《自動控制理論》第二章例題解析

第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)模型 ，例題解析 例2-1機械系統(tǒng)如圖2-1所示，《)為外力，Mi，也為質(zhì)量，"和勿為阻尼系數(shù), L為彈性系數(shù)。求以質(zhì)量Mi的速度和位移2為輸出，，*)為輸入時的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解：先畫出以M和“2的受力圖如圖2-2。 根據(jù)圖2-2,列出如下方程： +A](V[ -v2) + b2vl = r M^v2 + kxy = /?!(Vj - v7) V2 =^2 零初始條件下進行拉氏變換，并整理得: H 頑T)&(T) B1(T)&(t) K& | ? M2GJ2 Mi A p2Wi P(T) Mi 圖2-1機械系統(tǒng) P1(CJ1-UJ2) Miuji Ph) (M]S + /?i +b2)Vl(s)-b]V2(s) = R(s) -(s) + (如 + 但 + -)V2(5)= 0 圖2-2 消去中間變量巧(s)得 R(S) 峪(S)= 八 7 , (A/|S + /?| +。2)(財2、+。] +%)—/?]2 所以，以Vi(s)為輸出，R(s)為輸入的傳遞函數(shù)是 =w = + k R(s) (M|S + A| +")(M,2 +b】s + k)_b； 若輸出為Mi的位移工|,則由于sXi(s)= Vi(5),故其傳遞函數(shù)為 C (s) C (s) C2 (s) G(S) 匕(s) ' R\ (S) ' &(s) 圖 2-27 解：用結(jié)構(gòu)圖等效變換法求解。如圖2-28和2-29。 圖 2-28 Ge 例2-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2-27所示。試求柘 圖 2-29 計算湍和需時令心=。，有: Ri 圖 2-30 C Ci R c2 圖 2-31 所以 G]G2G3 G (s) 1 -G[Ga 的 3) ] +( GQz)G4G5 H】％ 1-G,G2 1 + G4 g2 (I + G/GG2G3 I + G4 -g}g2 -g]g2g4^-g]g4g5h]h2 G|G2 "）（頑;）（寸頑）乞 和 一 1+（_^）（生）（耍* \-g}g2 g2 1 + g4 1 GlG4G5G6H2 1 + G4 — G|G0 — G|G2G4 + GQ4G5H [H 2 同理’計算部和斜時’可令S。，方法同上，略。 例2-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖23所示,求器 圖 2-32 R（s） C（s） 解法一：由結(jié)構(gòu)圖等效變換求解。 圖 2-33 圖 2-33 C(s) 所以, C(s) GG2G3 + GJ1 + G2G3H2 + Gg] - GG2H1) ^(5) ~ l + G2G3//2+G2//1-G,G2H1 解法二：用信號流圖法解。在結(jié)構(gòu)圖上畫出相關(guān)節(jié)點。 圖 2-35 信號流圖為 該信號流圖由兩條前向通路，三個獨立回路。 前向通路增益為: P\ = GIG2G3 . P2 = G4 三個獨立回路分別為: +Gi G2//1 —G2G3H2, 所以 A = 1+G2G3H2+G2H1 - GiG2//i 所以 G)G2G3 + G4 (1 + G2G3H2 + G2H、— G]G2H}) l + G2G3/72 +G2/7, -G}G2H} 圖 2-37 例5系統(tǒng)如圖2-37所示，用梅遜公式求齋，篇 解：（1）將圖2-37中各信號端口標(biāo)注出來（圖2-38）,然后依次畫出相應(yīng)得信號流圖。 （圖 2-39） 圖 2-38 ⑥ h2  R(s) 所以 例 2-11 圖 2-39 (2)求C墮，該系統(tǒng)由兩條前向通道，三個獨立回路。 R(s) Pi = G/G2G3 , P2 = G4G3 Lx =-G3H2, L2=-G1H1， L3=—GiG2G3H|〃2 其中L和3不接觸。 所以 △ = 1+G3H2+GIM + GIG2G3HIH2+G3H2GIH1 △ i = l, A 2= 1 +G\H\ 所以 C(s) _ G}G2G3 + G4G3(1 + Gj/7|) I + G3H2 +GQ2G3H1/ +G3H&H1 求旦立，該系統(tǒng)有兩條前向通路，三個獨立回路。 Pi = 1, P2 = -G4G3H2H1 △ -k+GsHa+GiHi+GiGaGsHifh+GslhGiHi △ 1 = 1+G3H?， △ 2=1 £"(s) 1 + G3H2 - G4G3H[H& ~R(s)~ A 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2-40所示，用梅遜公式求£墮。 