《創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)》配套學(xué)案：平面向量的數(shù)量積

第3講平面向量的數(shù)量積 ［最新考綱］ 1 ?理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2?了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 3 ?掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 4 ?能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān) 系? 由淺入採(cǎi)夯基固牛 診斷-基礎(chǔ)知識(shí) 知識(shí)梳理 1. 平面向量的數(shù)量積 ⑴定義：已知兩個(gè)非零向量 a與b,它們的夾角為9,貝擻量|a||b|cos 9叫作a 與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a b,即a b= |a||b|cos 9,規(guī)定零向量與任一向量的 數(shù)量積為0,即0a= 0. (2) 幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 9的乘 積. 2. 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)向量a= (xi, yi), b= (x2, y2), 9為向量a, b的夾角. (1) 數(shù)量積：a b= |a||b|cos 9= xix2 + yiy2. (2) 模：|a|= a a= .x2+ y2. ⑶夾角：cos 9=器二聲井牛2. |a||b| >/xi + yi px2+ y2 (4) 兩非零向量a丄b的充要條件：a b= 0? xix2 + yiy2= 0. (5) |a b|w|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng) a// b時(shí)等號(hào)成立)? |xix2 + yiy2|< . x2+ yi - x2 + y2. 3. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1) a b= b a(交換律). (2) 淪 b= Xa b) = a (?b)(結(jié)合律). (3) (a+ b) c= a c+ b c(分配律). 辨析感悟 1. 對(duì)平面向量的數(shù)量積的認(rèn)識(shí) (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量，向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量. (x ) ⑵(2013 湖北卷改編)已知點(diǎn) A( — 1,1), B(1,2), C(— 2,— 1), D(3,4)，則向量 AB 在CD方向上的投影為一3J2.(X) ⑶若ab> 0,則a和b的夾角為銳角；若abv 0,則a和b的夾角為鈍角.(x) 2. 對(duì)平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律的理解 (4) ab= 0,貝U a = 0 或 b= 0.(x ) (5) (a b) c= a (b c). (x) (6) a b= a c(a^0),則 b= c.(x ) ［感悟提升］ 三個(gè)防范一是兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，如 (1); 二是在向量數(shù)量積的幾何意義中，投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量.設(shè)向量 a, b的 夾角為9,當(dāng)B為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)B為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)B為直 角時(shí)，投影為0;當(dāng)9= 0°寸，b在a的方向上投影為|b|,當(dāng) A180°時(shí)，b在a 方向上投影為一|b|,^叭2)；當(dāng) 9= 0°寸，a b>0, 9= 180° a bv0, 即卩 a b>0 是兩個(gè)向量a, b夾角為銳角的必要而不充分條件，如(3); 三是a b= 0不能推出a= 0或b= 0,因?yàn)閍 b= 0時(shí)，有可能alb,女口 (4). 突破?高頻考點(diǎn) 以侃求法舉一反三 考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【例1】(1)(2014威海期末考試)已知a= (1,2), 2a— b= (3,1),則a b=( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 n ⑵(2013江西卷)設(shè)e1, e2為單位向量，且 &, e2的夾角為3 若a= 3 + 3e2, b =2ei,則向量a在b方向上的射影為 . 