八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 1 兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差學(xué)案 （新版）華東師大版.doc

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12.3　乘法公式 1　兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差 課前知識(shí)管理 1、兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2所以，我們把這個(gè)公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象記憶為：(□+△)(□—△)=□2—△2. 幾何背景：如圖，陰影部分的面積可以看成是大正方形的面積減去小正方形的面積，即a2－b2.　　 若把小長方形Ⅲ旋轉(zhuǎn)到小長方形Ⅳ的位置，則此時(shí)的陰影部分的面積又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b），從而驗(yàn)證了平方差公式（a+b）（a－b）＝a2－b2. 2、平方差公式的特征：（1）公式左邊的兩個(gè)因式都是二項(xiàng)式，必須是相同的兩數(shù)的和與差.或者說兩個(gè)二項(xiàng)式必須有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)只有符號(hào)不同.（2）公式中的a與b可以是數(shù)，也可以換成一個(gè)代數(shù)式. 名師導(dǎo)學(xué)互動(dòng) 典例精析： 知識(shí)點(diǎn)1：直接應(yīng)用平方差公式 例1、計(jì)算：． 【解題思路】此題是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且這兩個(gè)二項(xiàng)式中各有一完全相同的項(xiàng)，另外一項(xiàng)－與互為相反數(shù)，符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此，可直接套用平方差公式． 【解】=． 【方法歸納】將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的相同項(xiàng)看作□，符號(hào)相反的項(xiàng)－與看作△，就可以直接運(yùn)用平方差公式. 對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算(y—2x)(—2x—y). 知識(shí)點(diǎn)2：連用平方差公式化簡(jiǎn) 例2、化簡(jiǎn)：. 【解題思路】本題的前兩項(xiàng)能利用平方差公式得到，它與第三項(xiàng)又能構(gòu)成平方差公式，依次類推，較輕松地得到結(jié)果. 【解】原式== = 【方法歸納】連用平方差公式使運(yùn)算量大大減小，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)算目的. 對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算： 知識(shí)點(diǎn)3：分組后運(yùn)用平方差公式 例3、計(jì)算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5). 【解題思路】若直接運(yùn)算,則計(jì)算比較繁瑣,如果運(yùn)用乘法的交換律將第一、三結(jié)合，第二、四結(jié)合分組，就可以利用乘法公式計(jì)算. 【解】(2a+3)(3a+5)(2a－3)(2a－5)=[(2a+3)(2a－3)][(3a+5)(3a－5)]=(4a2-9)(9a2－25)=36a4－181a2+225. 【方法歸納】根據(jù)算式中各因式的特征，恰當(dāng)分組后利用乘法公式可以簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算量. 對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算：(x+2)(x2+4)(x—2). 知識(shí)點(diǎn)4：添項(xiàng)后運(yùn)用平方差公式 例4．計(jì)算；． 【解題思路】本題若添上一個(gè)因式“２－１”后，則可以連續(xù)四次運(yùn)用平方差公式計(jì)算． 【解】原式＝ ＝＝． 【方法歸納】本題的解題關(guān)鍵是在不改變?cè)降闹档那疤嵯?，將原式添上一個(gè)因式，使得它能運(yùn)用乘法公式計(jì)算． 對(duì)應(yīng)練習(xí)：某同學(xué)在計(jì)算時(shí)，把寫成后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計(jì)算：. 請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：. 知識(shí)點(diǎn)5：逆用平方差公式 例5．計(jì)算： 【解題思路】若直接運(yùn)用完全平方公式展開再相減，運(yùn)算量大，若把式中的“”與“”分別視為平方差公式中的a、b，逆用平方差公式，則運(yùn)算簡(jiǎn)便． 解： . 【方法歸納】本題正向思考解題較為麻煩，若抓住題目的特征，逆用公式解題，往往顯得簡(jiǎn)單． 對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算：. 知識(shí)點(diǎn)6：變形后運(yùn)用平方差公式 例6.計(jì)算. 【解題思路】注意到93接近整百數(shù)100，二者相差7，若使用數(shù)字93、7巧構(gòu)平方差公式便可實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)算. 【解】. 【方法歸納】公式可以變形為. 對(duì)應(yīng)練習(xí)：計(jì)算： 知識(shí)點(diǎn)7：拆項(xiàng)變形后使用 例7、計(jì)算(x-y+1)(x+y-5). 【解題思路】觀察式子的特點(diǎn),可以將兩個(gè)多項(xiàng)式拆成兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的形式.然后利用平分差公式計(jì)算. 解： (x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x2-4x+4-y2+6y-9=x2-y2-4x+6y-5. 【方法歸納】拆項(xiàng)的關(guān)鍵在于將兩個(gè)因式中的相同項(xiàng)、相反項(xiàng)正確分析出來，并恰當(dāng)分組，使之符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征. 對(duì)應(yīng)練習(xí)： 易錯(cuò)警示 例8、計(jì)算：(2x+3)(2y-3). 錯(cuò)解：(2x+3)(2y-3)=4xy-9. 