R(s) 圖 2-40 解：先將各節(jié)點標(biāo)注出來，然后畫出相應(yīng)的信號流圖如圖2-41, 2-42o 該系統(tǒng)有九條前向通路，四個互相接觸的單獨回路，分別為： 1 “。(頃酒=整，呢很)(與(4 平 S S S' S S S S p3 = 52(i)7C2A = Kv P4= /co (-)(-)=與 s s s s s Ps = 52(-)(^)(-)=玉, (-)(-) = 1 s s s s s s Pj = -sK2 (—) = -K2， Ps = —s(—)(—)=( ) s s s s i i k R)=—s(—Y)㈠㈠=(T s s s 偵=4…尊 "M， y—單 S ? s s~ s、 所以 △ 1= A 2= A 3= A 4= A 5= A 6= A 7= A y= A 9= 1 4冬&冬 +玉—也+1 C(s)_ s 尸 +52 53 2 2 5 S R(s) X Kg Kg J；+ 亍+ b 二 =1 h Ci 圖 2-43 例2-12 RC網(wǎng)絡(luò)如圖2-43所示，其中 皿地分別為網(wǎng)絡(luò)的輸入量和輸出量，現(xiàn)要求; （1） 畫出網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖； （2） 求傳遞函數(shù)t/2（s）/g（s）,并化為標(biāo) 準(zhǔn)形式； （3） 討論元件Ri，RlG’G參數(shù)的選擇 是否影響網(wǎng)絡(luò)的絕對穩(wěn)定性。 解：（1）根據(jù)圖2-43所示列方程： 輸入回路 t/. =/?,/.+(/. 4-/2)— C2s 1) 輸出回路 U? — +(L + 人)八 C2s 2) 中間回路 鄲=(&+!)& C,s 3) 由式1） 1 L _ C2s 4) tj 1 j RCs + l 5 C l2 C2s 由式3） /2 _ RCs 5) /| R^C］、+1 由式2） (/2=-^/i+(/?24--^)/2 6)  由式4),式5),式6)可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-44所示。 圖 2-44 (2)用梅遜公式求出： Gs x RQs >u U 2(S) R]G$ + 1 RGs + ll C25) + 1 C2s U|(s) 十 R、C\S 1 1 + x ————x R]Gs + l /?2Cry+ 1 C2s R] /?9C,]C，2*y2 + (R] + R?)Gs +1 Ri RdC[C)s~ + (R[C? + R、C\ + R]C[)s +1 (3) 元件R. R2. C,.C2參數(shù)均為大于零的常數(shù)，且系統(tǒng)特征多項式是二階，無論R. Ri. G. C2怎樣取值，系統(tǒng)特征多項式系數(shù)總大于零，故不影響系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。 例2-13某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2-45所示，R(s)為輸入，P(s)為擾動，C(s)為輸出。試： (1) 畫出系統(tǒng)的信號流圖； (2) 用梅遜公式求其傳遞函數(shù)C(s)/R(s)； 圖 2-45  （3）說明在什么條件下,輸出C（s）不受擾動P（s）的影響。 解：（1）將圖2-45中各端口信號標(biāo)注出來（圖2-46）,然后依之畫出相應(yīng)的信號流 圖 2-47 （2）該系統(tǒng)有四條回路，兩條前向通道。 △ = 1 一 [一G| G2Hx-G2G3H2-Gx G2G3G4 H3-GlG5H3] = 1 + GQm i + G2G3H 2 + G1G2G3G4/73 + G1G5H3 p\ = ^G2G3G4 Ai =1 PT。, A2=l C(j) G|G2G3G4 +G|G5 R(s) 1 + G|G2^/| + G2G3H2 + G|G2G3G4773 + GlG5H3 (3)擾動P(s)到輸出C(s)由兩條前向通道。 P} =g3g4 a, =1 + GiG2W, p2=-g.h2g5 A2=l C(s) &3&4(1 + <60)-。3叩5 P(s) 1 + G}G2H + G2G3H2 + G^G2G3G4H 3 + G{G5H3 ?、XJs) l*(s) ”3+姑 +比 G(S)= = = 1 ZTT R(s) s R(s) s(A/|S + b] + -2 )(^2S~ + * + k) - b：s~ 例2-2如圖2-3所示的RC電路，試畫出其結(jié)構(gòu)圖，并求出其傳遞函數(shù)。 Ui(s) C2 UcXs) 圖2-3 解:輸入為Yi(b),輸出為Y°(b),其他參數(shù)如圖所示.