解析 (1)* (1,2), 2a— b= (3,1) ??b= 2a— (3,1)= 2(1,2) — (3,1)= (— 1,3). ??a b= (1,2) (— 1,3)=— 1 + 2X3 = 5. (2)由于 a= e1 + 3e2, b= 2e1, 2 所以 |b| = 2, a b= (e1 + 3e2) 2e1 = 2ei+ 6e1 e2 1 =2+ 6X 2= 5, a b 5 所以a在b方向上的射影為|a| cos<a, b>=而=g 5 答案(1)D (2)5 學(xué)生用書(shū)~~第74頁(yè) 規(guī)律方法 求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算； 利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意 數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用. 【訓(xùn)練 1】(1)若向量 a= (1,1), b= (2,5), c= (3, x)滿足條件(8a— b) c= 30,則 x=(). A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 — — — — — — ⑵(2013山東卷)已知向量AB與AC的夾角為120°,且AB| = 3, |AC|= 2.若AP= :AB — — — + AC,且APIBC,則實(shí)數(shù) 入的值為 . 解析 (1)8a— b= 8(1,1) — (2,5)= (6,3), 所以(8a— b) c= (6,3) (3, x) = 30, 即18+ 3x= 30,解得x= 4.故選C. —— —— (2)?.AP!BC,.?AP BC= 0, — — — — — — — —— — — ??(4B + AC) BC = 0, 即 (:AB+ AC) (AC— AB)=(入一1)AB AC- 2AB⑵已知向量 a, b滿足 a b= 0, |a|= 1, |b|= 2，則 |2a— b| = . 解析(1)等式平方得|a|2= 9|b|2 2 =|a|2+ 4|b|2 + 4a b, 則 |a|2= |a|2+ 4|b|2 + 4|a||b|cos 9, 即 0 = 4|b|2 + 4 3|b|2cos 9, e 1 得 cos 9= — 3. (2)因?yàn)?|2a— bf = (2a — b)2 = 4孑 + b2— 4a b= 4孑 + b2= 4+ 4= 8,故 |2a— b| = 2 2. 答案(1) — 3 (2)2 2 規(guī)律方法(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式. ⑵|a|= a a常用來(lái)求向量的模. 【訓(xùn)練2】(1)(2014長(zhǎng)沙模擬)已知向量a,b夾角為45°,且|a|= 1,|2a— b|= . 10, 則 |b| = . (2)若平面向量a, b滿足|a|= 1, |b|< 1,且以向量a, b為鄰邊的平行四邊形的面 1 積為2,則a和b的夾角9的取值范圍是 . 解析(1 )由|2a— b|=. 10平方得， + AC2= 0. — — — — ???向量AB與AC的夾角為 120° AB| = 3, AC|= 2, ??g 1)|AB||AC| cos 120-9A+ 4= 0,解得 A話. 答案(1)C⑵右 考點(diǎn)二向量的夾角與向量的模 【例2】(1)若非零向量a, b滿足|a匸3|b|=|a + 2b|,則a與b夾角的余弦值為 2 2 4a — 4a b+ b = 10, 即 |b|2—4|b|cos 45 +4= 10, 亦即 |bf— 2 ,2|b|— 6= 0, 解得 |b| = 3 ,2或 |b|=— .2(舍去). 1 (2)依題意有|a||b|sin 9=二， 1 即 sin = 2jb|，由bS 1，得 1 2< sin 0< 1,又 OS (X n 答案（1）3/2 （2）n，5nn 考點(diǎn)三平面向量的垂直問(wèn)題 【例 3】 已知 a= （cos a, sin a, b= （cos B, sin 3（0<0<仟冗） （1）求證：a+ b與a— b互相垂直； ⑵若ka+ b與a— kb的模相等，求p- a其中k為非零實(shí)數(shù)）. 數(shù)量積 審題路線 證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計(jì)算這兩個(gè)向量的數(shù)量積問(wèn)題, 為零即得證？由模相等，列等式、化簡(jiǎn)求 p— a (1) 證明 I (a+ b) (?— b) = a2 — b2= |a|2— |b|2 =(cos a+ sin2 M— (cos2 p+ sin2 p= 0, ??? a+ b與a— b互相垂直. (2) 解 ka+ b= (kcos a+ cos B ksin a+ sin B , a— kb= (cos a— kcos B sin a— ksin p, |ka+ b|= . k2 + 2kcos p— a + 1, |a— kb| ==...