2019屆高考數學二輪復習 第二篇 專題二 數學思想方法課件 理.ppt

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專題二數學思想方法 概述數學思想方法既是思想也是方法 思想 是統領全局的總綱 方法 是可以具體操作的解題方法 思想 與 方法 是密不可分的整體 在高考中主要考查函數與方程思想 數形結合思想 化歸與轉化思想 分類與整合思想等數學思想方法 1 函數思想就是通過建立函數關系或構造函數 運用函數的圖象和性質去分析問題 轉化問題 從而使問題得到解決 方程思想就是將所求的量設成未知數 根據題中的等量關系 列方程 組 通過解方程 組 或對方程 組 進行研究 以求得問題的解決 2 數形結合思想就是通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想 主要包括以下兩個方面 1 以形助數 把某些抽象的數學問題直觀化 生動化 能夠變抽象思維為形象思維 揭示數學問題的本質 2 以數輔形 把直觀圖形數量化 使形更加精確 3 轉化與化歸思想就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化 進而解決問題的一種方法 其應用包括以下三個方面 1 將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題 2 將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題 3 將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題 4 分類討論思想是當問題的對象不能進行統一研究時 就需要對研究的對象按某個標準進行分類 然后對每一類分別研究 給出每一類的結論 最終集合各類結果得到整個問題的解答 實質上分類討論就是 化整為零 各個擊破 再集零為整 的數學思想 熱點一 函數與方程思想在不等式中的應用 例1 已知函數f x 是定義在R上的可導函數 且對于 x R 均有f x f x 則有 A e2018f 2018 e2018f 0 B e2018f 2018 f 0 f 2018 e2018f 0 D e2018f 2018 f 0 f 2018 e2018f 0 一 函數與方程思想 思維建模 函數與方程思想在不等式中的應用函數與不等式的相互轉化 把不等式轉化為函數 借助函數的圖象和性質可解決相關的問題 常涉及不等式恒成立問題 比較大小問題 一般利用函數思想構造新函數 建立函數關系求解 答案 1 B 2 2017 山西三區(qū)八校二模 定義在R上的奇函數f x 的導函數滿足f x f x 且f x f x 3 1 若f 2015 e 則不等式f x ex的解集為 答案 2 1 熱點二 函數與方程思想在數列中的應用 例2 2017 全國 卷 記Sn為等比數列 an 的前n項和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通項公式 2 求Sn 并判斷Sn 1 Sn Sn 2是否成等差數列 思維建模 數列的通項與前n項和都是以正整數為自變量的函數 可用函數與方程思想處理數列問題 涉及特殊數列 等差 等比數列 已知Sn與an關系問題 應用方程思想列方程 組 求解 涉及最值問題或參數范圍問題 應用函數思想來解決 熱點三 函數與方程思想在立體幾何 解析幾何中的應用 答案 1 C 思維建模 立體幾何 解析幾何中的求值問題 解析幾何中的位置關系問題常應用方程思想列方程 組 求解 求范圍 最值等問題常選擇恰當的變量建立目標函數 然后應用有關知識 求函數的最值或值域 答案 1 C 答案 2 2 熱點一 利用數形結合思想研究函數零點問題 二 數形結合思想 思維建模 解函數零點個數問題常應用數形結合思想轉化為兩個函數圖象交點個數問題 解函數零點和問題 常應用數形結合思想利用圖象的對稱性求解 解析 1 函數y f x a x 恰有4個零點 須y1 f x 與y2 a x 的圖象有4個不同的交點 如圖所示 由圖可知 當y2 ax x 0 與y1 x2 5x 4 4 x 1 相切時 方程x2 5 a x 4 0有兩個相等實數根 則 5 a 2 16 0 且a 5 0 解得a 1 a 9舍去 所以當x 0時 y1 x2 5x 4與y2 ax的圖象有3個交點 顯然當1 a 2時 兩函數的圖象恰有4個不同交點 即函數y f x a x 恰有4個零點 故選B 2 2018 石家莊市質檢 已知M是函數f x 2x 3 8sin x x R 的所有零點之和 則M的值為 A 3 B 6 C 9 D 12 熱點二 利用數形結合思想解決最值問題 例5 已知實系數一元二次方程x2 ax 2b 0有兩個根x1 x2 x1 0 1 x2 1 2 求 1 點 a b 