2019蘇錫常鎮(zhèn)高三二模數(shù)學(xué)(共20頁(yè))

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 2019屆高三年級(jí)第二次模擬考試(蘇錫常鎮(zhèn)) 數(shù)學(xué) (滿(mǎn)分160分，考試時(shí)間120分鐘) 一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分． 1. 已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|－1<x<1}，則A∩B＝________． 2. 已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1－2i)2的虛部為_(kāi)_______． 3. 拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______． 4. 已知箱子中有形狀、大小都相同的3只紅球、1只白球，一次摸出2只球，則摸到的2只球顏色相同的概率為_(kāi)_______． 5. 如圖是抽取某學(xué)校160名學(xué)生的體重頻率分布直方圖，已知從左到右的前3組的頻率成等差數(shù)列，則第2組的頻數(shù)為_(kāi)_______． 6. 如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是________． 7. 已知函數(shù)f(x)＝若f(a－1)＝，則實(shí)數(shù)a＝________． 8. 中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，則這匹馬在最后一天行走的里程數(shù)為_(kāi)_______． 9. 已知圓柱的軸截面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)_______． 10. 設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)y＝3sin x的圖象與y＝3cos 2x＋2的圖象交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到x軸的距離為_(kāi)_______． 11. 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，則sin＝________． 12. 若在直線(xiàn)l：ax＋y－4a＝0上存在相距為2的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)C，使得△ABC為等腰直角三角形(C為直角頂點(diǎn))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 13. 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分別為BC，AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)交AB于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q，則·的最大值為_(kāi)_______． 14. 已知函數(shù)f(x)＝x2＋|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋aln x，若函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 二、 解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 15. (本小題滿(mǎn)分14分) 如圖，在三棱錐DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F(xiàn)分別為BD，CD的中點(diǎn)．求證： (1) EF∥平面ABC； (2) BD⊥平面ACE. 16. (本小題滿(mǎn)分14分) 已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos α－sin α，cos α＋sin α)． (1) 求向量a與b的夾角； (2) 若(λb－a)⊥a，求實(shí)數(shù)λ的值． 17. (本小題滿(mǎn)分14分) 某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進(jìn)行配套綠化．已知空地的一邊是直路AB，余下的外圍是拋物線(xiàn)的一段弧，直路AB的中垂線(xiàn)恰是該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸(如圖)．?dāng)M在這個(gè)空地上劃出一個(gè)等腰梯形ABCD區(qū)域種植草坪，其中點(diǎn)A，B，C，D均在該拋物線(xiàn)上．經(jīng)測(cè)量，直路的AB長(zhǎng)為40米，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到直路AB的距離為40米．設(shè)點(diǎn)C到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的距離為m米，到直路AB的距離為n米． (1) 求出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式； (2) 當(dāng)m為多大時(shí)，等腰梯形草坪ABCD的面積最大？并求出其最大值． 