2、方圖，已知從左到右的前3組的頻率成等差數列，則第2組的頻數為________．
6. 如圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是________．
7. 已知函數f(x)＝若f(a－1)＝，則實數a＝________．
8. 中國古代著作《張丘建算經》有這樣一個問題“今有馬行轉遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，則這匹馬在最后一天行走的里程數為________．
9. 已知圓柱的軸截面的對角線長為2，則這個圓柱的側面積的最大值為________．
10. 設定義在區(qū)間上的函數y＝3sin x
3、的圖象與y＝3cos 2x＋2的圖象交于點P，則點P到x軸的距離為________．
11. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，則sin＝________．
12. 若在直線l：ax＋y－4a＝0上存在相距為2的兩個動點A，B，在圓O：x2＋y2＝1上存在點C，使得△ABC為等腰直角三角形(C為直角頂點)，則實數a的取值范圍是________．
13. 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分別為BC，AD的中點，過點E的直線交AB于點P，交AC于點Q，則·的最大值為________．
14. 已知函數f(x)＝x2＋
4、|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋aln x，若函數y＝f(x)與函數y＝g(x)的圖象恰好有兩個不同的交點，則實數a的取值范圍是________．
二、 解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. (本小題滿分14分)
如圖，在三棱錐DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分別為BD，CD的中點．求證：
(1) EF∥平面ABC；
(2) BD⊥平面ACE.
16. (本小題滿分14分)
已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos α－sin α，cos α＋sin α)．
5、
(1) 求向量a與b的夾角；
(2) 若(λb－a)⊥a，求實數λ的值．
17. (本小題滿分14分)
某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進行配套綠化．已知空地的一邊是直路AB，余下的外圍是拋物線的一段弧，直路AB的中垂線恰是該拋物線的對稱軸(如圖)．擬在這個空地上劃出一個等腰梯形ABCD區(qū)域種植草坪，其中點A，B，C，D均在該拋物線上．經測量，直路的AB長為40米，拋物線的頂點P到直路AB的距離為40米．設點C到拋物線的對稱軸的距離為m米，到直路AB的距離為n米．
(1) 求出n關于m的函數關系式；
(2) 當m為多大時，等腰梯形草坪ABCD的面積最大？并求出其最大值．
1
6、8. (本小題滿分16分)
已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，焦點到相應準線的距離為.
(1) 求橢圓E的標準方程；
(2) 已知P(t，0)為橢圓E外一動點，過點P分別作直線l1和l2，直線l1和l2分別交橢圓E于點A，B和點C，D，且直線l1和l2的斜率分別為定值k1和k2，求證：為定值．
19. (本小題滿分16分)
已知函數f(x)＝(x＋1)ln x＋ax(a∈R)．
(1) 若函數y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x＋y＋b＝0，求實數a，b的值；
(2) 設函數g(x)＝，x∈[1，e](其中e為自然對數的底數)．
①當a＝－1時，
7、求函數g(x)的最大值；
②若函數h(x)＝是單調減函數，求實數a的取值范圍．
20. (本小題滿分16分)
定義：若有窮數列a1，a2，…，an同時滿足下列三個條件，則稱該數列為P數列．
①首項a1＝1；②a14，且數列b1，b2，…，bn是P數列，求證：數列b1，b2，…，bn是等比數列．
2019屆高三年級第二次模擬考試(十一)
8、數學附加題(滿分40分，考試時間30分鐘)
21. 【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A. [選修4－2：矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知x，y∈R，α＝是矩陣A＝屬于特征值－1的一個特征向量，求矩陣A的另一個特征值．
B. [選修4－4：坐標系與參數方程](本小題滿分10分)
在極坐標系中，已知直線l：ρsin＝0，在直角坐標系(原點與極點重合，x軸的正方向為極軸的正方向)中，曲線C的參數方程為(t為參數)．設直線l與曲線C交于A，B兩點，求AB
9、的長．
C. [選修4－5：不等式選講](本小題滿分10分)
若不等式|x＋1|＋|x－a|≥5對任意的x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．
【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共計20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22. (本小題滿分10分)
從批量較大的產品中隨機取出10件產品進行質量檢測，若這批產品的不合格率為0.05，隨機變量X表示這10件產品中的不合格產品的件數．
(1) 問：這10件產品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪個大？請說明理由；
(2) 求隨機變量X的數學期
10、望E(X)．
23. (本小題滿分10分)
已知f(n)＝＋＋＋…＋，g(n)＝＋＋＋…＋，其中n∈N*，n≥2.