；： 1 — 2kcos B_ a + k . I |ka+ b|= |a— kb| , ? 2kcos(p— M= — 2kcos( f— a). 又 kM 0, ? cos( p— a= 0. n T 0< a< n,二 0< p— a n, p— a=空. 規(guī)律方法(1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式給出時(shí)，若證明a丄b,則只需證明a b= 0? X1X2 + yiy2 = 0. (2)當(dāng)向量a, b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ), b用已知的不共線向量作為基底來(lái)表 示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明 a b= 0. ⑶數(shù)量積的運(yùn)算a b= 0? a丄b中，是對(duì)非零向量而言的，若 a= 0,雖然有a b =0,但不能說(shuō)a丄b. 【訓(xùn)練3】 已知平面向量a= ( 3,— 1), b= (1) 證明：a丄b； (2) 若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù) k和t，使c= a+ (t2 — 3)b, d= — ka + tb,且c丄d, 試求函數(shù)關(guān)系式k= f(t). 1 ^[3 (1)證明 ta b= 3x2— 1X_2 = 0,二 a丄b. ⑵解 t c= a+ (t2 — 3)b, d=— ka + tb, 且 c±d, 2 ??? c d= [a+ (t2— 3)b] (— ka+1b) =—ka2 + t(t2 — 3)b2+ [t— k(t2— 3)] a b= 0. 又 a2= |a|2 = 4, b2= |b|2= 1, a b= 0, ??? c d= — 4k+13— 3t = 0, t3— 3t --k= f(t)= 4 (tz 0). |課堂小結(jié)| 1?計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用， 和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用. 2?求向量模的常用方法：利用公式|aj a2,將模的 運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算. 3 ?利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法 與技巧. 學(xué)生用書(shū)第75頁(yè) 培養(yǎng)*解題能力 我禰解題提升能力 教你審題5――數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題 【典例】(2012上海卷)在矩形ABCD中，設(shè)AB, AD的長(zhǎng)分別為2,1若M , N — — 分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且滿足回歲=呼，則AM AN的取值范圍是 . |BC| |CD| ［審題］一審：抓住題眼“矩形ABCD” ; 二審：合理建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決. 解析 如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 A(0,0)，B(2,0), C(2,1), D(0,1)， — — 設(shè)回學(xué)=呼=k(0<k< 1),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, k),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2-2k,1), |BC| |CD| — — —— 則AM= (2, k), AN= (2-2k,1), AM AN = 2(2-2k) + k=4-3k,而 0< k< 1,故 1< 4-3k< 4. 答案［1,4］ ［反思感悟］在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何中的問(wèn)題時(shí)，首先要想到是 否能建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算題目會(huì)容易的多. 【自主體驗(yàn)】 (2012江蘇卷)如圖，在矩形 ABCD中，AB=迄，BC= 2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn), —— —— 點(diǎn)F在邊CD上，若AB AF = -.2,則AE BF的值是 c 解析 法一 以A為原點(diǎn)，AB, AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐 — — — 標(biāo)系，貝U A(0,0)，B( ,2，0)，E( ,2，1)，F(xiàn)(x,2)，/AF= (x,2), AB= ( , 2，0)，AE — —— —— =(2, 1), BF = (x- 2, 2),/AB AF = 2x= .2,解得 x= 1 ,.F(1,2),「AE BF =2. —— —— 法二 AB AF = AB||AF|cos/BAF= . 