對應區(qū)域的面積 2 的取值范圍 3 a 1 2 b 2 2的值域 解 3 a 1 2 b 2 2表示區(qū)域內的點 a b 與定點D 1 2 之間距離的平方因為 AD 2 17 CD 2 8 所以8 a 1 2 b 2 2 17 所以 a 1 2 b 2 2的值域為 8 17 思維建模 在約束條件下求目標函數最值問題 應用數形結合思想 畫出可行域 根據目標函數的幾何意義求解 最優(yōu)解一般在可行域的頂點或邊界處取得 因此對于可行域為封閉型的線性規(guī)劃問題 可以直接解出可行域的所有頂點坐標 然后將坐標分別代入目標函數求出相應的值 從而確定目標函數的最值 熱點三 利用數形結合思想解決不等式 參數問題 例6 1 2018 石家莊市質檢 已知f x 為奇函數 且當x 0時 f x 單調遞增 f 1 0 若f x 1 0 則x的取值范圍為 A x 02 B x x2 C x x3 D x x1 解析 1 因為函數f x 為奇函數 所以f 1 f 1 0 又函數f x 在 0 上單調遞增 所以可作出函數f x 的示意圖 如圖 則不等式f x 1 0可轉化為 11 解得02 故選A 思維建模 利用函數的圖象解決不等式問題 通常根據不等式中量的特點 選擇適當的兩個 或多個 函數 若函數為不熟悉的形式 需要做適當的變形 轉化為熟悉的函數 然后在同一坐標系中做出兩個函數的圖象 利用圖象的位置 找到數量關系 從而解決不等式的問題 答案 1 D 答案 2 5 熱點一 特殊與一般的轉化 三 化歸與轉化思想 思維建模 化一般為特殊的應用把一般問題特殊化 解答選擇題 填空題常能起到事半功倍的效果 既準確又迅速 要注意恰當利用所學知識 恰當選擇特殊量 熱點訓練6 1 2017 甘肅蘭州一診 已知等差數列 an 的前n項和為Sn 若a3 a5 a7 24 則S9等于 A 36 B 72 C 144 D 288 熱點二 函數 方程 不等式之間的轉化 思維建模 函數 方程與不等式相互轉化的應用函數 方程與不等式就像 一胞三兄弟 解決方程 不等式的問題需要函數幫助 解決函數的問題需要方程 不等式的幫助 因此借助于函數 方程 不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡 一般可將不等關系問題轉化為最值 值域 問題 從而求出參變量的范圍 答案 1 B 答案 2 2 熱點三 正難則反的轉化 解析 1 g x 3x2 m 4 x 2 若g x 在區(qū)間 t 3 上總為單調函數 g x 0在 t 3 上恒成立 思維建模 若問題直接求解困難時 可考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題 熱點一 由數學概念 性質 運算引起的分類討論 四 分類討論思想 解析 1 當2 a 2 即a 0時 22 a 2 1 1 解得a 1 則f a f 1 log2 3 1 2 答案 1 A 2 2017 安徽阜陽二模 等比數列 an 中 a1 a4 a7 2 a3 a6 a9 18 則 an 的前9項和S9 解析 2 由題意得q2 9 q 3 當q 3時 a2 a5 a8 3 a1 a4 a7 6 S9 2 6 18 26 當q 3時 a2 a5 a8 3 a1 a4 a7 6 S9 2 6 18 14 所以S9 14或26 答案 2 14或26 思維建模 數學概念運算公式中常見的分類 1 由二次函數 指數函數 對數函數的定義 直線的傾斜角 向量的夾角的范圍等引起分類討論 2 由除法運算中除數不為零 不等式兩邊同乘以 或除以 同一個數 或式 時的不等號等引起分類討論 3 由數學公式 定理 性質成立的條件等引起分類討論 解析 1 當 7 x 0時 f x x 1 0 6 當e 2 x e時 f x lnx單調遞增 得f x 2 1 綜上 f x 2 6 若存在實數m 使f m 2g a 0 則有 2 2g a 6 即 1 a2 2a 3 1 a 3 故選C 答案 1 C 答案 2 16或4 2 在等比數列 an 中 已知a3 4 S3 12 則a1 解析 2 設等比數列 an 的公比為q 當q 1時 an a1 此時S3 3a1 3a3 12 符合題意 熱點二 由圖形位置或形狀引起的分類討論 思維建模 圖形位置或形狀的變化中常見的分類圓錐曲線形狀不確定時 常按橢圓 雙曲線來分類討論 求圓錐曲線的方程時 常按焦點的位置不同來分類討論 相關計算中 涉及圖形問題時 也常按圖形的位置不同 大小差異等來分類討論 熱點三 由變量或參數引起的分類討論 例12 2018 南昌市摸底 設函數f x 2lnx mx2 1 1 討論函數f x 的單調性 2 當f x 有極值時 若存在x0 使得f x0 m 1成立 求實數m的取值范圍 思維建模 解含參數不等式 方程 函數問題及含參數方程中曲線類型的判定問題 常按參數的取值不同分類討論