(1) 求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值；
(2) 記h(n)＝f(n)－g(n)，求證：對任意的m∈N*，m≥2，總有 .
2019屆高三年級第二次模擬考試(十一)(蘇錫常鎮(zhèn))
數學參考答案
1．{0} 2.－4 3. (1，0) 4. 5. 40 6. －
7. log23 8. 9. 2π 10. 3 11.
12.
11、13. － 14. (1，＋∞)
15. (1) 在三棱錐D－ABC中，因為E為DC的中點，F為DB的中點，所以EF∥BC.(3分)
因為BC平面ABC，EF平面ABC，
所以EF∥平面ABC.(6分)
(2) 因為AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，
所以AC⊥平面BCD.(8分)
因為BD平面BCD，所以AC⊥BD.(10分)
因為DC＝BC，E為BD的中點，
所以CE⊥BD.(12分)
因為AC∩CE＝C，所以BD⊥平面ACE.(14分)
16. (1) 設向量a與b的夾角為θ.
因為|a|＝2，
|b|＝＝，(4分)
所以cos θ＝
＝
＝
12、＝.(7分)
因為0≤θ≤π，所以向量a與b的夾角為.(9分)
(2) 若(λb－a)⊥a，則(λb－a)·a＝0，
即λb·a－a2＝0.(12分)
因為b·a＝2，a2＝4，所以2λ－4＝0，解得λ＝2.(14分)
17. (1) 以路AB所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系，(1分)
則點A(－20，0)，B(20，0)，P(0，40)．(2分)
因為曲線段APB為拋物線的一段弧，
所以可以設拋物線的解析式為y＝a(x－20)·(x＋20)，
將點P(0，40)代入，得40＝－400a，
解得a＝－，(4分)
所以拋物線的解析式為y＝(400－x
13、2)．(5分)
因為點C在拋物線上，
所以n＝(400－m2)，0
14、＝2，b＝1，c＝，(5分)
所以橢圓E的標準方程是＋y2＝1.(6分)
(2) 由題意，設直線l1的方程為y＝k1(x－t)，代入橢圓E的方程中，并化簡得(1＋4k)x2－8ktx＋4kt2－4＝0.(8分)
設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝.
(10分)
所以PA·PB＝(1＋k)|x1－t||x2－t|＝(1＋k)|t2－(x1＋x2)t＋x1x2|＝(1＋k)|t2－＋|＝，(12分)
同理PC·PD＝，(14分)
所以＝為定值．(16分)
19. (1) f′(x)＝ln x＋＋a，f′(1)＝a＋2＝－1，a＝－3，(1分)
15、
f(1)＝a＝－3，將點(1，－3)代入x＋y＋b＝0，
解得b＝2.(2分)
(2) ①因為g(x)＝ln x－1，
則g′(x)＝－＋＝.(3分)
令φ(x)＝x－ln x＋1，
則φ′(x)＝1－≥0，函數φ(x)在區(qū)間[1，e]上單調遞增．(5分)
因為φ(x)≥φ(1)>0，(6分)
所以g′(x)>0，函數g(x)在區(qū)間[1，e]上單調遞增，所以函數g(x)的最大值為g(e)＝.(8分)
②同理，單調增函數g(x)＝∈[a，a＋1＋]，(9分)
則h(x)＝·.
