2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.7立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直學(xué)案.doc
2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.7立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直學(xué)案
最新考綱
考情考向分析
1.理解直線的方向向量及平面的法向量.
2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.
3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.
利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系是近幾年高考重點考查的內(nèi)容,涉及直線的方向向量,平面的法向量及空間直線、平面之間位置關(guān)系的向量表示等內(nèi)容.以解答題為主,主要考查空間直角坐標系的建立及空間向量坐標的運算能力及應(yīng)用能力,有時也以探索論證題的形式出現(xiàn).
2.用向量證明空間中的平行關(guān)系
(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.
(2)設(shè)直線l的方向向量為v,與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2,則l∥α或l?α?存在兩個實數(shù)x,y,使v=xv1+yv2.
(3)設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l∥α或l?α?v⊥u.
(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1,u2,則α∥β?u1 ∥u2.
3.用向量證明空間中的垂直關(guān)系
(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1⊥l2?v1⊥v2?v1v2=0.
(2)設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?v∥u.
(3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β?u1⊥u2?u1u2=0.
題組一 思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)直線的方向向量是唯一確定的.( )
(2)平面的單位法向量是唯一確定的.( )
(3)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行.( √ )
(4)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行.( √ )
(5)若a∥b,則a所在直線與b所在直線平行.( )
(6)若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行.( )
題組二 教材改編
2.[P104T2]設(shè)u,v分別是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),當v=(3,-2,2)時,α與β的位置關(guān)系為__________;當v=(4,-4,-10)時,α與β的位置關(guān)系為________.
答案 α⊥β α∥β
解析 當v=(3,-2,2)時,
uv=(-2,2,5)(3,-2,2)=0?α⊥β.
當v=(4,-4,-10)時,v=-2u?α∥β.
3.[P111T3]如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1的中點,則直線ON,AM的位置關(guān)系是________.
答案 垂直
解析 以A為原點,分別以,,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.
設(shè)正方體的棱長為1,則A(0,0,0),M,
O,N,
==0,
∴ON與AM垂直.
題組三 易錯自糾
4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是( )
A.(-1,1,1) B.(1,-1,1)
C. D.
答案 C
解析 設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC的法向量,
則化簡得∴x=y(tǒng)=z.故選C.
5.直線l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),則有( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l與α斜交 D.l?α或l∥α
答案 B
解析 由a=-n知,n∥a,則有l(wèi)⊥α,故選B.
6.已知平面α,β的法向量分別為n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),則( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不對
答案 C
解析 ∵n1≠λn2,且n1n2=2(-3)+31+5(-4)=-23≠0,∴α,β既不平行,也不垂直.
題型一 利用空間向量證明平行問題
典例 如圖所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F(xiàn),G分別是線段PA,PD,CD的中點.求證:PB∥平面EFG.
證明 ∵平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD,
∴AB,AP,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),
F(0,1,1),G(1,2,0).
∴=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),
設(shè)=s+t,
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),
∴解得s=t=2,∴=2+2,
又∵與不共線,∴,與共面.
∵PB?平面EFG,∴PB∥平面EFG.
引申探究
若本例中條件不變,證明平面EFG∥平面PBC.
證明 ∵=(0,1,0),=(0,2,0),
∴=2,∴BC∥EF.
又∵EF?平面PBC,BC?平面PBC,∴EF∥平面PBC,
同理可證GF∥PC,從而得出GF∥平面PBC.
又EF∩GF=F,EF,GF?平面EFG,
∴平面EFG∥平面PBC.
思維升華 (1)恰當建立空間直角坐標系,準確表示各點與相關(guān)向量的坐標,是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.
(2)證明直線與平面平行,只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面,或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行,然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算.
跟蹤訓(xùn)練 如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ=3QC.
證明:PQ∥平面BCD.
證明 方法一 如圖,取BD的中點O,以O(shè)為原點,OD,OP所在直線分別為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系Oxyz.
由題意知,A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0).
設(shè)點C的坐標為(x0,y0,0).
因為=3,
所以Q.
因為M為AD的中點,故M(0,,1).
又P為BM的中點,故P,
所以=.
又平面BCD的一個法向量為a=(0,0,1),故a=0.
又PQ?平面BCD,所以PQ∥平面BCD.
方法二 在線段CD上取點F,使得DF=3FC,連接OF,同方法一建立空間直角坐標系,寫出點A,B,C的坐標,設(shè)點C坐標為(x0,y0,0).
因為=,設(shè)點F的坐標為(x,y,0),則
(x-x0,y-y0,0)=(-x0,-y0,0),
所以所以=.