根據(jù)電路定律得(直接寫成頻譜形式 [")-U(s)]： = L(s) L(S)—，2(S)=/(S) /(s)= = U(s) Crv [U(s)_U°(s)]； = /2(s) a2 上述五個式子結(jié)構(gòu)如圖2-4 Yo(o) 圖2-4 令 竺= (),得 P(s)不影響 C(s)的條件:G4(l + G|0H|) = G5m P(s) 例2-14某復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-48所示。試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。 圖 2-48 解: 用梅遜公式求解。本題結(jié)構(gòu)圖中有六條前向通路，三個回路，回路間均有接觸。 △ = 妃心 I” 馬=4+與+^2 S S S S S S _ 1 rv + 1 1 K（rv + 1） 匕=A. s s s △】=1 TS + \ △3=1 P.=s2-- = \ S S c Z5 + 1 1 # + 1 己=-5 = △4=1 h=l K（公+ 1）+ Ks + $2（# + 1） + $3 一$2（公 + ]）+ $2 ] S' + $2 + Ks 4- K.TS 4- K 例2-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-49所示，求C(s)/R(s)。  圖 2-49 解：用梅遜公式求解。木題結(jié)構(gòu)圖有兩條前向通道，六個回路，其中有一組兩兩互 不接觸回路。 A = l-{-/7-G2-G,-G1G2-(-G3)-[-(-G3)J} 4-[-(-G3)](-//) =1 + H + G》+ G] + G] G? G3 H 4=—G3 d=i △2 =1_(_H) = 1 + H 中(s)= G|G?—(1 + H)G3 1 + G] + G2 + H + G|G2 — G3H 例2-16系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-50所示，求V(.9)/C(.y)o 解法一：C(s)并不是一個可自由變動的獨立信號，因此直接可以寫出 U(s)/C(s) = "3(s)  圖 2-50 解法二：利用梅遜公式求解。 C(s) G|(s)GJs)G3(s) R(s) V(S)= G|(S)G2(S)G3(S)〃3(S) R(s) A 冬華竺墮 C(s) C(s)/R(s) 例2-17設(shè)線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-51所示。試： 畫出系統(tǒng)的信號流圖； 求傳遞函數(shù) C(s)/R(s)及 C(s)/R2(s)。 (1) 圖 2-51 解：(1)在結(jié)構(gòu)圖上把需要引出的信號做出標(biāo)記(如圖2-52中的“O”所示)，對應(yīng) 畫出信號流圖2-53所示。 (2)利用梅遜公式：當(dāng)R(s)單獨作用時，系統(tǒng)有3條前向通道，3個回路，其中一 組兩兩互不接觸。 圖 2-52 △ = 1一［一一 —-- )1+(—- = s + 2 s + a s s + qs + 2 s + 2 s + qs 1 + + s + 2 s(s +。) 1 (s + Q)(s + 2) s(s + Q)(s + 2) A, =1-(—^-)= S +。S 1 + s(s + a) p2 =1——— s + 2 (s + a) PL ' K 1 △/I A3 = 1 __L(1 C(s)二 ZlA 二 s + 2 布—△ _i+_L + s + 2 s(s + a) s(s + q- K) + 爪)_ s(s + a) (s + 2)(s + a) s(s + 2)(s + a) 1 (s + o)(s + 2) s(s + 2)(s 4- a) s" + (q + 3)52 + 3as + 3K R2（S）單獨作用時對應(yīng)有兩條前向通路。 1 △】=1 △2 =1 + — _ + (1+——) s + a s(s +。) 5 + 2 C(5) K(s2+3s + 3) R2 (s) ] + ] + K K * K $ 3 +(。+ 3)$ 2 + 3as + 3K 5 + 2 5(5 + a) (5 + a)(s + 2) s(s + 2)(s + o) 例2-18系統(tǒng)微分方程式如下: 的=《［心)一«)-歷3】 Tx3+x3=x}+ x2 c(r) = k2x3 式中《)是輸入量；c(。是輸出量；X\, X2, 為中間變量；1,0,燈*2為常數(shù)。畫出系統(tǒng) 的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。 解：分別對微分方程進行拉氏變換可得： X】 二Y R(s) - C(s)-班3 s XJ R(s) = ts X3 二 1 X, + X2 7X + 1 C(s)/、3 =處 s 對每個方程相應(yīng)做出子結(jié)構(gòu)圖，如圖2-54所示，連接各子結(jié)構(gòu)圖成為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖, 如圖2-55所示。 