2019年高考數(shù)學大一輪復習第八章立體幾何與空間向量8.7立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直學案.doc

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2019年高考數(shù)學大一輪復習第八章立體幾何與空間向量8.7立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直學案 最新考綱 考情考向分析 1.理解直線的方向向量及平面的法向量． 2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系． 3.能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理. 利用空間向量證明空間中的位置關系是近幾年高考重點考查的內(nèi)容，涉及直線的方向向量，平面的法向量及空間直線、平面之間位置關系的向量表示等內(nèi)容．以解答題為主，主要考查空間直角坐標系的建立及空間向量坐標的運算能力及應用能力，有時也以探索論證題的形式出現(xiàn). 2．用向量證明空間中的平行關系 (1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2. (2)設直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個實數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u. (4)設平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1 ∥u2. 3．用向量證明空間中的垂直關系 (1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1v2＝0. (2)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u. (3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1u2＝0. 題組一　思考辨析 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)直線的方向向量是唯一確定的．(　　) (2)平面的單位法向量是唯一確定的．(　　) (3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行．(　√　) (4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行．(　√　) (5)若a∥b，則a所在直線與b所在直線平行．(　　) (6)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．(　　) 題組二　教材改編 2．[P104T2]設u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，當v＝(3，－2,2)時，α與β的位置關系為__________；當v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關系為________． 答案　α⊥β　α∥β 解析　當v＝(3，－2,2)時， uv＝(－2,2,5)(3，－2,2)＝0?α⊥β. 當v＝(4，－4，－10)時，v＝－2u?α∥β. 3．[P111T3]如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是________． 答案　垂直 解析　以A為原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示． 設正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，M， O，N， ＝＝0， ∴ON與AM垂直． 題組三　易錯自糾 4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A．(－1,1,1) B．(1，－1,1) C. D. 答案　C 解析　設n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量， 則化簡得∴x＝y(tǒng)＝z.故選C. 5．直線l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，則有(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l與α斜交 D．l?α或l∥α 答案　B 解析　由a＝－n知，n∥a，則有l(wèi)⊥α，故選B. 6．已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不對 答案　C 解析　∵n1≠λn2，且n1n2＝2(－3)＋31＋5(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直. 題型一　利用空間向量證明平行問題 典例　如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：PB∥平面EFG. 證明　∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD， ∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)， D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)， F(0,1,1)，G(1，2,0)． ∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)， 設＝s＋t， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， ∴解得s＝t＝2，∴＝2＋2， 又∵與不共線，∴，與共面． ∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG. 引申探究 若本例中條件不變，證明平面EFG∥平面PBC. 證明　∵＝(0,1,0)，＝(0,2,0)， ∴＝2，∴BC∥EF. 又∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴EF∥平面PBC， 同理可證GF∥PC，從而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF，GF?平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC. 思維升華 (1)恰當建立空間直角坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵． (2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算． 跟蹤訓練　如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD. 證明　方法一　如圖，取BD的中點O，以O為原點，OD，OP所在直線分別為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz. 由題意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)． 設點C的坐標為(x0，y0，0)． 因為＝3， 所以Q. 因為M為AD的中點，故M(0，，1)． 又P為BM的中點，故P， 所以＝. 又平面BCD的一個法向量為a＝(0,0,1)，故a＝0. 又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 方法二　在線段CD上取點F，使得DF＝3FC，連接OF，同方法一建立空間直角坐標系，寫出點A，B，C的坐標，設點C坐標為(x0，y0，0)． 因為＝，設點F的坐標為(x，y，0)，則 (x－x0，y－y0，0)＝(－x0，－y0，0)， 所以所以＝. 又由方法一知＝， 所以＝，所以PQ∥OF. 又PQ?平面BCD，OF?平面BCD， 所以PQ∥平面BCD. 題型二　利用空間向量證明垂直問題 命題點1　證線面垂直 典例 如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD. 證明　方法一　設平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實數(shù)λ，μ，使m＝λ＋μ. 令＝a，＝b，＝c，顯然它們不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，ab＝ac＝0，bc＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個基底， 則＝a＋c，＝a＋b，＝a－c， m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc， m＝(a－c) ＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，結(jié)論得證． 方法二　取BC的中點O，連接AO. 因為△ABC為正三角形， 所以AO⊥BC. 因為在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC， 所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中點O1，以O為原點，分別以OB，OO1，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示， 則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)， A(0,0，)，B1(1,2,0)． 