又由方法一知=,
所以=,所以PQ∥OF.
又PQ?平面BCD,OF?平面BCD,
所以PQ∥平面BCD.
題型二 利用空間向量證明垂直問題
命題點1 證線面垂直
典例 如圖所示,正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.
證明 方法一 設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理,則存在實數(shù)λ,μ,使m=λ+μ.
令=a,=b,=c,顯然它們不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,ab=ac=0,bc=2,以它們?yōu)榭臻g的一個基底,
則=a+c,=a+b,=a-c,
m=λ+μ=a+μb+λc,
m=(a-c)
=4-2μ-4λ=0.故⊥m,結(jié)論得證.
方法二 取BC的中點O,連接AO.
因為△ABC為正三角形,
所以AO⊥BC.
因為在正三棱柱ABC—A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中點O1,以O(shè)為原點,分別以O(shè)B,OO1,OA所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,
則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),
A(0,0,),B1(1,2,0).
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0).
因為n⊥,n⊥,
故即
令x=1,則y=2,z=-,
故n=(1,2,-)為平面A1BD的一個法向量,
而=(1,2,-),所以=n,所以∥n,
故AB1⊥平面A1BD.
命題點2 證面面垂直
典例 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,設(shè)E,F(xiàn)分別為PC,BD的中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:平面PAB⊥平面PDC.
證明 (1)如圖,取AD的中點O,連接OP,OF.
因為PA=PD,所以PO⊥AD.
因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
PO?平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
又O,F(xiàn)分別為AD,BD的中點,所以O(shè)F∥AB.
又ABCD是正方形,所以O(shè)F⊥AD.
因為PA=PD=AD,所以PA⊥PD,OP=OA=.
以O(shè)為原點,OA,OF,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,
則A,F(xiàn),D,
P,B,C.
因為E為PC的中點,所以E.
易知平面PAD的一個法向量為=,
因為=,
且==0,
又因為EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.
(2)因為=,=(0,-a,0),
所以=(0,-a,0)=0,
所以⊥,所以PA⊥CD.
又PA⊥PD,PD∩CD=D,PD,CD?平面PDC,
所以PA⊥平面PDC.
又PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PDC.
思維升華 證明垂直問題的方法
(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標系,準確寫出相關(guān)點的坐標,從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.
(2)其一證明直線與直線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直;其二證明線面垂直,只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量垂直即可,當然 ,也可證直線的方向向量與平面的法向量平行;其三證明面面垂直:①證明兩平面的法向量互相垂直;②利用面面垂直的判定定理,只要能證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可.
跟蹤訓(xùn)練 如圖所示,已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
證明 (1)取BC的中點O,連接PO,
∵平面PBC⊥底面ABCD,△PBC為等邊三角形,
平面PBC∩底面ABCD=BC,PO?平面PBC,
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中點O為坐標原點,以BC所在直線為x軸,過點O與AB平行的直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.
不妨設(shè)CD=1,則AB=BC=2,PO=,
∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),
∴=(-2,-1,0),=(1,-2,-).
∵=(-2)1+(-1)(-2)+0(-)=0,
∴⊥,
∴PA⊥BD.
(2)取PA的中點M,連接DM,則M.
∵=,=(1,0,-),
∴=1+00+(-)=0,
∴⊥,即DM⊥PB.
∵=1+0(-2)+(-)=0,
∴⊥,即DM⊥PA.
又∵PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,
∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD,
∴平面PAD⊥平面PAB.
題型三 利用空間向量解決探索性問題
典例 (xx桂林模擬)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,∠ABC和∠A1AC均為60,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求證:BD⊥AA1;
(2)在直線CC1上是否存在點P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出點P的位置,若不存在,請說明理由.
(1)證明 設(shè)BD與AC交于點O,則BD⊥AC,連接A1O,在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60,
∴A1O2=AA+AO2-2AA1AOcos 60=3,
∴AO2+A1O2=AA,
∴A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O?平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABCD.
以O(shè)B,OC,OA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,),C1(0,2,).
由于=(-2,0,0),=(0,1,),
=0(-2)+10+0=0,
∴⊥,即BD⊥AA1.
(2)解 假設(shè)在直線CC1上存在點P,使BP∥平面DA1C1,
設(shè)=λ,P(x,y,z),則(x,y-1,z)=λ(0,1,).
從而有P(0,1+λ,λ),=(-,1+λ,λ).