18. (本小題滿(mǎn)分16分) 已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為. (1) 求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 已知P(t，0)為橢圓E外一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作直線(xiàn)l1和l2，直線(xiàn)l1和l2分別交橢圓E于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，且直線(xiàn)l1和l2的斜率分別為定值k1和k2，求證：為定值． 19. (本小題滿(mǎn)分16分) 已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x＋ax(a∈R)． (1) 若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為x＋y＋b＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值； (2) 設(shè)函數(shù)g(x)＝，x∈[1，e](其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． ①當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)g(x)的最大值； ②若函數(shù)h(x)＝是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 20. (本小題滿(mǎn)分16分) 定義：若有窮數(shù)列a1，a2，…，an同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件，則稱(chēng)該數(shù)列為P數(shù)列． ①首項(xiàng)a1＝1；②a1<a2<…<an；③對(duì)于該數(shù)列中的任意兩項(xiàng)ai和aj(1≤i<j≤n)，其積aiaj或商 仍是該數(shù)列中的項(xiàng)． (1) 問(wèn)：等差數(shù)列1，3，5是否為P數(shù)列？ (2) 若數(shù)列a，b，c，6是P數(shù)列，求實(shí)數(shù)b的取值范圍； (3) 若n>4，且數(shù)列b1，b2，…，bn是P數(shù)列，求證：數(shù)列b1，b2，…，bn是等比數(shù)列．  2019屆高三年級(jí)第二次模擬考試(十一) 數(shù)學(xué)附加題(滿(mǎn)分40分，考試時(shí)間30分鐘) 21. 【選做題】本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并作答．若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． A. [選修4－2：矩陣與變換](本小題滿(mǎn)分10分) 已知x，y∈R，α＝是矩陣A＝屬于特征值－1的一個(gè)特征向量，求矩陣A的另一個(gè)特征值． B. [選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿(mǎn)分10分) 在極坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)l：ρsin＝0，在直角坐標(biāo)系(原點(diǎn)與極點(diǎn)重合，x軸的正方向?yàn)闃O軸的正方向)中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)． C. [選修4－5：不等式選講](本小題滿(mǎn)分10分) 若不等式|x＋1|＋|x－a|≥5對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共計(jì)20分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 22. (本小題滿(mǎn)分10分) 從批量較大的產(chǎn)品中隨機(jī)取出10件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若這批產(chǎn)品的不合格率為0.05，隨機(jī)變量X表示這10件產(chǎn)品中的不合格產(chǎn)品的件數(shù)． (1) 問(wèn)：這10件產(chǎn)品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪個(gè)大？請(qǐng)說(shuō)明理由； (2) 求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)． 23. (本小題滿(mǎn)分10分) 已知f(n)＝＋＋＋…＋，g(n)＝＋＋＋…＋，其中n∈N*，n≥2. (1) 求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值； (2) 記h(n)＝f(n)－g(n)，求證：對(duì)任意的m∈N*，m≥2，總有 . 2019屆高三年級(jí)第二次模擬考試(十一)(蘇錫常鎮(zhèn)) 數(shù)學(xué)參考答案 1．{0}　2.－4　3. (1，0)　4. 　5. 40　6. － 7. log23　8. 　9. 2π　10. 3　11. 12. 　13. －　14. (1，＋∞) 15. (1) 在三棱錐D－ABC中，因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DB的中點(diǎn)，所以EF∥BC.(3分) 因?yàn)锽C平面ABC，EF平面ABC， 所以EF∥平面ABC.(6分) (2) 因?yàn)锳C⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C， 所以AC⊥平面BCD.(8分) 因?yàn)锽D平面BCD，所以AC⊥BD.(10分) 因?yàn)镈C＝BC，E為BD的中點(diǎn)， 所以CE⊥BD.