八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 1 兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差學(xué)案 (新版)華東師大版.doc
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八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 1 兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差學(xué)案 (新版)華東師大版.doc
12.3 乘法公式
1 兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差
課前知識(shí)管理
1、兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差:(a+b)(a-b)=a2-b2所以,我們把這個(gè)公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象記憶為:(□+△)(□—△)=□2—△2.
幾何背景:如圖,陰影部分的面積可以看成是大正方形的面積減去小正方形的面積,即a2-b2.
若把小長(zhǎng)方形Ⅲ旋轉(zhuǎn)到小長(zhǎng)方形Ⅳ的位置,則此時(shí)的陰影部分的面積又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b),從而驗(yàn)證了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.
2、平方差公式的特征:(1)公式左邊的兩個(gè)因式都是二項(xiàng)式,必須是相同的兩數(shù)的和與差.或者說兩個(gè)二項(xiàng)式必須有一項(xiàng)完全相同,另一項(xiàng)只有符號(hào)不同.(2)公式中的a與b可以是數(shù),也可以換成一個(gè)代數(shù)式.
名師導(dǎo)學(xué)互動(dòng)
典例精析:
知識(shí)點(diǎn)1:直接應(yīng)用平方差公式
例1、計(jì)算:.
【解題思路】此題是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,且這兩個(gè)二項(xiàng)式中各有一完全相同的項(xiàng),另外一項(xiàng)-與互為相反數(shù),符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),因此,可直接套用平方差公式.
【解】=.
【方法歸納】將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的相同項(xiàng)看作□,符號(hào)相反的項(xiàng)-與看作△,就可以直接運(yùn)用平方差公式.
對(duì)應(yīng)練習(xí):計(jì)算(y—2x)(—2x—y).
知識(shí)點(diǎn)2:連用平方差公式化簡(jiǎn)
例2、化簡(jiǎn):.
【解題思路】本題的前兩項(xiàng)能利用平方差公式得到,它與第三項(xiàng)又能構(gòu)成平方差公式,依次類推,較輕松地得到結(jié)果.
【解】原式==
=
【方法歸納】連用平方差公式使運(yùn)算量大大減小,實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)算目的.
對(duì)應(yīng)練習(xí):計(jì)算:
知識(shí)點(diǎn)3:分組后運(yùn)用平方差公式
例3、計(jì)算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).
【解題思路】若直接運(yùn)算,則計(jì)算比較繁瑣,如果運(yùn)用乘法的交換律將第一、三結(jié)合,第二、四結(jié)合分組,就可以利用乘法公式計(jì)算.
【解】(2a+3)(3a+5)(2a-3)(2a-5)=[(2a+3)(2a-3)][(3a+5)(3a-5)]=(4a2-9)(9a2-25)=36a4-181a2+225.
【方法歸納】根據(jù)算式中各因式的特征,恰當(dāng)分組后利用乘法公式可以簡(jiǎn)化計(jì)算,減少運(yùn)算量.
對(duì)應(yīng)練習(xí):計(jì)算:(x+2)(x2+4)(x—2).
知識(shí)點(diǎn)4:添項(xiàng)后運(yùn)用平方差公式
例4.計(jì)算;.
【解題思路】本題若添上一個(gè)因式“2-1”后,則可以連續(xù)四次運(yùn)用平方差公式計(jì)算.
【解】原式=
==.
【方法歸納】本題的解題關(guān)鍵是在不改變?cè)降闹档那疤嵯?,將原式添上一個(gè)因式,使得它能運(yùn)用乘法公式計(jì)算.
對(duì)應(yīng)練習(xí):某同學(xué)在計(jì)算時(shí),把寫成后,發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計(jì)算:.
請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn),計(jì)算:.
知識(shí)點(diǎn)5:逆用平方差公式
例5.計(jì)算:
【解題思路】若直接運(yùn)用完全平方公式展開再相減,運(yùn)算量大,若把式中的“”與“”分別視為平方差公式中的a、b,逆用平方差公式,則運(yùn)算簡(jiǎn)便.