1° 若a≥0，g(x)≥0，h(x)＝，
h′(x)＝
＝≤0，
令u(x)＝－(1＋
16、x＋x2)ln x－ax2＋x＋1，
則u′(x)＝－(1＋2x)ln x－－(2a＋1)x<0，
即函數u(x)區(qū)間在[1，e]上單調遞減，
所以u(x)max＝u(1)＝－a＋2≤0，
所以a≥2.(11分)
2° 若a≤－，g(x)≤0，h(x)＝－，
由1°知，h′(x)＝，又函數h(x)在區(qū)間[1，e]上是單調減函數，
所以u(x)＝－(1＋x＋x2)ln x－ax2＋x＋1≥0對x∈[1，e]恒成立，
即ax2≤x＋1－(1＋x＋x2)ln x對x∈[1，e]恒成立，
即a≤＋－ln x對x∈[1，e]恒成立．
令φ(x)＝＋－ln x，x∈[1，e]，
φ′
17、(x)＝－－－ln x－(＋＋1)＝－－－＋ln x，
記μ(x)＝ln x－x＋1(1≤x≤e)，
又μ′(x)＝－1＝≤0，
所以函數μ(x)在區(qū)間[1，e]上單調遞減，
故μ(x)max＝μ(1)＝0，即ln x≤x－1，所以
φ′(x)＝－－－＋ln x≤－－－＋(x－1)＝－－<0，
即函數φ(x)在區(qū)間[1，e]上單調遞減，
所以φ(x)min＝φ(e)＝＋－ln e＝－1，
所以a≤φ(x)min＝－1，又a≤－，
所以a≤－.(13分)
3° 若－0，
所以函數g(x)＝在區(qū)間[1，e
18、]上單調遞增．
又g(1)g(e)＝a<0，
則存在唯一的x0∈(1，e)，使得h(x0)＝＝0，
所以函數h(x)在區(qū)間[1，e]上不單調．(15分)
綜上，實數a的取值范圍為∪[2，＋∞)．(16分)
20. (1) 因為3×5＝15，均不在此等差數列中，
所以等差數列1，3，5不是P數列．(2分)
(2) 因為數列a，b，c，6是P數列，
所以1＝a
19、上，實數b的取值范圍是(1，)．(8分)
(3) 因為數列{bn}是P數列，
所以1＝b1
20、{bn}中的項．
因為1<<…<<<＝bn－2
21、另一個特征值為λ＝－3.(10分)
B. 以極點為直角坐標系的原點，極軸為x軸建立平面直角坐標系，
直線ρsin＝0的直角坐標方程為y＝x，(2分)
曲線的普通方程為y2－x2＝1，(4分)
則直線與曲線的交點為A和B，(7分)
所以AB＝＝2.(10分)
C. 因為|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－x＋a|＝
|1＋a|，(4分)
所以要使不等式|x＋1|＋|x－a|≥5對任意的x∈R恒成立，當且僅當|1＋a|≥5，(7分)
所以a≥4或a≤－6.
故實數a的取值范圍為(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(10分)
22. 由于批量較大，可以認為隨機變量X～B(10，0.05
22、)，(2分)
(1) 恰好有2件不合格的概率為P(X＝2)＝C×0.052×0.958，
恰好有3件不合格的概率為P(X＝3)＝C×0.053×0.957.(4分)
因為＝＝>1，
所以P(X＝2)>P(X＝3)，即恰好有2件不合格的概率大．(6分)
(2) 因為P(X＝k)＝pk＝Cpk(1－p)10－k，k＝0，1，2，…，10.
隨機變量X的概率分布為：
X
0
1
2
…
10
pk
Cp0(1－p)10
Cp1(1－p)9
Cp2(1－p)8
…
Cp10(1－p)0
故E(X)＝＝0.5.(9分)
故隨機變量X的數學期望E(X)為0.5
23、.(10分)
23. (1) f(2)＝＝，f(3)＝＋＝，
g(2)＝＝，g(3)＝＋＝.(3分)
(2) 因為
＝
＝
＝＝，(4分)
所以h(n)＝f(n)－g(n)＝
＝.(5分)
下面用數學歸納法證：對任意的m∈N*，m≥2，總有h(2m)>.
當m＝2時，h(4)＝＋＋＝>，命題成立；
當m＝3時，h(8)＝＋＋＋＋>＋＝＋>1，命題成立．(6分)
假設當m＝t(t≥3)時，命題成立，即h(2t)>成立．
則當m＝t＋1時，h(2t＋1)＝h(2t)＋＋＋…＋>＋＋＋＋…＋.(7分)
因為t≥3，＋－＝>0，
所以＋>.(8分)
又＋＋…＋>＋＋…＋＝，(9分)
所以h(2t＋1)>＋＋＝，
所以命題成立．(10分)
專心---專注---專業(yè)
2019蘇錫常鎮(zhèn)高三二模數學(共20頁)