(12分) 因?yàn)锳C∩CE＝C，所以BD⊥平面ACE.(14分) 16. (1) 設(shè)向量a與b的夾角為θ. 因?yàn)閨a|＝2， |b|＝＝，(4分) 所以cos θ＝ ＝ ＝＝.(7分) 因?yàn)?≤θ≤π，所以向量a與b的夾角為.(9分) (2) 若(λb－a)⊥a，則(λb－a)·a＝0， 即λb·a－a2＝0.(12分) 因?yàn)閎·a＝2，a2＝4，所以2λ－4＝0，解得λ＝2.(14分) 17. (1) 以路AB所在的直線(xiàn)為x軸，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，(1分) 則點(diǎn)A(－20，0)，B(20，0)，P(0，40)．(2分) 因?yàn)榍€(xiàn)段APB為拋物線(xiàn)的一段弧， 所以可以設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a(x－20)·(x＋20)， 將點(diǎn)P(0，40)代入，得40＝－400a， 解得a＝－，(4分) 所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為y＝(400－x2)．(5分) 因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線(xiàn)上， 所以n＝(400－m2)，0<m<20.(6分) (2) 設(shè)等腰梯形ABCD的面積為S， 則S＝×(2m＋40)××(400－m2)，(8分) S＝(－m3－20m2＋400m＋8 000)．(9分) 因?yàn)镾′＝(－3m2－40m＋400)＝－(3m－20)(m＋20)，(10分) 令S′＝0，得m＝，(11分) 當(dāng)m變化時(shí)，S′，S的變化情況如下表： (13分) 所以當(dāng)m＝時(shí)，等腰梯形ABCD的面積最大，最大值為平方米．(14分) 18. (1) 設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知得＝， 則－c＝，c2＝a2－b2，(3分) 解得a＝2，b＝1，c＝，(5分) 所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋y2＝1.(6分) (2) 由題意，設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y＝k1(x－t)，代入橢圓E的方程中，并化簡(jiǎn)得(1＋4k)x2－8ktx＋4kt2－4＝0.(8分) 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. (10分) 所以PA·PB＝(1＋k)|x1－t||x2－t|＝(1＋k)|t2－(x1＋x2)t＋x1x2|＝(1＋k)|t2－＋|＝，(12分) 同理PC·PD＝，(14分) 所以＝為定值．(16分) 19. (1) f′(x)＝ln x＋＋a，f′(1)＝a＋2＝－1，a＝－3，(1分) f(1)＝a＝－3，將點(diǎn)(1，－3)代入x＋y＋b＝0， 解得b＝2.(2分) (2) ①因?yàn)間(x)＝ln x－1， 則g′(x)＝－＋＝.(3分) 令φ(x)＝x－ln x＋1， 則φ′(x)＝1－≥0，函數(shù)φ(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增．(5分) 因?yàn)棣?x)≥φ(1)>0，(6分) 所以g′(x)>0，函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)的最大值為g(e)＝.(8分) ②同理，單調(diào)增函數(shù)g(x)＝∈[a，a＋1＋]，(9分) 則h(x)＝·. 1° 若a≥0，g(x)≥0，h(x)＝， h′(x)＝ ＝≤0， 令u(x)＝－(1＋x＋x2)ln x－ax2＋x＋1， 則u′(x)＝－(1＋2x)ln x－－(2a＋1)x<0， 即函數(shù)u(x)區(qū)間在[1，e]上單調(diào)遞減， 所以u(píng)(x)max＝u(1)＝－a＋2≤0， 所以a≥2.(11分) 2° 若a≤－，g(x)≤0，h(x)＝－， 由1°知，h′(x)＝，又函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，e]上是單調(diào)減函數(shù)， 所以u(píng)(x)＝－(1＋x＋x2)ln x－ax2＋x＋1≥0對(duì)x∈[1，e]恒成立， 即ax2≤x＋1－(1＋x＋x2)ln x對(duì)x∈[1，e]恒成立， 即a≤＋－ln x對(duì)x∈[1，e]恒成立． 令φ(x)＝＋－ln x，x∈[1，e]， φ′(x)＝－－－ln x－(＋＋1)＝－－－＋ln x， 記μ(x)＝ln x－x＋1(1≤x≤e)， 又μ′(x)＝－1＝≤0， 所以函數(shù)μ(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減， 故μ(x)max＝μ(1)＝0，即ln x≤x－1，所以 φ′(x)＝－－－＋ln x≤－－－＋(x－1)＝－－<0， 即函數(shù)φ(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減， 所以φ(x)min＝φ(e)＝＋－ln e＝－1， 所以a≤φ(x)min＝－1，又a≤－， 所以a≤－.(13分) 3° 若－<a<0， 因?yàn)間(x)＝＝ln x＋a， g′(x)＝－＋＝≥＝>0， 所以函數(shù)g(x)＝在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增． 又g(1)g(e)＝a<0， 則存在唯一的x0∈(1，e)，使得h(x0)＝＝0， 所以函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，e]上不單調(diào)．