圖2-54子結(jié)構(gòu)圖 圖 2-55 (2)利用梅遜公式求C(s)/R(s)：系統(tǒng)有2條前向通路，2個回路。直接寫出傳遞函 數(shù)： 寸 +』 C(s) _ _ 52(77v +1) 7\ + l _ rk2s2 +k{k2 奇'~ Ts3 +s2 +k,(3s + k,k2 例2-19若某系統(tǒng)在階躍輸入作用/</)=!(/)時，系統(tǒng)在零初始條件下的輸出響應(yīng) C(r)=l —廠2，+廠，，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。 解:先求傳遞函數(shù)： 1 1 1 G 二 C(s)二 L[CQ)]二"_擊 + ；?1二尸+45 + 2 ' R(s) L[r(r)] 1 s?+3s + 2 再求單位脈沖響應(yīng)： 單位脈沖響應(yīng)等于單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)或等于傳遞函數(shù)的拉氏變換。 即： h(【)== 5(，)+ 2e'2t - el dt 或 h(t) = r' |~= — - + -^-1 = 5(，)+ 2。頂—d _s2+3s + 2] L s + 1 s + 2」 2 例2-20己知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s) =一二— s(s + 3) 且初始條件為c(O)=—1, c(O) = 0 o 試求：系統(tǒng)在”)=1(，)作用下的輸出響應(yīng) 面。 解：依題意可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖 2-56所示。 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 圖 2-56 ")= /^、+3s + 2 對應(yīng)系統(tǒng)微分方程 c(t) + 3c(t) + 2c(t) = 2r(t) 進行拉氏變換得 [s2C(s) 一 sc(O) - c(O) | + 3[sC(s) 一 c(O)] + 2C(s) = 2R(s) (s2 + 3s + 2)C(s) = 2R(s) + c(O) + sc(O) + 3c(O) C(s)= 2x ——5-3 s + 3s + 2 —s" — 3s + 2 s(s + l)(s + 2) 分解部分分式得 4 2 1 S+1 5+2 W) = l—4gT +2疽 iJij 2-21 Consider the mechanical system shown in Fig.2.1(a)and its electrical circuit analog shown in Fig.2.16(b). Find the transfer function of this system % (s) R(s)? The velocities, Vf (/) and 煩，)，of the mechanical system are directly analogous to the node voltages V](f)and V2W of the electrical circuit. The simultaneous equations, assuming the initial conditions are zero, M]S%(S)+ 0| +Z?2)Vj(5')-/?2V2(5,) = /?(5) M2sV2 (s) + b}[(y2 (s) 一％ (s)] + R = 0 (2.1) (2.2) These equations are obtained using the force equations fbr the mechanical Fig.2.1 (a).Rearranging Eqs, (2.1 )and (2.2), we obtain system of [M]S +(4 + b2)]V} (s) + (-4)嶺(s) = R(s) k\ (一4)%(s)+ M2s + b}+- V2W = 0 k s / or, in matrix form, we have + +/?2) (") w -r（s）- 1 v2（s）_ _ 0 3) M2s + h} +- (2.3) Friction% z(x Friction/?! velocity FIGURE2.1 Two-mass Mechanical system, electric circuit analog Ci=M|. C2=M2. L=l/k, Ri=l/bi， R2=l/b?. Force /</) Velocity (a) Vi Ri V2 Current < KO C\ —i— R\ Ci ~T~ L (b) Assuming the velocity of M\ is the output variable , we solve for Vi(s) by matrix inversion or Cramer\ rule to obtain (2, 3) (M 2, + b[ +(A/s))R(s) "⑶ 一(M | S + 4 + 如)(M 2$ + 4 + (k / S))- Then the transfer function of the mechanical (or electrical) system is (M2s + h} + (k j s)) ¥)=外- R(s) + 4 +b2)(M2s + bl +(kl s))-b： (M2S2 +/?