數(shù)學(xué)第十一章 概率 11.3 幾何概型 文 新人教A版

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1、1111. .3 3幾何概型幾何概型-2-知識梳理雙基自測21自測點(diǎn)評1.幾何概型(1)定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.(2)特點(diǎn)無限性:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè);等可能性:每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.(3)公式:P(A)= .長度 -3-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評212.隨機(jī)模擬方法(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn),通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.(2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法的基本步驟:用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù),并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意

2、義;統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N;計(jì)算 作為所求概率的近似值.2-4-知識梳理雙基自測3415自測點(diǎn)評1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)在幾何概型中,每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等.()(2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.()(3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).()(4)相同環(huán)境下兩次隨機(jī)模擬得到的概率的估計(jì)值是相等的.()(5)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.() 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5)-5-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234152.(2

3、016全國甲卷,文8)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為() 答案 答案關(guān)閉B-6-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評23415 答案 答案關(guān)閉A-7-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評23415 答案 答案關(guān)閉A-8-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評234155.在-1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-9-知識梳理雙基自測自測點(diǎn)評1.“幾何概型”與“古典概型”兩者共同點(diǎn)是基本事件的發(fā)生是等可能的,不同之處是幾何概型的基本事件的個(gè)數(shù)是

4、無限的,古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的.2.在幾何概型的試驗(yàn)中,事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關(guān).3.因?yàn)殡S機(jī)模擬得到的是某一次的頻率,所以相同環(huán)境下兩次隨機(jī)模擬得到的概率的估計(jì)值可能相等也可能不相等.-10-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例1(1)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是 ()(2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB= ,BC=1,在DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為. 答案解析解析

5、關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(2)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,有一動(dòng)點(diǎn)在長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng),則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為.思考求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的概率的基本思路是什么?-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的概率的基本思路:用圖形準(zhǔn)確地表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為所求事件A滿足的區(qū)域,在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域,然后用公式

6、-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)某校早上8:00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:307:50之間到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少晚5分鐘到校的概率為.(用數(shù)字作答)(2)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析: (1)用x軸表示小張到校時(shí)刻,用y軸表示小王到校時(shí)刻,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)小張到校的時(shí)刻為x,小王到校的時(shí)刻為y,則x-y5.由題意,知0 x20,0y

7、20,可行域如圖所示,其中,陰影部分表示小張比小王至少晚5分鐘到校.易知B(20,20),C(5,0),D(20,0).由幾何概型概率公式,得所求概率為-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考如何把看似與幾何概型無關(guān)的知識轉(zhuǎn)化成與幾何概型有關(guān)的問題?-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得處理幾何概型與非幾何知識的綜合問題的關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化,將某一事件所包含的基本事件用“長度”“角度”“面積”“體積”等表示出來.如把這兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

8、面積來解決.-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4答案: (1)C(2)A解析: (1)由|z|1,得(x-1)2+y21.不等式表示以C(1,0)為圓心,半徑r=1的圓及其內(nèi)部,yx表示直線y=x左上方部分(如圖所示).-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例4從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,xn,y1,y2,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()思考依據(jù)題意如何用隨機(jī)模擬的方法求圓周率的近似值? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析

9、關(guān)閉-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得將看作未知數(shù)表示出四分之一的圓面積,根據(jù)幾何概型的概率公式,四分之一的圓面積與矩形面積之比等于m與n之比,從而用m,n表示出的近似值.-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練4如圖所示,矩形長為6,寬為4,在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆,數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆,以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)橢圓的面積為()A.7.68B.8.68 C.16.32D.17.32 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)41.兩種常見幾何概型的解決方法:(1)線型幾何概型:當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí),一般是把這個(gè)變量看成一條線段或角,

10、即可借助于線段(或角度)的度量比來求解.(2)面型幾何概型:當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí),一般是把這兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面積的度量來解決.-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)42.對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認(rèn)識,它只與大小有關(guān),而與形狀和位置無關(guān).3.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用:很多幾何概型往往要通過一定的手段才能轉(zhuǎn)化成幾何概型,在解決問題時(shí),要善于根據(jù)問題的具體情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化策略是解決幾何概型試題的關(guān)鍵.如建立平面直角坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對應(yīng),然后利用幾何概型概率公式計(jì)算等.-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解決幾何概型問題時(shí),有兩點(diǎn)容易造成失分:一是不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型;二是利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視基本事件是否等可能.

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