設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)． 因為n⊥，n⊥， 故即 令x＝1，則y＝2，z＝－， 故n＝(1,2，－)為平面A1BD的一個法向量， 而＝(1,2，－)，所以＝n，所以∥n， 故AB1⊥平面A1BD. 命題點2　證面面垂直 典例　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，設E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點． (1)求證：EF∥平面PAD； (2)求證：平面PAB⊥平面PDC. 證明　(1)如圖，取AD的中點O，連接OP，OF. 因為PA＝PD，所以PO⊥AD. 因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. 又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點，所以OF∥AB. 又ABCD是正方形，所以OF⊥AD. 因為PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝. 以O為原點，OA，OF，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系， 則A，F(xiàn)，D， P，B，C. 因為E為PC的中點，所以E. 易知平面PAD的一個法向量為＝， 因為＝， 且＝＝0， 又因為EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD. (2)因為＝，＝(0，－a,0)， 所以＝(0，－a,0)＝0， 所以⊥，所以PA⊥CD. 又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD?平面PDC， 所以PA⊥平面PDC. 又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC. 思維升華 證明垂直問題的方法 (1)利用已知的線面垂直關系構(gòu)建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算．其中靈活建系是解題的關鍵． (2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量垂直即可，當然 ，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可． 跟蹤訓練 如圖所示，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 證明　(1)取BC的中點O，連接PO， ∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形， 平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO?平面PBC， ∴PO⊥底面ABCD. 以BC的中點O為坐標原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示． 不妨設CD＝1，則AB＝BC＝2，PO＝， ∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)， ∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)． ∵＝(－2)1＋(－1)(－2)＋0(－)＝0， ∴⊥， ∴PA⊥BD. (2)取PA的中點M，連接DM，則M. ∵＝，＝(1,0，－)， ∴＝1＋00＋(－)＝0， ∴⊥，即DM⊥PB. ∵＝1＋0(－2)＋(－)＝0， ∴⊥，即DM⊥PA. 又∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB， ∴DM⊥平面PAB. ∵DM?平面PAD， ∴平面PAD⊥平面PAB. 題型三　利用空間向量解決探索性問題 典例 (xx桂林模擬)如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求證：BD⊥AA1； (2)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由． (1)證明　設BD與AC交于點O，則BD⊥AC，連接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60， ∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1AOcos 60＝3， ∴AO2＋A1O2＝AA， ∴A1O⊥AO. 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O?平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABCD. 以OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)． 由于＝(－2，0,0)，＝(0,1，)， ＝0(－2)＋10＋0＝0， ∴⊥，即BD⊥AA1. (2)解　假設在直線CC1上存在點P，使BP∥平面DA1C1， 設＝λ，P(x，y，z)，則(x，y－1，z)＝λ(0,1，)． 從而有P(0,1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)． 設平面DA1C1的法向量為n3＝(x3，y3，z3)， 則 又＝(0,2,0)，＝(，0，)， 則 取n3＝(1,0，－1)，因為BP∥平面DA1C1， 則n3⊥， 即n3＝－－λ＝0，得λ＝－1， 即點P在C1C的延長線上，且C1C＝CP. 思維升華 對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進一步論證；另一種是利用空間向量，先設出假設存在點的坐標，再根據(jù)條件求該點的坐標，即找到“存在點”，若該點坐標不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”． 跟蹤訓練　(xx北京)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝. (1)求證：PD⊥平面PAB； (2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由． (1)證明　∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD. ∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD. 又PA⊥PD，PA∩AB＝A，且PA，PB?平面PAB， ∴PD⊥平面PAB. (2)解　取AD的中點O，連接CO，PO. ∵PA＝PD， ∴PO⊥AD. 又∵PO?平面PAD， 平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PO⊥平面ABCD， ∵CO?平面ABCD，∴PO⊥CO， 又∵AC＝CD，∴CO⊥AD. 以O為原點，OC，OA，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系， 易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，－1,0)，C(2,0,0)， 則＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(2,0，－1)， ＝(－2，－1,0)． 設n＝(x0，y0，1)為平面PCD的一個法向量． 由得解得 即n＝. 設PB與平面PCD的夾角為θ， 則sin θ＝|cos〈n，〉|＝ ＝＝. (3)解　設M是棱PA上一點，則存在λ∈[0,1]使得＝λ，因此點M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)， ∵BM?平面PCD，∴BM∥平面PCD， 當且僅當n＝0， 即(－1，－λ，λ)＝0，解得λ＝，∴在棱PA上存在點M使得BM∥平面PCD，此時＝. 利用向量法解決立體幾何問題 典例 (12分)如圖1所示，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如圖2所示． (1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由； (2)求二面角E－DF－C的余弦值； (3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論． 思想方法指導 對于較復雜的立體幾何問題可采用向量法 (1)用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想． (2)兩種思路：①選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關定理與向量的線性運算進行判斷．②建立空間直角坐標系，進行向量的坐標運算，根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義解釋相關問題． 規(guī)范解答 解　(1)AB∥平面DEF，理由如下： 在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點，得EF∥AB. 又AB?平面DEF，EF?平面DEF， ∴AB∥平面DEF.