錯(cuò)解分析：(2x+3)(2y-3)中的兩個(gè)因式不符合“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積”，因此不能用平方差公式做，只能按多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算． 正解：(2x+3)(2y-3)=4xy-6x+6y-9. 例9、(2x+9)(2x-9). 錯(cuò)解：(2x+9)(2x-9)=4x2-9. 錯(cuò)解分析：(2x+9)(2x-9)應(yīng)等于2x與9的平方差，即(2x)2-92，錯(cuò)解中沒有把第二項(xiàng)9平方，當(dāng)?shù)诙?xiàng)是完全平方數(shù)時(shí)，很容易犯這樣的錯(cuò)誤． 正解：(2x+9)(2x-9)=(2x)2-92=4x2-81. 例10、(a3-8)(a3+8). 錯(cuò)解：(a3-8)(a3+8)=a9-64. 錯(cuò)解分析：(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6，而(a3)2≠a9. 正解：(a3-8)(a3+8)=(a3)2-82=a6-64. 例11、(-2a-7)(2a-7)． 錯(cuò)解：(-2a-7)(2a-7)＝4a2-49. 錯(cuò)解分析：(-2a-7)(2a-7)符合平方差公式的特征，但到底是哪個(gè)數(shù)的平方減去哪個(gè)數(shù)的平方呢？錯(cuò)解中認(rèn)為就是前面一個(gè)數(shù)的平方減去后面一個(gè)數(shù)的平方，但(-2a-7)(2a-7)≠(-2a)2-72，應(yīng)該是兩式中符號(hào)相同的數(shù)的平方減去符號(hào)相反的那個(gè)數(shù)的平方，即： (-2a-7)(2a-7)=(-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2或(-2a-7)(2a-7)=－(2a+7)(2a-7) =－[(2a)2-72]． 正解：　(-2a-7)(2a-7) = (-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2=49-4a2．　 課堂練習(xí)評(píng)測(cè) 知識(shí)點(diǎn)1：平方差公式 1、在邊長為的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為的小正方形（如圖1），把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個(gè)矩形（如圖2），分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是 （用字母表示）． 2、已知，則的值是 3、下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的有（ ） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 知識(shí)點(diǎn)2：平方差公式的實(shí)際應(yīng)用 4、一個(gè)長方形的面積是(x2－9)平方米，其長為(x＋3)米，用含有x的整式表示它的寬為___________米. 知識(shí)點(diǎn)3：平方差公式的運(yùn)用 5、計(jì)算：; 6、計(jì)算：(3x-2y)(9x2+4y2)(-2y-3x) 7、平方差公式的常見變形 (1)位置變化:(a+b)(-b+a)=________; (2)符號(hào)變化:(-a-b)(a-b)=_______. (3)系數(shù)變化:(2a+3b)(2a-3b)=_______. (4)指數(shù)變化:(a2+b3)(a2-b3)=_____. (5)項(xiàng)數(shù)變化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________; (6)連用公式:(a+b)(a-b)(a2+b2)= __________________. 課后作業(yè)練習(xí) 基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、填空題 1、_______. 2、______. 3、______. 4、_______. 5、_______. 6、_______. 7、_______. 8、_______）_______）. 二、選擇題 9、下列各式中，能直接用平方差公式計(jì)算的是（ ） A ; B ; C ; D . 10、下列各式中，運(yùn)算結(jié)果是的是（ ） A ; B ; C ; D . 11、為了應(yīng)用平方差公式計(jì)算(x+2y-1)(x-2y+1),下列變形正確的是( ) A.[x-(2y+1)]2 B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)] C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y+1)]2 三、解答題 12、計(jì)算. 13、先化簡(jiǎn)后求值. 提高訓(xùn)練 14、解方程. 15、已知代數(shù)式(-4x+3y)(-3y-4x)與多項(xiàng)式M的差是(2x+3y)(8x-9y),求多項(xiàng)式M. 16、一個(gè)長方形菜地,長為(2a+3)cm,寬為(2a-3)cm, 那么這塊菜地的面積是多少? 17、一個(gè)長方體的游泳池的長為(4a2+9b2)米,寬為(2a+3b)米,高為(2a-3b)米,那么這個(gè)游泳池的容積是多少? 12.3.1對(duì)應(yīng)練習(xí)答案： 1.解：原式=[(—2x)+y][(—2x)—y]=(—2x)2—y2=4x2—y2. 2.解：原式＝＝． 3.解：原式=(x+2)(x—2)(x2+4)=(x2—4)(x2+4)=x4—16. 4.答案：2 5.解：原式= . 6.解：. 7.答案：. 課堂作業(yè)練習(xí)參考答案： 1、答案： 2、答案：4 3、答案：D 4、答案：（） 5、解:原式=. 6、解:原式=[(3x-2y)(-3x-2y)](9x2+4y2) =(4y2-9x2)(9x2+4y2)=16y4-81x4 7、(1)a2-b2 (2)b2-a2 (3)4a2-9b2 (4)a4-b6 (5)(a-c)2-4b2=a2-2ac+c2-4b2 (6)a4-b4 課后作業(yè)練習(xí)參考答案： 1～8：；；；；；；0；. 9、D；10、A；11、D 12、； 13、化簡(jiǎn)結(jié)果為，求值結(jié)果為12； 14、 15、解:由題意得: M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y) =(-4x)2-(3y)2-(16x2-18xy+24xy-27y2) =16x2-9y2-16x2-6xy+27y2=18y2-6xy. 16、解:這塊菜地的面積為: (2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a2-9(cm2) 17、解:游泳池的容積是:(4a2+9b2)(2a+3b)(2a-3b) =[(2a)2-(3b)2](4a2+9b2)=(4a2-9b2)(4a2+9b2) =(4a2)2-(9b2)2=16a4-81b4(米3)