2, — — — —— — — — — ??|AF|cosZBAF = 1, 即卩 |DF|= 1,/.|CF|= 2- 1, AE BF= (AB+ BE) (BC + CF) = —— —— —— —— —— —— AB BC + AB CF + BE BC + BE CF = AB CF + BE BC = 2 X ( 2- 1)X (— 1) + 1 X 2X 1= 2. 答案 2 課時(shí)-題組訓(xùn)練 階梆訓(xùn)餘練出高分 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1. (2013 湛江二模)向量 a= (1,2), b= (0,2)，則 a b=( ). B. (0,4) C. 4 D. (1,4)  解析 ab= (1,2) (0,2) = 1X 0+ 2X 2 = 4. 答案 C 2. (2014紹興質(zhì)檢)在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，/ BAD= 120° MAC在AB方向 答案 C ,AC在AB方向上的投影為 |AC|cos 60 =2X1. 3. (2013 山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知向量a= ( 3, 1), b= (0,1), c= (k, 3).若 a + 2b與c垂直，則k =( ). A. - 3 B . - 2 C.— 1 D . 1 解析 由題意知(a+ 2b) c= 0, 即卩a c+ 2b c= 0. 所以，3k + 3 + 2 3 = 0,解得 k= — 3. 答案 A 4. (2014浙江五校聯(lián)盟)若非零向量a,b滿足|a| = |b|,且(2a + b) b= 0,則向量a, b的夾角為( ). 2 n n n 5 n 乞 B.6 C.3 de 解析 由(2a+ b) b= 0，得 2a b+ |b|2= 0. ??2|bf cos<a, b>+ |b|2= 0,「cos<a, b>=—舟， 廠 2n 又<a, b>q0 , n].?<a, b>=^. 答案 A 5. (2013福建卷)在四邊形ABCD中，AC= (1,2), BD = (— 4,2)，則該四邊形的面 積為()? A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10 解析〔AC BD = 1 X (— 4)+ 2 X 2 = 0, /ACJBD, ??S四邊形=呼?塵5. 答案 C 二、填空題 6. (2013新課標(biāo)全國(guó)I卷)已知兩個(gè)單位向量a, b的夾角為60° c= ta+ (1 — t)b. 若 b c= 0,貝U t = . 解析 b c= b [ta+ (1 — t)b] = ta b+ (1 — t)b2 =t|a||b|cos 60 + (1 — t)|b|2 t t =2+ 1 —1 = 1 — 2 由 b c= 0,得 1 — 2 = 0,所以 t = 2. 答案2 — — 7. (2014南京三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知OA= (3, — 1), OB= (0,2).若 —— — — OC AB= 0, AC=QB,則實(shí)數(shù) 入的值為 . — — — — 解析 設(shè) C(x, y),則 OC= (x, y)，又AB = OB — OA= (0,2) — (3,— 1) = (— 3,3), — — — 所以 OC AB = — 3x + 3y = 0 ,解得 x = y.又 AC = (x — 3, y + 1) = %0,2)，得 x— 3= 0, 結(jié)合x(chóng)= y,解得X= 2. Iy+1 = 2 人 答案2 — 8. (2014濰坊二模)如圖，在△ ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB= 1, AC = 3, <AB, — — AC> = 60° 則|OA| = . —* —* —* —* —* —* 1 3 —* 解析 因?yàn)?lt;AB, AC> = 60° 所以 ABAC= AB| |AC|cos 60 =1X 3X二，又AO 2AB+ aC，所以 aO2_4(ab+aC)2_ —— —2 — 2 1 + 2ABAC + AC )，即 AO _^(1 + 3 + 9)_ 等，所以 |OA_ ^y3. 答案亠P 三、解答題 9. 已知平面向量 a_(1，x)，b_(2x+ 3，-x)(x€ R). (1) 若a丄b,求x的值； (2) 若 a// b，求|a-b|. 