解:
.
【方法歸納】本題正向思考解題較為麻煩,若抓住題目的特征,逆用公式解題,往往顯得簡(jiǎn)單.
對(duì)應(yīng)練習(xí):計(jì)算:.
知識(shí)點(diǎn)6:變形后運(yùn)用平方差公式
例6.計(jì)算.
【解題思路】注意到93接近整百數(shù)100,二者相差7,若使用數(shù)字93、7巧構(gòu)平方差公式便可實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)算.
【解】.
【方法歸納】公式可以變形為.
對(duì)應(yīng)練習(xí):計(jì)算:
知識(shí)點(diǎn)7:拆項(xiàng)變形后使用
例7、計(jì)算(x-y+1)(x+y-5).
【解題思路】觀察式子的特點(diǎn),可以將兩個(gè)多項(xiàng)式拆成兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的形式.然后利用平分差公式計(jì)算.
解:
(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x2-4x+4-y2+6y-9=x2-y2-4x+6y-5.
【方法歸納】拆項(xiàng)的關(guān)鍵在于將兩個(gè)因式中的相同項(xiàng)、相反項(xiàng)正確分析出來,并恰當(dāng)分組,使之符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征.
對(duì)應(yīng)練習(xí):
易錯(cuò)警示
例8、計(jì)算:(2x+3)(2y-3).
錯(cuò)解:(2x+3)(2y-3)=4xy-9.
錯(cuò)解分析:(2x+3)(2y-3)中的兩個(gè)因式不符合“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積”,因此不能用平方差公式做,只能按多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算.
正解:(2x+3)(2y-3)=4xy-6x+6y-9.
例9、(2x+9)(2x-9).
錯(cuò)解:(2x+9)(2x-9)=4x2-9.
錯(cuò)解分析:(2x+9)(2x-9)應(yīng)等于2x與9的平方差,即(2x)2-92,錯(cuò)解中沒有把第二項(xiàng)9平方,當(dāng)?shù)诙?xiàng)是完全平方數(shù)時(shí),很容易犯這樣的錯(cuò)誤.
正解:(2x+9)(2x-9)=(2x)2-92=4x2-81.
例10、(a3-8)(a3+8).
錯(cuò)解:(a3-8)(a3+8)=a9-64.
錯(cuò)解分析:(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6,而(a3)2≠a9.
正解:(a3-8)(a3+8)=(a3)2-82=a6-64.
例11、(-2a-7)(2a-7).
錯(cuò)解:(-2a-7)(2a-7)=4a2-49.
錯(cuò)解分析:(-2a-7)(2a-7)符合平方差公式的特征,但到底是哪個(gè)數(shù)的平方減去哪個(gè)數(shù)的平方呢?錯(cuò)解中認(rèn)為就是前面一個(gè)數(shù)的平方減去后面一個(gè)數(shù)的平方,但(-2a-7)(2a-7)≠(-2a)2-72,應(yīng)該是兩式中符號(hào)相同的數(shù)的平方減去符號(hào)相反的那個(gè)數(shù)的平方,即: (-2a-7)(2a-7)=(-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2或(-2a-7)(2a-7)=-(2a+7)(2a-7) =-[(2a)2-72].
正解: (-2a-7)(2a-7) = (-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2=49-4a2.
課堂練習(xí)評(píng)測(cè)
知識(shí)點(diǎn)1:平方差公式
1、在邊長(zhǎng)為的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形(如圖1),把余下的部分沿虛線剪開,拼成一個(gè)矩形(如圖2),分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積,可以驗(yàn)證的乘法公式是 (用字母表示).
2、已知,則的值是
3、下列計(jì)算中,錯(cuò)誤的有( )
①(3a+4)(3a-4)=9a2-4;②(2a2-b)(2a2+b)=4a2-b2;
③(3-x)(x+3)=x2-9;④(-x+y)(x+y)=-(x-y)(x+y)=-x2-y2.