[1分] (2)以D為原點，分別以DB，DC，DA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，F(xiàn)(1，，0)，[3分] 易知平面CDF的法向量為＝(0,0,2)， 設平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)， 則即取n＝(3，－，3)， 則cos〈，n〉＝＝， ∴二面角E－DF－C的余弦值為.[6分] (3)設P(x，y,0)，則＝y(tǒng)－2＝0，∴y＝. 又＝(x－2，y,0)，＝(－x,2－y,0)， ∵∥，∴(x－2)(2－y)＝－xy， ∴x＋y＝2.[9分] 把y＝代入上式得x＝，∴P， ∴＝，∴點P在線段BC上． ∴在線段BC上存在點P，使AP⊥DE.[12分] 1．已知平面α內(nèi)有一點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量為n＝(6，－3,6)，則下列點P中，在平面α內(nèi)的是(　　) A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) 答案　A 解析　逐一驗證法，對于選項A，＝(1,4,1)， ∴n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴點P在平面α內(nèi)，同理可驗證其他三個點不在平面α內(nèi)． 2．設u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　∵α⊥β，則uv＝－26＋2(－4)＋4t＝0，∴t＝5. 3.(xx西安模擬)如圖，F(xiàn)是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CD的中點，E是BB1上一點，若D1F⊥DE，則有(　　) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E與B重合 答案　A 解析　以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設正方形的邊長為2，則D(0,0,0)，F(xiàn)(0,1,0)，D1(0,0,2)，設E(2,2，z)，則＝(0,1，－2)，＝(2,2，z)，∵＝02＋12－2z＝0， ∴z＝1，∴B1E＝EB. 4．(xx廣州質(zhì)檢)已知平面α內(nèi)的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關系是________________________． 答案　α∥β 解析　設平面α的法向量為m＝(x，y，z)， 由m＝0，得x0＋y－z＝0，即y＝z， 由m＝0，得x－z＝0，即x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 5．(xx青島模擬)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x＋y＝________. 答案　 解析　由條件得 解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝. 6．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的序號是________． 答案?、佗冖? 解析　∵＝0，＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確； 又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD， ∴是平面ABCD的法向量，則③正確； ∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， ∴與不平行，故④錯誤． 7．(xx青海質(zhì)檢)正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD. 證明　如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系． 設正方體的棱長為1，則 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N， 于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)． 設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)， 則n＝0，且n＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1. 所以n＝(1，－1，－1)． 又n＝(1，－1，－1)＝0， 所以⊥n. 又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD. 8.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.證明：平面PQC⊥平面DCQ. 證明　如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長度，DA，DP，DC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz. 由題意得Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)， 則＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)． ∴＝0，＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 又DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ， ∴PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC， ∴平面PQC⊥平面DCQ. 9.(xx鄭州調(diào)研)如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E為PD上一點，PE＝2ED. (1)求證：PA⊥平面ABCD； (2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，請說明理由． (1)證明　∵PA＝AD＝1，PD＝， ∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD. 又PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥平面ABCD. (2)解　以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系， 則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，E，＝(1,1,0)，＝. 設平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)， 則　即 令y＝1，則n＝(－1,1，－2)． 假設側(cè)棱PC上存在一點F，且＝λ(0≤λ≤1)， 使得BF∥平面AEC，則n＝0. 又∵＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝， ∴存在點F，使得BF∥平面AEC，且F為PC的中點． 10．(xx成都調(diào)研)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面BB1C1C內(nèi) 答案　B 解析　以點C1為坐標原點，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 由于A1M＝AN＝， 則M，N， ＝. 又C1D1⊥平面BB1C1C， 所以＝(0，a,0)為平面BB1C1C的一個法向量． 因為＝0， 所以⊥，又MN?平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C. 11.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和為________． 答案　1 解析　以D1為原點，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設CE＝x，DF＝y(tǒng)，則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(xiàn)(0,0,1－y)，B(1,1,1)， ∴＝(x－1,0,1)，＝(1,1，y)，∵B1E⊥平面ABF， ∴＝(1,1，y)(x－1，0,1)＝0，即x＋y＝1. 12．(xx長沙模擬)如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點的坐標為(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 答案　C 解析　設AC與BD相交于O點，連接OE，∵AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO， 又O是正方形ABCD對角線的交點，∴M為線段EF的中點． 在空間直角坐標系中，E(0,0,1)，F(xiàn)(，，1)． 由中點坐標公式，知點M的坐標為. 13．(xx東莞質(zhì)檢)如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周)．若AM⊥MP，則點P形成的軌跡長度為________． 答案　 解析　以O點為坐標原點，OB，OS所在直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示， 則A(0，－1,0)，B(0,1,0)， S，M， 設P(x，y,0)， ∴＝，＝， 由＝y(tǒng)－＝0，得y＝， ∴點P的軌跡方程為y＝.根據(jù)圓的弦長公式，可得點P形成的軌跡長度為2 ＝.