|5, + Z：) (A7]S + 4 +b2)(M2s2 + b、s + k) -b：s If the transfer function in terms of the position xi(z) is desired , then we have X|(s) *(s) _G(s) R(s) sR(s) s 例 2-22 A two-path function G(s)=冰. R(s) signal-flow graph is shown in Fig.2.2.Determine the transfer The paths connecting the inpul R(s) and output Y(s) are Path 1 ： * = G]G2G3G4 and path 2: P2 = G5G6G7G8. There are four self-loops: L[ = G2H2， L2 = H3G3， L3 = G6H6 , L4 = G7H7. Loops Liand L2 do not touch L3 and L4.There fore the determinant is △ = 1 — (Zq 4- £ + £3 + 乙4 ) + (&| A + L[ L4 + 乙2+ L?乙4 ) . The cofactor of the determinant along path 1 is evaluated by removing the loops that touch path 1 from △. Therefore we have L[ = L2 = 0 and △〔 = 1 一(L3 + £4). Similarly, the cofactor for path 2 is △》=1 —+ L?) Therefore the transfer function of the system is 座)=G(s) = R— "土 R(s) A R(s) _七4)+6566&7。8(1« _右) 1 — Z/| — L)— L — + Z>| Z/3 + A L4 + L)+ L, L4 FIGURE2.2 Two-path interacting system 將輸入量Yi(b)置于最左邊，輸出量Y°(b)置于最右邊，將各子結(jié)構(gòu)圖按邏輯連接起來, 構(gòu)成系統(tǒng)完整的結(jié)構(gòu)圖，如圖2-5所示。 ，(s) 圖2-5 為了求出傳遞函數(shù)，需將此結(jié)構(gòu)圖等效變換如圖2-6和2-7 所以傳遞函數(shù)為： 斜(心+ 1)(心+ 1)+心 圖2-6 圖2-7 例2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-8所示,求傳遞函數(shù)。 R(s) C(s) 解：用結(jié)構(gòu)圖2-9等效變換法求解。 圖2-9 得傳遞函數(shù)為 C(s) G]G2G3G4 1 - G3G4 + G2G3 W2 + GxG2Gfi,H. 例2-4用結(jié)構(gòu)圖等效變換法，求圖5所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)湍。 圖2-10結(jié)構(gòu)圖 得傳遞函數(shù)為器品茶% 例2-5結(jié)構(gòu)圖如圖E所示,調(diào) R(s) 圖 2-12 等效方法一:  G1G2G3G4 R(s) 解得 G(s)=麗 1 * G G3H3 + G3GM + G,G2G3W2 - GlG2G.G4Hl 等效方法二: 圖 2-14 結(jié)果同上。 解 例2-6某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖5所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)器。  圖 2-17 R(s) 圖 2-19 C(s) =1 所以, 例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖&所示，湍 圖 2-21 解：用等效變換法求解。 圖 2-22 1/G2 R(s) 圖 2-24 C(s) 圖 2-25 C(s) C(S) 附 圖 2-26 所以 C(s) G\G2 ~G3~ G3HI G(s)= R(s) 1 + H] + G + G2 + GxG2 - G3和H]