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
知識(shí)點(diǎn)2:平方差公式的實(shí)際應(yīng)用
4、一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是(x2-9)平方米,其長(zhǎng)為(x+3)米,用含有x的整式表示它的寬為___________米.
知識(shí)點(diǎn)3:平方差公式的運(yùn)用
5、計(jì)算:;
6、計(jì)算:(3x-2y)(9x2+4y2)(-2y-3x)
7、平方差公式的常見變形
(1)位置變化:(a+b)(-b+a)=________;
(2)符號(hào)變化:(-a-b)(a-b)=_______.
(3)系數(shù)變化:(2a+3b)(2a-3b)=_______.
(4)指數(shù)變化:(a2+b3)(a2-b3)=_____.
(5)項(xiàng)數(shù)變化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________;
(6)連用公式:(a+b)(a-b)(a2+b2)= __________________.
課后作業(yè)練習(xí)
基礎(chǔ)訓(xùn)練
一、填空題
1、_______. 2、______.
3、______. 4、_______.
5、_______. 6、_______.
7、_______.
8、_______)_______).
二、選擇題
9、下列各式中,能直接用平方差公式計(jì)算的是( )
A ; B ;
C ; D .
10、下列各式中,運(yùn)算結(jié)果是的是( )
A ; B ;
C ; D .
11、為了應(yīng)用平方差公式計(jì)算(x+2y-1)(x-2y+1),下列變形正確的是( )
A.[x-(2y+1)]2 B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)]
C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y+1)]2
三、解答題
12、計(jì)算.
13、先化簡(jiǎn)后求值.
提高訓(xùn)練
14、解方程.
15、已知代數(shù)式(-4x+3y)(-3y-4x)與多項(xiàng)式M的差是(2x+3y)(8x-9y),求多項(xiàng)式M.
16、一個(gè)長(zhǎng)方形菜地,長(zhǎng)為(2a+3)cm,寬為(2a-3)cm, 那么這塊菜地的面積是多少?
17、一個(gè)長(zhǎng)方體的游泳池的長(zhǎng)為(4a2+9b2)米,寬為(2a+3b)米,高為(2a-3b)米,那么這個(gè)游泳池的容積是多少?
12.3.1對(duì)應(yīng)練習(xí)答案:
1.解:原式=[(—2x)+y][(—2x)—y]=(—2x)2—y2=4x2—y2.
2.解:原式==.
3.解:原式=(x+2)(x—2)(x2+4)=(x2—4)(x2+4)=x4—16.
4.答案:2
5.解:原式=
.
6.解:.
7.答案:.
課堂作業(yè)練習(xí)參考答案:
1、答案:
2、答案:4
3、答案:D
4、答案:()
5、解:原式=.
6、解:原式=[(3x-2y)(-3x-2y)](9x2+4y2) =(4y2-9x2)(9x2+4y2)=16y4-81x4
7、(1)a2-b2 (2)b2-a2 (3)4a2-9b2 (4)a4-b6 (5)(a-c)2-4b2=a2-2ac+c2-4b2 (6)a4-b4
課后作業(yè)練習(xí)參考答案:
1~8:;;;;;;0;.
9、D;10、A;11、D
12、;
13、化簡(jiǎn)結(jié)果為,求值結(jié)果為12;
14、
15、解:由題意得: M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y) =(-4x)2-(3y)2-(16x2-18xy+24xy-27y2)
=16x2-9y2-16x2-6xy+27y2=18y2-6xy.
16、解:這塊菜地的面積為: (2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a2-9(cm2)
17、解:游泳池的容積是:(4a2+9b2)(2a+3b)(2a-3b) =[(2a)2-(3b)2](4a2+9b2)=(4a2-9b2)(4a2+9b2)
=(4a2)2-(9b2)2=16a4-81b4(米3)