設(shè)平面DA1C1的法向量為n3=(x3,y3,z3),
則
又=(0,2,0),=(,0,),
則
取n3=(1,0,-1),因為BP∥平面DA1C1,
則n3⊥, 即n3=--λ=0,得λ=-1,
即點P在C1C的延長線上,且C1C=CP.
思維升華 對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種:一種是根據(jù)條件作出判斷,再進一步論證;另一種是利用空間向量,先設(shè)出假設(shè)存在點的坐標,再根據(jù)條件求該點的坐標,即找到“存在點”,若該點坐標不能求出,或有矛盾,則判定“不存在”.
跟蹤訓(xùn)練 (xx北京)如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.
(1)求證:PD⊥平面PAB;
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
(1)證明 ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,AB?平面ABCD,
∴AB⊥平面PAD.
∵PD?平面PAD,∴AB⊥PD.
又PA⊥PD,PA∩AB=A,且PA,PB?平面PAB,
∴PD⊥平面PAB.
(2)解 取AD的中點O,連接CO,PO.
∵PA=PD,
∴PO⊥AD.
又∵PO?平面PAD,
平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PO⊥平面ABCD,
∵CO?平面ABCD,∴PO⊥CO,
又∵AC=CD,∴CO⊥AD.
以O(shè)為原點,OC,OA,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,
易知P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),
則=(1,1,-1),=(0,-1,-1),=(2,0,-1),
=(-2,-1,0).
設(shè)n=(x0,y0,1)為平面PCD的一個法向量.
由得解得
即n=.
設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ,
則sin θ=|cos〈n,〉|=
==.
(3)解 設(shè)M是棱PA上一點,則存在λ∈[0,1]使得=λ,因此點M(0,1-λ,λ),=(-1,-λ,λ),
∵BM?平面PCD,∴BM∥平面PCD,
當且僅當n=0,
即(-1,-λ,λ)=0,解得λ=,∴在棱PA上存在點M使得BM∥平面PCD,此時=.
利用向量法解決立體幾何問題
典例 (12分)如圖1所示,正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖2所示.
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求二面角E-DF-C的余弦值;
(3)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?證明你的結(jié)論.
思想方法指導(dǎo) 對于較復(fù)雜的立體幾何問題可采用向量法
(1)用向量法解決立體幾何問題,是空間向量的一個具體應(yīng)用,體現(xiàn)了向量的工具性,這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算,降低了空間想象演繹推理的難度,體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.
(2)兩種思路:①選好基底,用向量表示出幾何量,利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運算進行判斷.②建立空間直角坐標系,進行向量的坐標運算,根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問題.
規(guī)范解答
解 (1)AB∥平面DEF,理由如下:
在△ABC中,由E,F(xiàn)分別是AC,BC中點,得EF∥AB.
又AB?平面DEF,EF?平面DEF,
∴AB∥平面DEF.[1分]
(2)以D為原點,分別以DB,DC,DA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,,1),F(xiàn)(1,,0),[3分]
易知平面CDF的法向量為=(0,0,2),
設(shè)平面EDF的法向量為n=(x,y,z),
則即取n=(3,-,3),
則cos〈,n〉==,
∴二面角E-DF-C的余弦值為.[6分]
(3)設(shè)P(x,y,0),則=y(tǒng)-2=0,∴y=.
又=(x-2,y,0),=(-x,2-y,0),
∵∥,∴(x-2)(2-y)=-xy,
∴x+y=2.[9分]
把y=代入上式得x=,∴P,
∴=,∴點P在線段BC上.
∴在線段BC上存在點P,使AP⊥DE.[12分]
1.已知平面α內(nèi)有一點M(1,-1,2),平面α的一個法向量為n=(6,-3,6),則下列點P中,在平面α內(nèi)的是( )
A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)
答案 A
解析 逐一驗證法,對于選項A,=(1,4,1),
∴n=6-12+6=0,∴⊥n,∴點P在平面α內(nèi),同理可驗證其他三個點不在平面α內(nèi).
2.設(shè)u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分別是平面α,β的法向量.若α⊥β,則t等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 ∵α⊥β,則uv=-26+2(-4)+4t=0,∴t=5.
3.(xx西安模擬)如圖,F(xiàn)是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CD的中點,E是BB1上一點,若D1F⊥DE,則有( )
A.B1E=EB
B.B1E=2EB
C.B1E=EB
D.E與B重合
答案 A
解析 以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設(shè)正方形的邊長為2,則D(0,0,0),F(xiàn)(0,1,0),D1(0,0,2),設(shè)E(2,2,z),則=(0,1,-2),=(2,2,z),∵=02+12-2z=0,
∴z=1,∴B1E=EB.
