28 解：因?yàn)? G()(s) = —!— = -— ° S(S +1) S 5 + 1 所以有 G°⑵=三一—=(1一尸)七 < z-1 z-e (z_l)(z_e ) (z-l)(z-0.368) 設(shè)q為Go (z)中分母高于分子的階數(shù)，有療0 要求系統(tǒng)無差度，選擇 0.632z 所以 0(z)G°(z) 1 z-1 0.632z ")=住 G°(z) (z-l)(z-0.368) =號(hào)*?…， 校

60、正后系統(tǒng)方框圖如圖7-29所示。 例7-28 設(shè)離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-30所示。要求當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為 r(0 = ^xl(0+r,r時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為0,并在有限拍結(jié)束過度過程。試分別用連續(xù)式校正和 離散式校正設(shè)計(jì)上述系統(tǒng)。采樣周期L = is o C (s) 圖 7-30 解：由于 r(0 = 4)x IQ) + r}xt R(z)= r°Z I r,

61、Z _?+(尸i_4)z —Z-1 (z —1)2 而系統(tǒng)的不可變部分 其對(duì)應(yīng)的 選擇 2z-l 2z-l ⑴用離散校正方法。由于= " 得到 2z_l _ 1 2-z'1 K(z-l) 1-z"1 校正后方框圖如圖7-31所不。 (2)用連續(xù)校正方法。由 G&)= 2zT =_ + — (z —1)2 (z —1)2 z-l 1 e~s l + se~s G°n(r) 其對(duì)應(yīng)的 系統(tǒng)不可變部分特性為 可求得 52 校正系統(tǒng)的方框圖如圖7-33所示。 圖 7-32

62、 若將G(z)化成如下形式: Gd (z) = ^4 = HZ =(1 _ z-i)[^￡±^ + 2 心] d (z —1)2 2(z —1)2 2(z-l)3 2(z —1)2 則其對(duì)應(yīng)的 所以有 Gd(s) = (iy)( 1 3 1 A 1 warn ")=k(D 52 土+土) 1.已知開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)如下，試判別其閉環(huán)系統(tǒng)

63、的穩(wěn)定性: z + 0.7 自測(cè)題 G(z)=⑵ z2-L368z + 0.368 2. 設(shè)有離散系統(tǒng)如T圖7-1所示，求采樣周期T分別為Is和0.5s時(shí)，系統(tǒng)的臨界 開環(huán)增益Ko 3. 設(shè)有離散系統(tǒng)如T圖7-2所示，采樣周期T分別為Is, G"s)為零階保持器, g=二， 求： (1) 當(dāng)K=8時(shí)，分別在z域和w域分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 (2) 使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的臨界值。 4. 求T圖7-3(a)和7-3(b)所示的脈沖傳遞函數(shù)。 附 (a) R(s) —— ? C(s) (b) T 圖 7-3 5. 采樣系統(tǒng)如T圖7-4所示，采樣周期T=O.ls

64、,試確定單位階躍輸入、單位斜坡輸 入、單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 6. 設(shè)有離散系統(tǒng)如T圖7-5所示，T=0.1s, K=l,試求靜態(tài)誤差系數(shù)&、" K”, 并求系統(tǒng)的靜態(tài)誤差。 T 圖 7-5 7. 設(shè)一采樣系統(tǒng)如T圖7-6所示，已知rW為單位階躍函數(shù)，采樣周期為T,初始件 c(0)o設(shè)計(jì)一個(gè)控制器。⑵使系統(tǒng)為無波紋最少拍系統(tǒng) 怎一1=0.368, e"=0.136)。 G2(z)G|R(z) I + GjG^Cz) K(z) = G(z)G2(z)R(z) 1 + G(z)G2H(z) "z) =

65、 G(z)G2(z)R(z) 1 + G1(z)G2(z)H(z) G2(g(z)G|R(z) (Z；-1 + G2(z)G1G3H(z) 5.離散控制系統(tǒng)分析 離散控制系統(tǒng)的分析主要是穩(wěn)定性、瞬態(tài)質(zhì)量和穩(wěn)態(tài)誤差的分析。 (1) 穩(wěn)定性。對(duì)于離散系統(tǒng)，其穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的極點(diǎn)均在Z平面上以原點(diǎn)為圓 心的單位圓內(nèi)。判定系統(tǒng)的極點(diǎn)是否在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)可以對(duì)系統(tǒng)的Z傳遞函 數(shù)進(jìn)行W變換或R變換，即 1 + W ( 7_1> 2 = 或即=—— 儺換 l-W I z + lj z = ^—^~ ［或 R = R 變換 1 + 7? " z — 然后對(duì)變換后的W

66、(或R)傳遞函數(shù)的特征方程，應(yīng)用勞斯判據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別。 (2) 瞬態(tài)質(zhì)量。如果離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型已知，則通過Z變換，可以方便地求出 系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，從而知道系統(tǒng)的瞬態(tài)質(zhì)量。離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)決 定于系統(tǒng)z傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)在z平面上的分布。圖7.2和圖7. 3示意性地繪制出了系統(tǒng) 的極點(diǎn)位置與瞬態(tài)響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 8. 已知一采樣系統(tǒng)如T圖7-7所示，要求設(shè)計(jì)。(z),使系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入為無波 紋最少拍系統(tǒng)，某設(shè)計(jì)人員設(shè)計(jì)的。(Z)滿足如下差分方程： 。2(化)=們伏)-。.21們伏-1)+0.002們伙-2)-1.15。2(右1)-0.。55。2 伙-2) (1) 審查上述設(shè)計(jì)是否正確？ (2) 如果上述設(shè)計(jì)不正確，請(qǐng)作出正確設(shè)計(jì)。 T 圖 7-7 9. 已知系統(tǒng)如T圖7-8所示，