(15分) 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪[2，＋∞)．(16分) 20. (1) 因?yàn)?×5＝15，均不在此等差數(shù)列中， 所以等差數(shù)列1，3，5不是P數(shù)列．(2分) (2) 因?yàn)閿?shù)列a，b，c，6是P數(shù)列， 所以1＝a<b<c<6，(3分) 由于6b或是數(shù)列中的項(xiàng)，而6b大于數(shù)列中的最大項(xiàng)6， 所以是數(shù)列中的項(xiàng)，同理也是數(shù)列中的項(xiàng)．(5分) 又因?yàn)?<<<6，所以＝b，＝c， 所以bc＝6，又1<b<c，所以1<b<，(7分) 綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是(1，)．(8分) (3) 因?yàn)閿?shù)列{bn}是P數(shù)列， 所以1＝b1<b2<b3<…<bn， 由于b2bn或是數(shù)列中的項(xiàng)，而b2bn大于數(shù)列中的最大項(xiàng)bn， 所以是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)，(10分) 同理，，…，也都是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)， 又因?yàn)?<<…<<bn，且1，，…，，bn這n個(gè)數(shù)全是共有n項(xiàng)的增數(shù)列1，b2，…，bn中的項(xiàng)，所以＝b2，…，＝bn－1， 從而bn＝bibn＋1－i(i＝1，2，…，n－1)．?、?12分) 又因?yàn)閎n－1b3＞bn－1b2＝bn，所以bn－1b3不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)，所以是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)， 同理，…，也都是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)． 因?yàn)?<<…<<<＝bn－2<bn－1<bn，且1，，…，，，，bn－1，bn這n個(gè)數(shù)全是共有n項(xiàng)的增數(shù)列1，b2，…，bn中的項(xiàng)， 所以同理bn－1＝bibn－i(i＝1，2，…，n－2)，?、?14分) 在①中將i換成i＋1后與②相除， 得＝，i＝1，2，…，n－2， 所以b1，b2，…，bn是等比數(shù)列．(16分) 21. A. 因?yàn)棣粒绞蔷仃嘇＝屬于特征值－1的一個(gè)特征向量， 所以＝－，所以 解得x＝－3，y＝－1，(4分) 所以A＝，(6分) 特征多項(xiàng)式為f(λ)＝＝0， 即(λ＋3)(λ＋1)＝0，解得λ＝－3或λ＝－1，(8分) 所以矩陣A另一個(gè)特征值為λ＝－3.(10分) B. 以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系， 直線(xiàn)ρsin＝0的直角坐標(biāo)方程為y＝x，(2分) 曲線(xiàn)的普通方程為y2－x2＝1，(4分) 則直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為A和B，(7分) 所以AB＝＝2.(10分) C. 因?yàn)閨x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－x＋a|＝ |1＋a|，(4分) 所以要使不等式|x＋1|＋|x－a|≥5對(duì)任意的x∈R恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)|1＋a|≥5，(7分) 所以a≥4或a≤－6. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(10分) 22. 由于批量較大，可以認(rèn)為隨機(jī)變量X～B(10，0.05)，(2分) (1) 恰好有2件不合格的概率為P(X＝2)＝C×0.052×0.958， 恰好有3件不合格的概率為P(X＝3)＝C×0.053×0.957.(4分) 因?yàn)椋剑?gt;1， 所以P(X＝2)>P(X＝3)，即恰好有2件不合格的概率大．(6分) (2) 因?yàn)镻(X＝k)＝pk＝Cpk(1－p)10－k，k＝0，1，2，…，10. 隨機(jī)變量X的概率分布為： X 0 1 2 … 10 pk Cp0(1－p)10 Cp1(1－p)9 Cp2(1－p)8 … Cp10(1－p)0 　故E(X)＝＝0.5.(9分) 故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)為0.5.(10分) 23. (1) f(2)＝＝，f(3)＝＋＝， g(2)＝＝，g(3)＝＋＝.(3分) (2) 因?yàn)? ＝ ＝ ＝＝，(4分) 所以h(n)＝f(n)－g(n)＝ ＝.(5分) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證：對(duì)任意的m∈N*，m≥2，總有h(2m)>. 當(dāng)m＝2時(shí)，h(4)＝＋＋＝>，命題成立； 當(dāng)m＝3時(shí)，h(8)＝＋＋＋＋>＋＝＋>1，命題成立．(6分) 假設(shè)當(dāng)m＝t(t≥3)時(shí)，命題成立，即h(2t)>成立． 則當(dāng)m＝t＋1時(shí)，h(2t＋1)＝h(2t)＋＋＋…＋>＋＋＋＋…＋.(7分) 因?yàn)閠≥3，＋－＝>0， 所以＋>.(8分) 又＋＋…＋>＋＋…＋＝，(9分) 所以h(2t＋1)>＋＋＝， 所以命題成立．(10分) 專(zhuān)心---專(zhuān)注---專(zhuān)業(yè)