解(1)若 a丄b， 則 a b_ 1 X (2x+ 3) + x(-x) _ 0. 整理得 x2-2x- 3_0，故 x_- 1 或 x_ 3. ⑵若 a / b,則有 1X (— x)-x(2x+ 3)_0， 即 x(2x+ 4) _ 0，解得 x_ 0 或 x_- 2. 當(dāng) x_ 0 時(shí)，a_ (1,0)，b_ (3,0), a-b_ (-2,0), |a — b|_，.：'[ — 2 2 + 0_2. 當(dāng) x_- 2 時(shí)，a_ (1,- 2), b_ (- 1,2), a-b_ (2,- 4), 二 |a- b| _ 2 5. 綜上，可知|a- b|_ 2或2 5. 10. 已知 |a|_4, |b|_3, (2a- 3b) (2a+ b)_61, (1) 求a與b的夾角9; (2) 求 |a+ b|; -— -— (3) 若AB_a, BC_ 0求厶ABC的面積. 解(1)； (2a- 3b) (2a + b)_61, ??? 4|af — 4a b-3|b|2_ 61. 又|a|_4, |b|_ 3,A 64-4a b-27_61, ? a b — 6 1 a b= — 6. — cos 0= = = — 刁. |a||b| 4X 3 2 2 n 又 ow oc n, ? 0=~3. (2)|a+ bf= (a+ b)2= |a|2 + 2a b+ |b|2 =42 + 2X (-6) + 32= 13, ? |a+ b|= , 13. —* —* 2 n 2 n n ⑶ t AB與BC的夾角 0= §，?/ABC= n- 3. * * 又|AB| = |a= 4, |BC| = |b|= 3, 1 -* -* i 13 ? Sa ABC = sin/ ABC=^X4X 3X~2" = 3 3. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1. (2013青島一模)若兩個(gè)非零向量 a, b滿足|a+ b|=|a-b|= 2|a則向量a+ b 與a的夾角為( ). n n 2 n 5 n a?6 B?3 CE D.$ 解析 由 |a+ b| = |a- b|,得 a2 + 2a b+ b2 = a2- 2a b+ b2,即卩 a b= 0,所以(a+ b) a =a2 + a b= |af. 故向量a+b與a的夾角0的余弦值為 (a+b) a |a|2 1— n cos 0= = 9- ... = 9.所以 0= Q. |a+ b||a| 2|a|a| 2 3 答案 B * * * * 2. (2014昆明調(diào)研)在厶ABC中，設(shè)AC2-AB2= 2AM BC,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必 通過(guò)△ ABC的( ). A .垂心 B .內(nèi)心 C .外心 D.重心 — — — — — — —— 解析 假設(shè) BC 的中點(diǎn)是 O.則AC2 — AB2 — (AC + AB) (AC — AB) — 2AO BC — — 2AM — — —— —— — — BC,即(AO—AM) BC= MO BC = 0,所以MO JBC,所以動(dòng)點(diǎn) M在線段BC 的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn) M的軌跡必通過(guò)△ ABC的外心，選C. 答案 C 、填空題 3. （2013浙江卷）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量 b= xe1 + ye2，x，y€ R若e1, e2的夾角為n，則1的最大值等于 . 解析 因?yàn)?& e2 — cos f—于，所以 b2 — x2 + y2 + 2xye1 e2 — x2 + y2 + , 3xy.所以p x2 X + y + 3xy ,設(shè) t=X，則 1 +12 + . 3t = t+ 1 1 +4> 4所以 0v »3；三4,即話的最大值為4,所以ibi的最大值為2. 答案2 三、解答題 4. 設(shè)兩向量e1, e2滿足心| = 2,血|= 1, e1, e2的夾角為60°,若向量2te1 + 7e2 與向量e1 + te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解由已知得 e1 = 4, e2— 1, e1 e2 — 2 x 1 x cos 60 丄 1. ???(2te1 + 7e2) (& + te?) — 2teh + (2t2 + 7)e〔 e2+ 7te2 — 2t2 + 15t+ 7. 2 1 欲使夾角為鈍角，需2t2 + 15t + 7v0,得—7vtv — 2. 設(shè) 2tei + 7e2= Xei + te2)( X 0), 0—入 2 ???， 二 2t2— 7. 7—t入 ??? t—一 號(hào)4，此時(shí) 入一—14. V14 即t——牙時(shí)，向量2te1 + 7e2與e1 + te2的夾角為n. 二當(dāng)兩向量夾角為鈍角時(shí)，t的取值范圍是 1 —2. 學(xué)生用書(shū)第75頁(yè)