數(shù)學第三章 導數(shù)及其應用 第五節(jié) 定積分與微積分基本定理 理

第五節(jié)定積分與微積分基本定理總綱目錄教材研讀1.定積分的定義考點突破2.定積分的運算性質(zhì)3.微積分基本定理考點二定積分幾何意義的應用考點二定積分幾何意義的應用考點一定積分的計算4.定積分的幾何意義考點三定積分在物理中的應用考點三定積分在物理中的應用教材研讀教材研讀1.定積分的定義定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),用分點a=x0 x1xi-1xixn=b將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間xi-1,xi上任取一點i(i=1,2,n),作和式f(i)x=f(i),當n時,上述和式無限接近于某個常數(shù),這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作f(x)dx,即 f(x)dx=f(i).這里a和b分別叫做積分下限和積分上限,區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式.1ni1nibanbabalimnban2.定積分的運算性質(zhì)定積分的運算性質(zhì)(1)kf(x)dx=kf(x)dx(k為常數(shù)).(2)f1(x)f2(x)dx=f1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(ac1),則a的值是2.1a12xx答案答案2解析解析由dx=(x2+lnx)=(a2+lna)-(12+ln1)=a2+lna-1=3+ln2(a1),得a2+lna=4+ln2,所以a=2.1a12xx3.(2018北京海淀期中,9)定積分的值為0.131dxx答案答案0解析解析=-=0.131x dx14114x14144.若-2.122001( )d1,( )d1,( )df xxf xxf xx 則答案答案-2=-1-1=-2.221100( )d( )d( )df xxf xxf xx解析解析,212001( )d( )d( )df xxf xxf xx5.定積分(x+cosx)dx=.022解析解析(x+cosx)dx=.021sin2xx22答案答案22考點一定積分的計算考點一定積分的計算典例典例1(1)(2017北京豐臺一模,3)定積分dx=()A.10-ln3B.8-ln3C.D.(2)(2017北京海淀一模,5)已知a=xdx,b=x2dx,c=,則a,b,c的大小關系是()A.abcB.acbC.bacD.cab3112xx223649101010dx x考點突破考點突破BC答案答案(1)B(2)C解析解析(1)dx=(x2-lnx)=(9-ln3)-(1-ln1)=8-ln3.故選B.(2)解法一:當x(0,1)時,結合圖象可知x2x,由定積分的幾何意義可知baab,選C.3112xx1210 1213132332x23方法技巧方法技巧求定積分的常用方法1.利用定積分的幾何意義.求定積分f(x)dx時,若被積函數(shù)的原函數(shù)不易求,而被積函數(shù)的圖象與直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積易求,則用定積分的幾何意義求定積分.ba2.利用函數(shù)圖象的對稱性.設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間-a,a上連續(xù),則由定積分的幾何意義和奇偶函數(shù)圖象的對稱性可得:(1)若f(x)是偶函數(shù),則f(x)dx=2f(x)dx;(2)若f(x)是奇函數(shù),則f(x)dx=0.aa0aaa1-1計算:定積分|3-2x|dx=.21解析解析因為|3-2x|=所以|3-2x|dx332 ,2323,2x xxx21答案答案12=(3-2x)dx+(2x-3)dx=(3x-x2)+(x2-3x)=.321232321 232 12121-2設函數(shù)f(x)=ax2+c(a0),若f(x)dx=f(x0),0 x01,則x0的值為.10解析解析由已知可得a+c=a+c,=.又0 x01,x0=.1320 x20 x1333答案答案3333典例典例2(1)過點(-1,0)的直線l與曲線y=相切,則曲線y=與直線l及x軸所圍成的封閉圖形的面積為;(2)如圖,一橫截面為等腰梯形的水渠,因泥沙沉積,導致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示),則原始的最大流量與當前最大流量的比值為1.2.xx考點二定積分幾何意義的應用考點二定積分幾何意義的應用13答案答案(1)(2)1.213解析解析(1)因為y=的導數(shù)為y=,設切點為P(x0,y0),則切線的斜率為=,解得x0=1,即切線的斜率為,所以直線l的方程為y=(x+1),所以所圍成的封閉圖形的面積為dx+1=+=.(2)建立直角坐標系,如圖.12 x012 x001xx 12101(1)2xx1212322112423xxx10 1413x過B作BEx軸于點E,BAE=45,BE=2,AE=2,又OE=5,A(3,0),B(5,2).設拋物線的方程為x2=2py(p0),將點B的坐標代入,得p=,故拋物線的方程為y=x2.從而曲邊三角形OEB的面積為x2dx=.又SABE=22=2,故曲邊三角形OAB的面積為,從而圖中陰影部分的面積為.又易知等腰梯形ABCD的面積為2=16,則原始的最大流量與當前最大流量的比值為=1.2.254225502253275x50 1031243836 102168163方法技巧方法技巧利用定積分求平面圖形面積的一般步驟(1)畫出草圖;(2)分析圍成平面圖形的各曲線與直線,求出交點坐標,確定積分的上、下限,及被積函數(shù);(3)將平面圖形的面積表示成一個定積分或若干個定積分的和;(4)計算定積分,寫出答案.2-1(2013北京,7,5分)直線l過拋物線C:x2=4y的焦點且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于()A.B.2C.D.438316 23C答案答案C由拋物線方程可知拋物線的焦點為F(0,1),所以直線l的方程為y=1.設直線l與拋物線的交點為M、N,分別過M、N作x軸的垂線MM和NN,交x軸于點M、N,如圖.故所求圖形的面積等于陰影部分的面積,所求面積為S=4-2dx=.故選C.2024x83考點三定積分在物理中的應用考點三定積分在物理中的應用典例典例3一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度v(t)=7-3t+(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車行駛的路程(單位:m)是()A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2251t113C答案答案C解析解析由v(t)=0得t=4.故所求路程為s=v(t)dt=dt=(4+25ln5)m.40 40 25731tt23725ln(1)2ttt40 方法技巧方法技巧定積分在物理中的兩個應用(1)求變速直線運動的路程:如果變速直線運動物體的速度為v=v(t),那么從時刻t=a到t=b所經(jīng)過的路程s=v(t)dt.(2)變力做功:一物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同的方向從x=a移動到x=b時,力F(x)所做的功是W=F(x)dx.baba3-1一物體在力F(x)=(單位:N)的作用下,沿與力F相同的方向,從x=0處運動到x=4(單位:m)處,則力F(x)做的功為36J.5,02,34,2xxx答案答案36解析解析由題意知,力F(x)所做的功為W=52+=10+=36(J).424002( )d5d(34)dF xxxxx2342xx223344 424 222