4.(xx廣州質(zhì)檢)已知平面α內(nèi)的三點A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個法向量n=(-1,-1,-1),則不重合的兩個平面α與β的位置關(guān)系是________________________.
答案 α∥β
解析 設(shè)平面α的法向量為m=(x,y,z),
由m=0,得x0+y-z=0,即y=z,
由m=0,得x-z=0,即x=z,取x=1,
∴m=(1,1,1),m=-n,∴m∥n,∴α∥β.
5.(xx青島模擬)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實數(shù)x+y=________.
答案
解析 由條件得
解得x=,y=-,z=4,∴x+y=-=.
6.已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).對于結(jié)論:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正確的序號是________.
答案?、佗冖?
解析 ∵=0,=0,
∴AB⊥AP,AD⊥AP,則①②正確;
又AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,
∴是平面ABCD的法向量,則③正確;
∵=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),
∴與不平行,故④錯誤.
7.(xx青海質(zhì)檢)正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.
證明 如圖所示,以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.
設(shè)正方體的棱長為1,則
D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M,N,
于是=,=(1,0,1),=(1,1,0).
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),
則n=0,且n=0,得
取x=1,得y=-1,z=-1.
所以n=(1,-1,-1).
又n=(1,-1,-1)=0,
所以⊥n.
又MN?平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.
8.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.證明:平面PQC⊥平面DCQ.
證明 如圖,以D為坐標原點,線段DA的長為單位長度,DA,DP,DC所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Dxyz.
由題意得Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),
則=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
∴=0,=0,即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.
又DQ∩DC=D,DQ,DC?平面DCQ,
∴PQ⊥平面DCQ,又PQ?平面PQC,
∴平面PQC⊥平面DCQ.
9.(xx鄭州調(diào)研)如圖所示,四棱錐P—ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=,E為PD上一點,PE=2ED.
(1)求證:PA⊥平面ABCD;
(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F,使得BF∥平面AEC?若存在,指出F點的位置,并證明;若不存在,請說明理由.
(1)證明 ∵PA=AD=1,PD=,
∴PA2+AD2=PD2,即PA⊥AD.
又PA⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥平面ABCD.
(2)解 以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),E,=(1,1,0),=.
設(shè)平面AEC的法向量為n=(x,y,z),
則 即
令y=1,則n=(-1,1,-2).
假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F,且=λ(0≤λ≤1),
使得BF∥平面AEC,則n=0.
又∵=+=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ),
∴n=λ+1-λ-2λ=0,∴λ=,
∴存在點F,使得BF∥平面AEC,且F為PC的中點.
10.(xx成都調(diào)研)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.平行
C.垂直 D.MN在平面BB1C1C內(nèi)
答案 B
解析 以點C1為坐標原點,分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
由于A1M=AN=,
則M,N,
=.
又C1D1⊥平面BB1C1C,
所以=(0,a,0)為平面BB1C1C的一個法向量.
因為=0,
所以⊥,又MN?平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.
11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F(xiàn)分別是棱BC,DD1上的點,如果B1E⊥平面ABF,則CE與DF的和為________.
答案 1
解析 以D1為原點,D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設(shè)CE=x,DF=y(tǒng),則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(xiàn)(0,0,1-y),B(1,1,1),
∴=(x-1,0,1),=(1,1,y),∵B1E⊥平面ABF,
∴=(1,1,y)(x-1,0,1)=0,即x+y=1.
12.(xx長沙模擬)如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則M點的坐標為( )
A.(1,1,1)
B.
C.
D.
答案 C
解析 設(shè)AC與BD相交于O點,連接OE,∵AM∥平面BDE,且AM?平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,∴AM∥EO,
又O是正方形ABCD對角線的交點,∴M為線段EF的中點.
在空間直角坐標系中,E(0,0,1),F(xiàn)(,,1).
由中點坐標公式,知點M的坐標為.
13.(xx東莞質(zhì)檢)如圖,圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形,O為底面中心,M為SO的中點,動點P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AM⊥MP,則點P形成的軌跡長度為________.
答案
解析 以O(shè)點為坐標原點,OB,OS所在直線分別為y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,
則A(0,-1,0),B(0,1,0),
S,M,
設(shè)P(x,y,0),
∴=,=,
由=y(tǒng)-=0,得y=,
∴點P的軌跡方程為y=.根據(jù)圓的弦長公式,可得點P形成的軌跡長度為2 =.